正文.

给定一个上Hessenberg矩阵(以下简称海氏矩阵)，其结构如下所示：A=[a11a12a13⋯a1na21a22a23⋯a2n0a23a33⋯a3n⋮⋮⋱⋱⋮00⋯an−1,nann]A=\left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ 0 & a_{23} & a_{33} & \cdots & a_{3n} \\ \vdots& \vdots& \ddots & \ddots & \vdots\\0 & 0 & \cdots& a_{n-1,n} & a_{nn} \end{matrix} \right]A=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡a11a210⋮0a12a22a23⋮0a13a23a33⋱⋯⋯⋯⋯⋱an−1,na1na2na3n⋮ann⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤
基于Givens变换对其进行QR分解，第一次迭代构造平面旋转变换矩阵 P1P_1P1 使得a11←v1a_{11}\leftarrow v_1a11←v1a21←0a_{21}\leftarrow0a21←0因此 P1P_1P1 的结构如下所示：P1=[cos⁡θ−sin⁡θ0⋯0sin⁡θcos⁡θ0⋯0001⋯0⋮⋮⋮⋱⋮000⋯1]P_1=\left[ \begin{matrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 & \cdots &0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots& \vdots& \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0& \cdots & 1 \end{matrix} \right]P1=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡cosθsinθ0⋮0−sinθcosθ0⋮0001⋮0⋯⋯⋯⋱⋯000⋮1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤其中cos⁡θ=a11a112+a212,sin⁡θ=a21a112+a212\cos\theta=\frac{a_{11}}{\sqrt{a_{11}^2+a_{21}^2}}~,~\sin\theta=\frac{a_{21}}{\sqrt{a_{11}^2+a_{21}^2}}cosθ=a112+a212a11 , sinθ=a112+a212a21于是第一左变换后得到的矩阵P1AP_1AP1A 的结构如下所示：P1A=[v1a12a13⋯a1n0a22a23⋯a2n0a23a33⋯a3n⋮⋮⋱⋱⋮00⋯an−1,nann]P_1A=\left[ \begin{matrix} v_{1} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ 0 & a_{23} & a_{33} & \cdots & a_{3n} \\ \vdots& \vdots& \ddots & \ddots & \vdots\\0 & 0 & \cdots& a_{n-1,n} & a_{nn} \end{matrix} \right]P1A=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡v100⋮0a12a22a23⋮0a13a23a33⋱⋯⋯⋯⋯⋱an−1,na1na2na3n⋮ann⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤经过 n−1n-1n−1 次左变换后，我们得到一个上三角阵，即为QR分解中的 RRR，记QT=∏i=1n−1PiQ^T=\prod^{n-1}_{i=1}P_iQT=i=1∏n−1Pi则有QTA=RQ^TA=RQTA=R对其标记上迭代次数，写为Q1TA1=R1(1)Q_1^TA_1=R_1\tag{1}Q1TA1=R1(1)根据QR迭代法构造矩阵序列公式Ak+1=RkQk(2)A_{k+1}=R_kQ_k\tag{2}Ak+1=RkQk(2)我们得到 A2A_2A2 的表达式：A2=R1Q1=Q1TA1Q1=∏i=1n−1Pi⋅A1⋅∏i=1n−1PiT(3)A_2=R_1Q_1=Q_1^TA_1Q_1=\prod^{n-1}_{i=1}P_i·A_1·\prod^{n-1}_{i=1}P_i^T\tag{3}A2=R1Q1=Q1TA1Q1=i=1∏n−1Pi⋅A1⋅i=1∏n−1PiT(3)
根据 (3)(3)(3) 式我们发现，如果对 A1A_1A1 同时进行左变换和右变换，即可得到下一个迭代矩阵 A2A_2A2，并且考察其结构不难发现，A2A_2A2 也是一个海氏矩阵，反复应用上述变换就产生相似于 AAA 的海氏矩阵序列 {Ak}\{A_k\}{Ak}，根据上篇中给出的QR迭代法收敛性证明可知，当 an,n−1a_{n,n-1}an,n−1 充分小时，认为此时 ann≈λna_{nn}\approx\lambda_nann≈λn 是近似特征值，之后对于前 n−1n-1n−1 阶矩阵 A[1:n−1,1:n−1]A[1:n-1,1:n-1]A[1:n−1,1:n−1]继续进行QR迭代法即可获得其余近似特征值。
充分小的判断准测通常采用：
①∣an,n−1∣≤ϵ∣∣A∣∣∞;②∣an,n−1∣≤ϵ⋅min⁡{∣ann∣,∣an−1,n−1∣}.①~|a_{n,n-1}|≤\epsilon||A||_{\infin}~;~②~|a_{n,n-1}|≤\epsilon·\min\{|a_{nn}|,|a_{n-1,n-1}|\}.① ∣an,n−1∣≤ϵ∣∣A∣∣∞ ; ② ∣an,n−1∣≤ϵ⋅min{∣ann∣,∣an−1,n−1∣}.
其中 ϵ=10−t\epsilon=10^{-t}ϵ=10−t，ttt 是计算时的有效数字位数。

补充.

在QR迭代法收敛性证明时，得到其收敛因子rn=∣λnλn−1∣r_n=\Big|\frac{\lambda_n}{\lambda_{n-1}}\Big|rn=∣∣∣λn−1λn∣∣∣当其近似为 111 时收敛较慢，可以采用原点位移策略加速收敛，即对矩阵 A−s⋅EA-s·EA−s⋅E 应用QR迭代法。
在QR分解过程中，每一次Givens变换 PAPAPA 实际只对 222 行元素有影响，这样的变换共进行了 n−1n-1n−1 次，对于海氏矩阵进行基于Givens变换的QR分解时间复杂度是 O(n2).O(n^2).O(n2).

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【NA】Hessenberg阵的QR迭代法

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正文.

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