洛谷4208 最小生成树计数

题意

最小生成树计数

思路

基尔霍夫kirchhoff矩阵N-1阶主子式的行列式即为最小生成树的数目，需要注意这里必须满足每一条边都相等。
基尔霍夫Kirchhoff矩阵 K =度数矩阵 D - 邻接矩阵 A
注意：邻接矩阵存是否连接
N-1阶主子式：对于N矩阵，任取r，去掉r行r列剩余的矩阵
所以最终归结如何快速求行列式：
由高斯消元，将矩阵化为上三角，最终答案就是对角线之积，O(n^3).
如果涉及取模，模不一定要是质数，则辗转相除高斯消元 (n^3logn)
相同权的边的最小生成树数目可以做了，问题是无向图的边权不一定相同，所以我们要把相同边权的放在一个集合，对每个集合进行求最先生成树计数，利用乘法原理，得到答案。
但是相同边的放在一起求最小生成树，有一个前提，必须保证图时连通的，这就需要把其他没有用到的最小生成树的边缩点，这样就能保证连通性。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 105
#define M 1005
#define MOD 31011
//原图，边权离散化并按相等边权存储
struct edge
{int x, y, v;
} tp[M], mst[M];
vector<edge> ff[M];
bool cmp(edge a, edge b)
{return a.v<b.v;
}bool is[M];//标记最小生成树的边权，用了离散化，标记某一种边权//并查集
int bcj[N], bel[N];
void init(int a)
{for (int i = 1; i <= a; i++)bcj[i] = i;
}int find(int x)
{return bcj[x] == x ? x : bcj[x] = find(bcj[x]);
}bool uni(int a, int b)
{int p = find(a), q = find(b);if (p == q) return true;bcj[p] = q;return false;
}//三个矩阵 度数、邻接、基尔霍夫
int n, deg[N][N], g[N][N], mat[N][N];int treecnt()//生成树计数，辗转相除高斯消元
{int i, j, k, ans = 1;for (i = 1; i<n; i++){for (j = i + 1; j<n; j++){while (mat[j][i]){int div = mat[i][i] / mat[j][i];for (k = i; k<n; k++) mat[i][k] = (mat[i][k] - 1ll * mat[j][k] * div%MOD + MOD) % MOD;swap(mat[i], mat[j]);ans *= -1;}if (mat[i][i] == 0) return 0;}ans = 1ll * ans*mat[i][i] % MOD;}return (ans + MOD) % MOD;
}int main()
{int a, b, i, j, k, tl = 0, tmp = 0, cnt = 0;scanf("%d%d", &a, &b);init(a);for (i = 0; i<b; i++) scanf("%d%d%d", &tp[i].x, &tp[i].y, &tp[i].v);sort(tp, tp + b, cmp);//kruskalfor (i = 0; i<b; i++){if (tp[i].v != tmp) tl++, tmp = tp[i].v;//记录边权种数ff[tl].push_back(tp[i]);//离散化，将相同边权的放在一个集合里if (uni(tp[i].x, tp[i].y)) continue;is[tl] = 1, mst[cnt] = tp[i], mst[cnt++].v = tl;}if (cnt != a - 1){printf("0");return 0;}//统计答案int ans = 1;for (i = 1; i <= tl; i++){//如果最小生成树中没有用到此边权if (!is[i]) continue;init(a);int siz = ff[i].size();n = 0;//将生成树上的边全部连上并缩点for (j = 0; j<cnt; j++){if (mst[j].v == i) continue;uni(mst[j].x, mst[j].y);}for (j = 1; j <= a; j++)if (bcj[j] == j) bel[j] = ++n;for (j = 1; j <= a; j++) bel[j] = bel[find(j)];//将原图中此边权的边全部连上for (j = 0; j<siz; j++){int bx = bel[ff[i][j].x], by = bel[ff[i][j].y];deg[bx][bx]++, deg[by][by]++;g[bx][by]++, g[by][bx]++;}for (j = 1; j <= n; j++)for (k = 1; k <= n; k++)mat[j][k] = deg[j][k] - g[j][k];ans = ans * treecnt() % MOD;//删除连上的边for (j = 0; j<siz; j++){int bx = bel[ff[i][j].x], by = bel[ff[i][j].y];deg[bx][bx]--, deg[by][by]--;g[bx][by]--, g[by][bx]--;}}printf("%d", ans);return 0;
}

参考文献：https://www.cnblogs.com/zj75211/p/8039443.html

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