多元函数微分学

多元函数的定义

设\(D\subset \mathbb{R}^n, D\not=\varnothing\)，如果存在一个对应法则\(f\)，对每一个\(P(x_1, x_2\cdots x_n)\in D\)， 都有唯一的一个实数\(y\)与之对应，则称\(f:\forall P\in D\mapsto y\)是\(D\)上的\(n\)元函数，记作\(y=f(P),p\in D\)或\(y=f(x_1, x_2, \cdots x_n), P(x_1, x_2, \cdots x_n)\in D\)

定义域的求法

使表达式有意义，如果还涉及实际问题，不能违背常理

平面点集的分类

二维邻域

设\(P_0(x_0,y_0)\in\mathbb{R}^2, \{P:d(P_0, P)< \delta, (\delta\)是某个正数\()P\in \mathbb{R}^2\}\xlongequal{\mathrm {def}}P_0\)的\(\delta\)邻域。类似地可以定义去心邻域。

包含关系

内点（\(int E\)）、外点、边界点。全体边界点组成的集合称为边界，记作\(\partial E\)

孤立点必然是边界点

若\(int E=E\)，则\(E\)为开集。

若\(\mathbb{R}^2-E\)为开集<这个不太好，因为\(\mathbb{R}^2\)既开又闭>，称\(E\)为闭集。或定义为\(\partial E\subset E\)

连通集、开区域（可简称为区域）、闭区域（\(int E+\partial E+isolated\ points\)）

点集的直径：\(sup\{d(p_1, p_2), p_1, p_2\in E\}\)（直径有上界称为有界集）

多元函数的极限

类似一元函数，可以写出定义。趋近过程要求两个自变量其一不等于趋近点。

几个重要性质：

1. \(\lim\limits_{x\to x_0\atop{y\to y_0}}f(x,y)=A\Leftrightarrow f(x,y)=A+\alpha(x, y)\)，其中\(\lim\limits_{x\to x_0\atop{y\to y_0}}\alpha(x ,y)=0\)
2. 有夹逼，无单调有界
3. 有四则运算

判断二元函数极限不存在的方法：

1. 不同路径趋近所得极限不同。
2. 取一个路径极限不存在（少用。因为直接求极限不存在很困难）
3. 累次极限均存在，且不等

多元函数的二重极限和累次极限的对比

累次极限\(\lim\limits_{y\to y_0}\lim\limits_{x\to x_0}f(x,y)\ (x\not=x_0, y\not= y_0)\)本质上是求两次求一元函数极限，与二重极限不同。

例:\(\lim\limits_{x\to0\atop{y=kx}}\frac{2xy}{x^2+y^2}=\lim\limits_{x\to0}\frac{2x\cdot kx}{x^2+k^2x^2}=\frac{2k}{1+k^2}\)无极限
但\(\lim\limits_{y\to0}\lim\limits_{x\to0}\frac{2xy}{x^2+y^2}=0\)

定理：若\(\lim\limits_{x\to x_0\atop{y\to y_0}}f(x,y),\lim\limits_{y\to y_0}\lim\limits_{x\to x_0}f(x,y),\lim\limits_{x\to x_0}\lim\limits_{y\to y_0}f(x,y)\)都存在，那么三者相等。

累次极限

累次极限本质上是一种极限的复合。所以要让外层存在极限，里层必须有极限。

从点集关系理解，由于二重极限可以一次动两个点，自由度更高，在这个极限点位于边界的情况下，存在极限的可能性更大。而累次极限至少先定一个，所以想象一下\(f(x,y)=x\sin\frac{1}{y}+y\sin\frac{1}{x}\)的定义域是一个缺十字的平面，先定其一，比如\(x\)，总是一个定值，那么它所确定的\(xOz\)平面在这个狭缝周围，与曲面会切出一条不光滑的交线（主要由\(x\sin\frac{1}{y}\)决定其中\(x\)为定值，由于第二次极限结果不为0），所以累次极限不存在。

在知乎上写着写着发现问题了。这跟极限的复合是一样的。先第一次\(x\to0\)，是一个平面向\(x=0\)逼近过程当中截线如同龙飞舞一般，对应每一个\(y\)的值都不稳定。从而发现第二次极限根本就不可能做，因为第一次做完，已经算不上是函数了。

多元函数的连续

多元点的趋近

多元连续函数的性质

最值定理，介值定理（零点存在性定理）

定义 全增量\(\Delta z=f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0, y_0)\)

连续的第二种定义\(\lim\limits_{\Delta x\to0\atop{\Delta y\to0}}\Delta x=0\)

初等多元函数在定义域区域上的每一点处都连续。

分段函数\(\longrightarrow\)分块函数

多元函数的偏导数

例

求\(\frac{\partial u}{\partial y}=x^y\ln x\cdot zy^{z-1}\)(复合函数求导法则)

三种定义\(\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x, y_0)-f(x_0, y_0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta_xz}{\Delta x}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x, y_0)-f(x_0, y_0)}{x-x_0}\)
四种两类记法
\(\frac{\partial z}{\partial x}\Big|_{x=x_0\atop y=y_0}=z'_x\Big|_{x=x_0\atop y=y_0}=f'_x(x_0, y_0)=\frac{\partial f}{\partial x}\Big|_{x=x_0\atop y=y_0}\)

一元函数的导数和多元函数的偏导数的关系

\(\frac{\partial}{\partial x}\)和\(\frac{\partial}{\partial y}\)才是整体的算子。

对于一个二元隐函数\(F(x,y)=0\)而言\(\frac{\mathrm dx}{\mathrm dy}\cdot\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=1\)
对于三元隐函数\(G(x, y, z)\)来说,\(\frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial z}=-1\)

高阶偏导数

例 \(u=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\)

\(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=-(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{3}{2}}+3x^2(x^2+y^2+z^2)\)

轮换对称得\(\partial^2_yu,\partial^2_zu\)然后得\(\Delta=\partial^2_x+\partial^2_y+\partial^2_z=0\)称作Laplace算子

混合偏导

如果二元函数在某区域上连续则\(\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}, \frac{\partial^2}{\partial y\partial x}\)在此区域上相等。
混合二阶偏导分母上的\(\partial x, \partial y\)顺序暂不强调，通常都相等。

全微分

\(A(x,y)\Delta x+B(x,y)\Delta y\)称为全微分。

如果\(f(x, y)\)可微，则\(\partial_x, \partial_y\)存在且\(\mathrm dz=\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm dx+\frac{\partial z}{\partial y}\mathrm dy\)(证明时可以从退化的情况开始)

点可微必点连续。点可微必点偏导存在（\(\rho\to0\Rightarrow\Delta z\to0\)）但点偏导存在推不出点可微

偏导函数点连续推点可微：理解是由于存在方向性，微分需要一个稳定拟合的切平面。为了使当\(\rho\)极小的时候这个平面稳定。必须保证至少存在一个小区域里这两个偏导函数足够光滑（然后在极限的语境之下就可以稳定了），如果其一无论如何不连续，比如震荡，那稍微换一条路径逼近的时候无论多么接近总会发生平面的不稳定。

方向导数和梯度

\(\nabla z=\{\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}\}\)

复合函数的偏微分

（由于偏微分算子\(\frac{\partial}{\partial x}\)不是一个分式，所以此处的证明不用像一元函数链式法则那样繁琐）

\(u=f(x,y,z), z= g(x, y)\)
\(\frac{\partial u}{\partial x}=f_x'+\frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}\)，式中\(\partial_x\)和\(\frac{\partial u}{\partial x}\)的意义是不一样的。

通过全微分可以反推偏导，不用死记公式列式找待求的偏导。只需要按照隐函数求导法得出方程即可。

拉格朗日乘数法

是\(Fermat\)引理的自然延伸。