1 一致收敛性

一函数列及其一致收敛性

定理13.1（函数列一致收敛的柯西准则）

函数列{fn}\{f_n\}{fn}在数集DDD上一致收敛
- 对任给定的ε>0\varepsilon>0ε>0
- 总∃正数N\exists 正数 N∃正数N
- 使得n,m>Nn,m>Nn,m>N
- 对一切x∈Dx\in Dx∈D
- 都有∣fn(x)−fm(x)∣<ε|f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon∣fn(x)−fm(x)∣<ε

定理13.2 (定理13.1的充要条件)

lim⁡n→∞sup⁡x∈D∣fn(x)−f(x)∣=0\lim_{n\to \infty}\sup_{x\in D}|f_n(x)-f(x)|=0n→∞limx∈Dsup∣fn(x)−f(x)∣=0

二函数项级数及其一致收敛性

三函数项级数的一致收敛性判别法

定理13.5 魏尔斯特拉斯判别法

∑un(x)\sum\limits u_n(x)∑un(x)定义在数集DDD
∑Mn\sum M_n∑Mn：收敛的正级数
若对∀x∈D,∀n\forall x\in D,\forall n∀x∈D,∀n
- ∣un(x)∣≤Mn|u_n(x)|\le M_n∣un(x)∣≤Mn
则∑un(x)\sum\limits u_n(x)∑un(x)在DDD上一致收

定理13.6（阿贝尔判别法）

∑un(x)\sum u_n(x)∑un(x)在III上一致收
对每个x∈Ix\in Ix∈I,{vn(x)}\{v_n(x)\}{vn(x)}monotonous
{vn(x)}\{v_n(x)\}{vn(x)}在III上一致有界
即∀x∈I\forall x\in I∀x∈I和正整数n,存在M
∣vn(x)∣≤M|v_n(x)|\le M∣vn(x)∣≤M

证

定理13.7 地雷

∑un(x)\sum u_n(x)∑un(x)的部分和在III上一致有界
对每个x∈Ix\in Ix∈I,vn(x)v_n(x)vn(x)单调
在III上,vn(x)⇉0v_n(x)\rightrightarrows 0vn(x)⇉0

证

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13 函数列与函数项级数

文章目录

1 一致收敛性

一函数列及其一致收敛性

定理13.1（函数列一致收敛的柯西准则）

定理13.2 (定理13.1的充要条件)

二函数项级数及其一致收敛性

三函数项级数的一致收敛性判别法

定理13.5 魏尔斯特拉斯判别法

定理13.6（阿贝尔判别法）

证

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2 一致收敛函数列与函数项级数的性质

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1 一致收敛性

一 函数列及其一致收敛性

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二 函数项级数及其一致收敛性

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