(转)QR分解求矩阵的全部特征值

2024-04-26 02:37:50

QR算法求矩阵全部特征值的基本思想是利用矩阵的QR分解通过迭代格式

将A=A1化成相似的上三角阵，从而求出矩阵A的全部特征值。

QR方法的计算步骤如下:

下面就依次进行介绍。

一. 将一般矩阵化为上Hessenberg阵

1.定义

一个矩阵如果满足i>j+1时aij=0，则将这个矩阵成为上Hessenberg阵。上Hessenberg阵

的形式如下:

2. Householder变换将一般矩阵转化为上Hessnberg阵

首先，选取Householder矩阵H1，使得经过H1相似变换后的矩阵H1AH1的元素a21下面的

元素全部为0，即a31, a41, ....., am1均为0，H1取如下形式

其中为n-1阶HouseHolder矩阵。然后选取Householder矩阵H2，使得经过H2相似变换

之后的矩阵H2(H1AH1)H2第二列中a32下面的a42, ....am2均为0。如此进行n-2次，可以构造

n-2个householder矩阵H1,H2, Hn-2，使得 Hn-2....H2H2AH1H2....Hm-2 = H(H为上Hessenberg矩阵)。

对于一个n*m的矩阵A,第col次的H可以这样构造求得(col从0开始):

其中，I为n*n的单位矩阵， v'表示矩阵v的转置， sign(x0)表示x0的符号的相反数( 当x0>0时sign=-1,当x<=0时为1),

||x||表示向量x的长度, col等于所求的上hessenberg矩阵的序号，从0开始。

二. 用Givens变换对上hessnberg矩阵作QR分解

此时有 H = R21' * R32' * ... * Rn(n-1)'R = QR。

多次计算H，直到H的变化小于一个较小的阈值时，停止迭代，此时H主对角线上的元素

即为矩阵A的全部特征值。

下面举个例子来说明求解矩阵的全部特征值的过程。

求矩阵的全部特征值

首先将A化成上hessenberg阵，取

x = [0, 6, 4], 则 ||x|| = =

则 w = [0, , 0] ， v = w + 1 * x = [0, 6+, 4]

则 p = v*v'/v'*v =

于是 H1 = I - 2*p =

所以 H = H1AH1 =

H即为与A相似的上hessenberg矩阵。将H进行QR分解

这个程序的完整代码可以到这里下载，http://download.csdn.net/detail/xxc1605629895/6473181

(转)QR分解求矩阵的全部特征值相关推荐

QR分解求矩阵特征值、特征向量 C语言
最近在看一个高光谱图像压缩算法,其中涉及到正交变换,计算正交变换时,需要对普通矩阵求其特征向量.想要在网上找一个现成的程序,可能是我百度的能力不强吧,居然真的没找见.好了废话不多说,下面进入正题. 计 ...
QR分解求矩阵全部特征值
QR算法求矩阵全部特征值的基本思想是利用矩阵的QR分解通过迭代格式将A=A1化成相似的上三角阵,从而求出矩阵A的全部特征值. QR方法的计算步骤如下: 下面就依次进行介绍. 一. 将一般矩阵化为上H ...
【matlab】 QR分解求矩阵的特征值
"QR_H.m"function [Q,R] = QR_tao(A) %输入矩阵A %输出正交矩阵Q和上三角矩阵R [n,n]=size(A); E = eye(n); X = z ...
QR分解求矩阵绝对值-基于HouseHolder变换
思路: 输入矩阵A(mxn)-->HouseHolder变换-->获得矩阵B(Hessenberg矩阵nxn)-->Gievens变换 -->获得Q(标准正交nxn)和R(上三 ...
C语言通过QR分解计算矩阵的特征值和特征向量
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> #include <time.h>// ...
双步位移求解特征值matlab,数值分析——带双步位移的QR分解求特征值算法
C语言实现数值分析中带双步位移的QR分解求特征值算法. 数值分析(B) 大作业(二) 1.算法设计: ①矩阵的拟上三角化: 对实矩阵A进行相似变换化为拟上三角矩阵A(n 1),其变换矩阵采用 ...
qr分解求线性方程组_矩阵分解
矩阵分解 1. 矩阵的三角分解 1.1 高斯消去法解线性方程组在聊起矩阵分解之前,先看一下我们小学二年级就学过的高斯消去法解线性方程组,其主要思想就是:将方程组写作写作增广矩阵(A|b)的形式,然后 ...
【机器学习】用QR分解求最小二乘法的最优闭式解
[机器学习]用QR分解求最小二乘法的最优闭式解写在前面 QR分解定义 QR的求解线性回归模型用QR分解求解最优闭式解矩阵的条件数实验运行结果写在前面今天刷知乎,看到张皓在面试官如何判 ...
豪斯荷尔德变换 matlab,隐式QR法求实矩阵的全部特征值matlab实现
隐式QR法求实矩阵的全部特征值matlab实现隐式QR法求实矩阵的全部特征值matlab实现要求:用matlab编写通用子程序,利用隐式QR法求实矩阵的全部特征值和特征向量. 思想:隐式QR法实质 ...

最新文章

热门文章