一、理论基础

1、麻雀搜索算法

请参考这里。

2、改进麻雀搜索算法

2.1 猫映射混沌初始化种群

针对Logistic映射和Tent映射的缺点，本文通过猫映射来生成改进算法的初始种群。猫映射表达式为：[yi+1wi+1]=[1a1b1a1b1+1][yiwi]mod1(1)\begin{bmatrix}y_{i+1}\\w_{i+1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&a_1\\b_1&a_1b_1+1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_i\\w_i\end{bmatrix}\text{mod}\,\,1\tag{1}[yi+1wi+1]=[1b1a1a1b1+1][yiwi]mod1(1)其中，a1=b1=1a_1=b_1=1a1=b1=1；mod1\text{mod}\,\,1mod1表示求a1a_1a1小数部分。由于猫映射结构简单，不易陷入小循环周期和不动点，通过该映射产生初始种群具有更好的遍历均匀性。

2.2 Tent混沌和柯西变异扰动策略

2.2.1 Tent混沌扰动

Tent混沌映射存在小周期和不稳定周期点，为避免落入小周期点和不稳定周期点，在原有的Tent映射表达式上引入随机变量rand(0,1)×1N\text{rand}(0,1)×\frac1Nrand(0,1)×N1，改进后的Tent混沌映射表达式如下：zi+1={2zi+rand(0,1)×1N,0≤zi≤122(1−zi)+rand(0,1)×1N,12<zi≤1(2)z_{i+1}=\begin{dcases}2z_i+\text{rand}(0,1)×\frac1N,\quad\quad\quad\,\,\,\, 0≤z_i≤\frac12\\2(1-z_i)+\text{rand}(0,1)×\frac1N,\quad\, \frac12<z_i≤1\end{dcases}\tag{2}zi+1=⎩⎪⎨⎪⎧2zi+rand(0,1)×N1,0≤zi≤212(1−zi)+rand(0,1)×N1,21<zi≤1(2)贝努利移位变换后的表达式为：zi+1=(2zi)mod1+rand(0,1)×1N(3)z_{i+1}=(2z_i)\text{mod}\,1+\text{rand}(0,1)×\frac1N\tag{3}zi+1=(2zi)mod1+rand(0,1)×N1(3)其中，NNN为序列内粒子个数。

2.2.2 柯西变异

柯西变异来源于连续型概率分布的柯西分布，主要特点为零处峰值较小，从峰值到零值下降缓慢，使变异范围更均匀。变异公式为：mutation(x)=x(1+tan⁡(π(u−0.5)))(4)mutation(x)=x(1+\tan(\pi(u-0.5)))\tag{4}mutation(x)=x(1+tan(π(u−0.5)))(4)其中，xxx为原来个体位置，mutation(x)mutation(x)mutation(x)为经过柯西变异后的个体位置，uuu为(0,1)(0,1)(0,1)区间内的随机数。

2.3 改进探索者位置更新公式

由于exp⁡(−iα⋅itermax⁡)\exp\left(\frac{-i}{\alpha\cdot iter_{\max}}\right)exp(α⋅itermax−i)值的微小改变对探索者的影响较大，因此本文在此基础上，将探索者更新公式改为：xi,dt+1={xi,dt⋅2exp⁡(4iα⋅itermax⁡)m,R2<STxi,dt+Q×L,R2≥ST(5)x_{i,d}^{t+1}=\begin{dcases}x_{i,d}^t\cdot\frac{2}{\exp\left(\frac{4i}{\alpha\cdot iter_{\max}}\right)^m},\quad R_2<ST\\x_{i,d}^t+\boldsymbol Q×\boldsymbol L,\quad\quad\quad\quad\,\,\, R_2≥ST\end{dcases}\tag{5}xi,dt+1=⎩⎪⎨⎪⎧xi,dt⋅exp(α⋅itermax4i)m2,R2<STxi,dt+Q×L,R2≥ST(5)令c=2exp⁡(4iα⋅itermax⁡)mc=\frac{2}{\exp\left(\frac{4i}{\alpha\cdot iter_{\max}}\right)^m}c=exp(α⋅itermax4i)m2，选取mmm从1到4之间分析参数mmm对探索者性能的影响，如图1所示。

图1 ccc变化曲线
mmm值的选取影响着麻雀探索者对于全局和局部搜索之间的平衡关系。从图1可以看出，每条曲线都是前期收敛速度快，后期收敛速度慢，由文献[1]的分析可知，取 m=2m=2m=2，参数 ccc可以使改进算法的探索能力和觅食能力达到较好的平衡，此时探索者可在前期充分广泛搜索目标，后期着重对最优位置进行挖掘。

2.4 探索者-跟随者自适应调整策略

本文提出探索者-跟随者自适应调整策略，该策略在迭代前期，探索者可以占种群数目的多数，随着迭代次数的增加，探索者的数目自适应减少，跟随者的数目自适应增加，逐步从全局搜索转为局部精确搜索，从整体上提高算法的收敛精度。探索者和跟随者数目调整公式为：r=b(tan⁡(−πt4⋅itermax⁡+π4)−k⋅rand(0,1))(6)r=b(\tan(-\frac{\pi t}{4\cdot iter_{\max}}+\frac\pi4)-k\cdot\text{rand}(0,1))\tag{6}r=b(tan(−4⋅itermaxπt+4π)−k⋅rand(0,1))(6)pNum=r⋅N(7)pNum=r\cdot N\tag{7}pNum=r⋅N(7)sNum=(1−r)⋅N(8)sNum=(1-r)\cdot N\tag{8}sNum=(1−r)⋅N(8)其中，pNumpNumpNum为探索者数目，sNumsNumsNum为跟随者数目；bbb为比例系数，用于控制探索者和跟随者之间的数目，本文取值为1；kkk为扰动偏离因子，对非线性递减的rrr值进行扰动，本文取值为0.2。

2.5 改进后麻雀搜索算法

AMSSA算法流程图如下：

图2 AMSSA算法流程图

二、仿真实验与分析

为验证本文所改进算法的寻优能力及可行性，将AMSSA与PSO、GWO、WOA、SSA算法同时在部分基准函数上进行对比测试，以文献[1]中表2的f1、f2(单峰函数/30维)、f9、f10(多峰函数/30维)、f13、f14(固定维度多峰函数/6维、4维)为例。为了避免偶然误差过大，在实验中选取各基准函数独立运行40次，取最佳值、平均值和标准差作为评价指标，实验中设定种群规模为30，最大迭代次数为500。
结果显示如下：

函数：F1
PSO：最大值: 2394.9371,最小值:761.4281,平均值:1436.7306,标准差:395.3435
GWO：最大值: 3.186e-27,最小值:1.9119e-29,平均值:8.3043e-28,标准差:7.8847e-28
WOA：最大值: 4.7117e-70,最小值:5.666e-85,平均值:1.1785e-71,标准差:7.4498e-71
SSA：最大值: 1.0801e-53,最小值:0,平均值:2.7002e-55,标准差:1.7078e-54
AMSSA：最大值: 0,最小值:0,平均值:0,标准差:0
函数：F2
PSO：最大值: 35.2167,最小值:17.1769,平均值:26.9807,标准差:4.2543
GWO：最大值: 2.8915e-16,最小值:2.6267e-17,平均值:1.1027e-16,标准差:6.7414e-17
WOA：最大值: 7.6953e-49,最小值:7.0577e-57,平均值:3.5303e-50,标准差:1.3891e-49
SSA：最大值: 6.2909e-37,最小值:1.4022e-161,平均值:2.3898e-38,标准差:1.0325e-37
AMSSA：最大值: 0,最小值:0,平均值:0,标准差:0
函数：F9
PSO：最大值: 11.9577,最小值:7.3331,平均值:8.9889,标准差:0.83767
GWO：最大值: 1.5721e-13,最小值:6.4837e-14,平均值:1.0543e-13,标准差:1.949e-14
WOA：最大值: 7.9936e-15,最小值:8.8818e-16,平均值:4.5297e-15,标准差:2.4781e-15
SSA：最大值: 8.8818e-16,最小值:8.8818e-16,平均值:8.8818e-16,标准差:0
AMSSA：最大值: 8.8818e-16,最小值:8.8818e-16,平均值:8.8818e-16,标准差:0
函数：F10
PSO：最大值: 28.3564,最小值:6.7043,平均值:16.3545,标准差:5.2621
GWO：最大值: 0.030659,最小值:0,平均值:0.003812,标准差:0.007937
WOA：最大值: 0.18347,最小值:0,平均值:0.006929,标准差:0.032232
SSA：最大值: 0,最小值:0,平均值:0,标准差:0
AMSSA：最大值: 0,最小值:0,平均值:0,标准差:0
函数：F13
PSO：最大值: -2.8735,最小值:-3.3218,平均值:-3.1643,标准差:0.10617
GWO：最大值: -3.0406,最小值:-3.322,平均值:-3.2367,标准差:0.089385
WOA：最大值: -2.8335,最小值:-3.3218,平均值:-3.2046,标准差:0.13641
SSA：最大值: -3.2031,最小值:-3.322,平均值:-3.2655,标准差:0.060129
AMSSA：最大值: -3.2031,最小值:-3.322,平均值:-3.2477,标准差:0.058292
函数：F14
PSO：最大值: -2.625,最小值:-10.1532,平均值:-5.3019,标准差:3.4499
GWO：最大值: -4.8746,最小值:-10.1527,平均值:-9.512,标准差:1.7133
WOA：最大值: -2.6261,最小值:-10.1531,平均值:-8.3547,标准差:2.6306
SSA：最大值: -5.0552,最小值:-10.1532,平均值:-9.3867,标准差:1.8428
AMSSA：最大值: -5.0552,最小值:-10.1532,平均值:-9.5159,标准差:1.7075

实验表明，AMSSA寻优性能提升较明显，具有良好的开拓能力，鲁棒性强，表现出良好的实时能力。

三、参考文献

[1] 唐延强, 李成海, 宋亚飞, 等. 自适应变异麻雀搜索优化算法[J/OL]. 北京航空航天大学学报: 1-14 [2021-09-21].

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