结构力学程序算法理论基础(一)———

1.约束

定义约束:限制质点或者质点系运动的条件称为约束,表示这些限制条件的数学方程称为约束方程。
(1)几何约束
限制质点或者质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束.如单摆,其中质点M可绕固定点O在平面Oxy内摆动,摆长为l.这时摆杆对质点的限制条件是:质点M必须在以点O为圆心,以l为半径的圆周上运动.其约束方程为:

又质点M在固定的曲面上运动,那么曲面方程就是质点M的约束方程,即

上面的两个例子中各约束都是限制物体的几何位置,都是几何约束。
(2)运动约束
车轮沿直线轨道作纯滚动,车轮除了受到限制其轮心A始终与地面保持距离为r的几何约束外,还受到只滚不滑的运动学限制,每一瞬间都有

（3）定长约束和非定长约束
单摆摆长l随时间变化,重物M由一根穿过固定圆环O的细绳系住.设摆长在开始时间为l₀,然后以不变的速度拉动细绳的另一端,此时单摆的约束方程为：
x²+y²=(l₀-vt)²
约束条件随时间变化，这类约束称为非定长约束。
反之，不随时间变化的约束称为定长约束。

2.虚位移

在某瞬时,质点系在约束允许的条件下,可能实现的任何无限小的位移称为虚位移。虚位移可以是线位移也可以是角位移。
虚位移和实际位移是不同的概念,实位移是质点系在一定时间内真正实现的位移,它除了和约束条件有关外,还与时间,主动力以及运动的初始条件有关;而虚位移仅与约束条件有关。
因为虚位移是任意的无限小的位移,所以在定常条件下,实位移只是所有虚位移中的一个,而虚位移视约束情况,可以有多个,甚至无穷多个.对于非定长约束,某个瞬时的虚位移是将时间固定后,约束所允许的虚位移,而实位移是不能固定时间的,所以这时实位移不一定是虚位移中的一个。

3.虚功

力在虚位移中作的功称为虚功。

4.理想约束

如果在质点系的任何虚位移中，所有约束力所作的虚功的总和等于零，称这种约束为理想约束。
光滑固定面约束、光滑铰链、无重刚杆、不可伸长的柔索、固定端等约束都可视为理想约束。

5.虚位移原理

设有一个质点系处于静止平衡状态，取质点系中任一质点m_i,作用在该质点上的主动合力为F_i,约束力的合力为F_Ni。因为质点系处于平衡状态，则质点也处于平衡状态，因此
F_i+F_Ni=0

若给质点系以某种虚位移，其中质点m_i的虚位移为δ_ri,则作用在质点m_i上的力的F_i和F_Ni的虚功总和为
F_i•δ_ri+F_Ni•δ_ri=0
对于质点系内所有质点，都可以得到与上式同样的等式，将这些等式相加，得
ΣF_i•δ_ri+ΣF_Ni•δ_ri=0
如果质点系具有理想约束，则约束力在虚位移中所作虚功的总和为零，即
ΣF_Ni•δ_ri=0，故得
ΣF_i•δ_ri=0
用δW_Fi代表作用在质点m_i上主动力的虚功，δW_Fi=F_i•δ_ri，则可得到
ΣδW_Fi=0
结论：对于具有理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零。上述结论称为虚位移原理，又称为虚功原理。

虚功原理最简单基本的模型可以看作是一对平衡力作用在一个质点上，这对平衡力在任何的位移上做的功都为0。但是主动力在任何虚位移中所作的虚功和为0的前提条件是约束必须为理想约束。

虽然应用虚位移原理的条件是质点系应具有理想约束，但也可以用于有摩擦的情况，只要把摩擦力当做主动力，在虚功方程中计入摩擦力所作的虚功即可。