黎曼积分并非战无不胜
本文转自：http://blog.sciencenet.cn/blog-40247-46893.html 本文来自曹广福科学网博客。
微积分号称三百多年来最伟大的数学，俨然成了无敌于天下的数学老大，然而当狄里克雷(Dirichlet)大侠将他的魔鬼狄里克雷函数从瓶子里放出来时，微积分却对之无可奈何。让经典微积分感到恐惧的不仅仅是这样极端病态的函数，在人们施展微积分这门武功去对付各种自然科学中的问题时也会显得心有余而力不足。例如，当我们试图将积分与极限交换顺序时，极限号始终无法穿越那拉长了脸令人望而生畏的S，事实上，一个黎曼可积的函数序列{fn}即使是收敛的，其极限却可能是个不可积函数，此时讨论等式
lim∫fndx=∫limfndx
是否成立是没有意义的，就算limfn也可积，上述等式也未必成立。很多时候，也许lim能打败S最终穿越它而使上述等式成立，那也是费尽了九牛二虎之力方勉强获胜。问题出在哪里呢？还是让我们先来回顾一下黎曼积分的定义，以图找出它的命门所在。
假设y=f(x)是区间［a,b］上的函数，若存在某个常数A，使得对区间［a,b］的任一分割:
a=x0<x1<…<xn-1<xn=b
及任意ξi∈[xi-1，xi]，i=1，…，n， 只要λ=max{Δxi}=max{xi-xi-1}→0，总有
|Σif（ξi）Δxi-A| →0 （*）
则称f在［a,b]上黎曼可积，A称为f在［a,b]上的定积分，记作
∫abf（x）dx=limΣif（ξi）Δxi
从上述定义可以看出，如果f(x)在［a，b］上可积，则对［a，b］内任一充分小的邻域δ，f(x)在δ上值的变化不能太大,否则(*)中和式的极限可能会不存在。由此看来，(*)式对函数有了特定的要求,，它要求这些函数必须是“循规蹈矩”的，即(*)式中极限存在的函数要“基本上”是连续的，事实上，这已为人们所证明(这里所说的“基本上”稍有含糊,所幸不妨碍对问题的理解)，这说明问题恰恰出在黎曼积分的定义本身。若想使事情得以解决，就必须摆脱黎曼积分的局限。
法国著名数学家勒贝格(Lebesgue,Henri Leon)给我们带来了全新的观点, 他凭着基于直观几何概念的深刻的洞察力，给分析学开辟了新天地，他发明了一个新式武器—勒贝格积分。勒贝格放弃了对函数的定义域进行分割并进而求和的方法，转而对函数的值域进行分割。为方便起见，不妨以［a,b]上有界函数y=f(x)为例，假设m≤f(x)≤M，对［m,M］作任意分割：
m=c0<c1<…<cn-1<cn=M ，
则对f的定义域中任意x，f(x)必定位于某个 [ci-1，ci] 中。考虑所有其值位于 [ci-1，ci] 中的那些x，即[ci-1，ci] 的原像,记作
Ei=f-1（ [ci-1，ci] ）。
直观上看来，当y=f(x)连续时，Ei是一些区间的并.我们暂时先假定f是连续的,这样 Ei 自然有“长度”，即几个(也可能是无穷多个)小区间长度之和，作和式
S（f）= Σiξi|Ei| （**）
其中ξi∈[ci-1，ci]，| Ei |表示小区间长度之和。当λ=max{ci-ci-1}→0 时，S(f)有没有极限？极限是什么？仔细分析一下，此时S(f)的极限其实就是f的黎曼积分。这就是说，用上述方法分割求和相对于连续函数来说与[ci-1，ci]积分是一样的。如果f在［a，b］上不连续，情形会怎样呢？此时 Ei 就未必是由区间组成的了，这从狄里克雷函数便可看出，因而就没有通常的“长度”了，(**)式自然没有意义。要解决这一问题，就有必要对一般的集合建立“长度”概念，这就是所谓的“测度”，我在谈分形的博文中已经谈到这个问题。有了“长度”概念， 还要考察什么样的集合有“长度”，什么样的集合没有“长度”？假如有些集合没有“长度”， 那么什么样的函数f使得Ei有“长度”？什么样的f使(**)式有极限？ 于是“可测函数”及新型“可积函数”的概念便诞生了，这一理论有一个响亮的名字“实变函数”。
乍看起来，与黎曼积分比较，除了定义的角度、观点不同，勒贝格积分似乎无更多新意。其实不然，这一理论给数学带来的影响是深刻和巨大的，它除了使可积函数的范围扩大了以及为积分与极限交换顺序等问题提供了更方便实用的理论外，其更深远的影响在于为泛函分析的产生奠定了基础，同时，也使得概率论这一出身于赌场名声不太好的学科很自然地成为近代数学的一个重要分支。
勒贝格大侠的这门武功让传统微积分相形见拙，但也令数学专业的大学生们感到惧怕，因为它飘忽不定，有如霍家的迷踪拳，让人不可捉摸，皆因它所要对付的魔鬼们大多轻功了得，狄里克雷的魔鬼与之相比不过是个三流都算不上的小角色，非轻灵飘忽的绝顶功夫对付不了他们。
你理解了吗？
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