具有对称性质的单参数混沌镜像系统的切换控制

近年来，混沌已经应用到许多工程领域，例如：信息科学、复杂神经网络、信号处理、通信保密等。因此，许多学者一直探索新的混沌动力学。
一些简单的光滑三维二次连续自治系统能生成混沌。1994年，Sportt提出了19个简单的混沌系统。每个系统仅有5项和2个非线性项或6项和1个非线性项。并且依次描述了每个混沌系统的平衡点、三个Lyapunov指数和分形维。1999年，陈关荣等人提出了一个新的三维二次连续混沌系统，后来被称之为ChenChenChen系统。2002年，吕金虎等人提出了另外一个新的三维二次连续混沌系统，后来被称之为Lu¨L\ddot{u}Lu¨系统。后来，在三维二次连续的自治系统中，诸多学者发现了许多光滑的混沌系统。与这些研究成果对比，同时构造具有一个对称参数的两个混沌系统的问题尚未被研究。
混沌系统能生成具有不同形状的混沌吸引子。2004年，Zhou首先提出了一个光滑三维二次连续的自治系统，该系统含9个参数和3个二次交叉乘积项，具有生成球形混沌吸引子的能力。混沌吸引子的两个代表性的形状是蝴蝶翅膀形状和涡卷形状。除了双翅膀吸引子之外，三翅膀和四翅膀吸引子的研究也是非常值得关注的。
近年来，诸多学者主要利用切换控制方法，来生成多涡卷或者多翅膀混沌吸引子。2004年，吕金虎等人研究了对称混沌吸引子的问题，取得了重要的研究成果。然而，两个问题尚未得到研究。一个问题是如何连接两个对称混沌吸引子，来生成一个新的对称混沌吸引子；另一个问题是两个混沌系统如何消除混沌。
本节提出两个具有4个二次项和1个对称参数的三维连续自治混沌系统，两个系统能生成两个新的对称混沌吸引子。本节分别计算了每个系统的三个Lyapunov指数和相应的Lyapunov维数，来验证混沌的存在性。利用新的切换控制方法，两个对称混沌吸引子能迅速地连接成一个新的对称混沌吸引子。并且，设计具有适当参数的几个简单的平面切换控制律，来有效消除混沌。

1. 两个混沌系统的构造

构造一个具有对称参数的两个光滑三维二次连续自治混沌系统如下：
第一个混沌系统
{x˙=−6x+18y−az2y˙=−6y−18xzz˙=−20+xy+3x2\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}=-6x+18y-az^2\\ \dot{y}=-6y-18xz\\ \dot{z}=-20+xy+3x^2\\ \end{array} \right. ⎩⎨⎧x˙=−6x+18y−az2y˙=−6y−18xzz˙=−20+xy+3x2
第二个混沌系统
{x˙=−6x+18y+az2y˙=−6y−18xzz˙=−20+xy+3x2\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}=-6x+18y+az^2\\ \dot{y}=-6y-18xz\\ \dot{z}=-20+xy+3x^2\\ \end{array} \right. ⎩⎨⎧x˙=−6x+18y+az2y˙=−6y−18xzz˙=−20+xy+3x2
其中aaa是一个对称参数。
当取对称参数a=3a=3a=3时，第一个混沌系统取初始条件(x0,y0,z0)=(1,1,1)(x_0,y_0,z_0)=(1,1,1)(x0,y0,z0)=(1,1,1)和第二个混沌系统取初始条件(x0,y0,z0)=(−1,−1,−1)(x_0,y_0,z_0)=(-1,-1,-1)(x0,y0,z0)=(−1,−1,−1),这两个系统分别生成两个对称混沌吸引子，如下图所示：

以下是实现上述过程的MATLAB代码：

clear;clc;
x0 = [1,1,1,-1,-1,1];
tspan = [0,50];
[T,Y] = ode45(@dxdy,tspan,x0);
figure(1)
plot(Y(:,1),Y(:,2),'color',[0.25,0.15,0.7])
hold on
plot(Y(:,4),Y(:,5),'color',[0.85,0.2,0.3])
xlabel('x','FontName','Times New Roman','FontSize',20)
ylabel('y','FontName','Times New Roman','FontSize',20)
set(gca,'FontName','Times New Roman','FontSize',20,'LineWidth',2)figure(2)
plot(Y(:,1),Y(:,3),'color',[0.25,0.15,0.7])
hold on
plot(Y(:,4),Y(:,6),'color',[0.85,0.2,0.3])
xlabel('x','FontName','Times New Roman','FontSize',20)
ylabel('z','FontName','Times New Roman','FontSize',20)
set(gca,'FontName','Times New Roman','FontSize',20,'LineWidth',2)figure(3)
plot(Y(:,2),Y(:,3),'color',[0.25,0.15,0.7])
hold on
plot(Y(:,5),Y(:,6),'color',[0.85,0.2,0.3])
xlabel('y','FontName','Times New Roman','FontSize',20)
ylabel('z','FontName','Times New Roman','FontSize',20)
set(gca,'FontName','Times New Roman','FontSize',20,'LineWidth',2)figure(4)
plot3(Y(:,1),Y(:,2),Y(:,3),'color',[0.25,0.15,0.7])
hold on
plot3(Y(:,4),Y(:,5),Y(:,6),'color',[0.85,0.2,0.3])
xlabel('x','FontName','Times New Roman','FontSize',20)
ylabel('y','FontName','Times New Roman','FontSize',20)
zlabel('z','FontName','Times New Roman','FontSize',20)
set(gca,'FontName','Times New Roman','FontSize',20,'LineWidth',2)function dy = dxdy(~,y)
a = 3;dy = zeros(6,1);
dy(1) = -6 * y(1) + 18 * y(2) - a * y(3)^2;
dy(2) = -6 * y(2) - 18 * y(1) * y(3);
dy(3) = -20 + y(1) * y(2) + 3 * y(1)^2;
dy(4) = -6 * y(4) + 18 * y(5) + a * y(6)^2;
dy(5) = -6 * y(5) - 18 * y(4) * y(6);
dy(6) = -20 + y(4) * y(5) + 3 * y(4)^2;
dy = [dy(1);dy(2);dy(3);dy(4);dy(5);dy(6)];
end

通过简单地观测上述数值仿真的图像，易知第一个混沌系统生成的混沌吸引子与第二个混沌系统生成的混沌吸引子是对称的。

2. 两个混沌系统的动力学分析

第一个混沌系统的雅可比矩阵J1J_1J1

J1=[−618−2az−18z−6−18x6x+yx0]=A1+xB1+yC1+zD1J_1=\left[ \begin{matrix} -6& 18& -2az\\ -18z& -6& -18x\\ 6x+y& x& 0\\ \end{matrix} \right] =A_1+xB_1+yC_1+zD_1 J1=⎣⎡−6−18z6x+y18−6x−2az−18x0⎦⎤=A1+xB1+yC1+zD1
其中，
A1=[−61800−60000],B1=[00000−18610]A_1=\left[ \begin{matrix} -6& 18& 0\\ 0& -6& 0\\ 0& 0& 0\\ \end{matrix} \right] ,B_1=\left[ \begin{matrix} 0& 0& 0\\ 0& 0& -18\\ 6& 1& 0\\ \end{matrix} \right] A1=⎣⎡−60018−60000⎦⎤,B1=⎣⎡0060010−180⎦⎤
C1=[000000100],D1=[00−2a−1800000]C_1=\left[ \begin{matrix} 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ \end{matrix} \right] ,D_1=\left[ \begin{matrix} 0& 0& -2a\\ -18& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ \end{matrix} \right] C1=⎣⎡001000000⎦⎤,D1=⎣⎡0−180000−2a00⎦⎤
第二个混沌系统的雅可比矩阵J2J_2J2
J1=[−6182az−18z−6−18x6x+yx0]=A2+xB2+yC2+zD2J_1=\left[ \begin{matrix} -6& 18& 2az\\ -18z& -6& -18x\\ 6x+y& x& 0\\ \end{matrix} \right] =A_2+xB_2+yC_2+zD_2 J1=⎣⎡−6−18z6x+y18−6x2az−18x0⎦⎤=A2+xB2+yC2+zD2

A1=[−61800−60000],B1=[00000−18610]A_1=\left[ \begin{matrix} -6& 18& 0\\ 0& -6& 0\\ 0& 0& 0\\ \end{matrix} \right] ,B_1=\left[ \begin{matrix} 0& 0& 0\\ 0& 0& -18\\ 6& 1& 0\\ \end{matrix} \right] A1=⎣⎡−60018−60000⎦⎤,B1=⎣⎡0060010−180⎦⎤
C1=[000000100],D2=[002a−1800000]C_1=\left[ \begin{matrix} 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ \end{matrix} \right] ,D_2=\left[ \begin{matrix} 0& 0& 2a\\ -18& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ \end{matrix} \right] C1=⎣⎡001000000⎦⎤,D2=⎣⎡0−1800002a00⎦⎤
第一个混沌系统的散度∇V1\nabla V_1∇V1被定义为
∇V1=∂x˙∂x+∂y˙∂y+∂z˙∂z=tr(J1)=−12\nabla V_1=\frac{\partial \dot{x}}{\partial x}+\frac{\partial \dot{y}}{\partial y}+\frac{\partial \dot{z}}{\partial z}=tr\left( J_1 \right) =-12 ∇V1=∂x∂x˙+∂y∂y˙+∂z∂z˙=tr(J1)=−12
第二个混沌系统的散度∇V2\nabla V_2∇V2被定义为
∇V2=∂x˙∂x+∂y˙∂y+∂z˙∂z=tr(J2)=−12\nabla V_2=\frac{\partial \dot{x}}{\partial x}+\frac{\partial \dot{y}}{\partial y}+\frac{\partial \dot{z}}{\partial z}=tr\left( J_2 \right) =-12 ∇V2=∂x∂x˙+∂y∂y˙+∂z∂z˙=tr(J2)=−12
其中tr(Ji)tr(J_i)tr(Ji)表示矩阵JiJ_iJi的迹，i=1,2i=1,2i=1,2。
通过比较第一个混沌系统的散度和第二个混沌系统的散度，有
∇V1=∇V2<0\nabla V_1=\nabla V_2<0 ∇V1=∇V2<0
因此，两个混沌镜像系统具有相同的散度，它们均是耗散的。
当参数a=3a=3a=3时和初始条件(x0,y0,z0)=(1,1,1)(x_0,y_0,z_0)=(1,1,1)(x0,y0,z0)=(1,1,1)，第一个系统的三个Lyapunov指数是LE1=3.415,LE2=0LE_1=3.415,LE_2=0LE1=3.415,LE2=0和LE3=−15.42LE_3=-15.42LE3=−15.42如下图所示。相应的Lyapunov维数是DKY=2.2D_{KY}=2.2DKY=2.2。

当参数a=3a=3a=3时和初始条件(x0,y0,z0)=(−1,−1,1)(x_0,y_0,z_0)=(-1,-1,1)(x0,y0,z0)=(−1,−1,1)，第二个系统的三个Lyapunov指数是LE1=3.415,LE2=0LE_1=3.415,LE_2=0LE1=3.415,LE2=0和LE3=−15.42LE_3=-15.42LE3=−15.42如下图所示。相应的Lyapunov维数是DKY=2.2D_{KY}=2.2DKY=2.2。

通过分别比较Lyapunov指数和Lyapunov维数的值，因此，具有对称的单参数混沌镜像系统具有相同的Lyapunov指数，它们生成的两个对称混沌吸引子具有相同的Lyapunov维数。
显然，两个系统的最大Lyapunov指数是正的，因此，两个系统均是混沌系统。

3. 基于切换控制的两个对称混沌吸引子的连接

为了连接两个对称混沌吸引子，本节提出了一个新的切换控制方法。
通过简单的观测这两个混沌系统的混沌吸引子数值仿真图可以看出，两个对称混沌吸引子存在一个公共区域，在三维空间中，选取一个切换平面SSS如下：
S:bx+cy=0S:bx+cy=0S:bx+cy=0
所设计的切换平面SSS应该穿越公共区域。
设计平面切换律如下：
σ={1,ifbx+cy>02,other\sigma =\left\{ \begin{array}{l} 1,\ if\ bx+cy>0\\ 2,\ other\\ \end{array} \right. σ={1, if bx+cy>02, other
其中，σ\sigmaσ是依赖于系统状态的切换信号。
当bx+cx>0bx+cx>0bx+cx>0，第一个混沌系统被激活，否则，第二个混沌系统被激活。

当选取一系列适当的参数时，两个对称混沌吸引子能够被有效的连接成为一个新的对称混沌吸引子。

当对称参数a=3a=3a=3和初始条件(x0,y0,z0)=(1,1,1)(x_0,y_0,z_0)=(1,1,1)(x0,y0,z0)=(1,1,1)，取b=−5,c=1b=-5,c=1b=−5,c=1，所设计平面切换律如下：
σ={1,if−5x+y>02,other\sigma =\left\{ \begin{array}{l} 1,\ if\ -5x+y>0\\ 2,\ other\\ \end{array} \right. σ={1, if −5x+y>02, other
两个对称混沌吸引子能够被有效的连接成为一个新的对称混沌吸引子。