模型介绍

传染病的基本数学模型，研究传染病的传播速度、空间范围、传播途径、动力学机理等问题，以指导对传染病的有效地预防和控制。常见的传染病模型按照传染病类型分为 SI、SIR、SIRS、SEIR 模型等，按照传播机理又分为基于常微分方程、偏微分方程、网络动力学的不同类型。

S、E、I、R代表的含义

S、E、I、R是传染病流行范围内的四类人群：易感者(Susceptible)、暴露者(Exposed)、感染者(Infectious)、康复者(Recovered)

类型	解释
易感者(Susceptible)	未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染
暴露者(Exposed)	接触过感染者，但暂无能力传染给其他人的人，对潜伏期长的传染病适用
感染者(Infectious)	染上传染病的人，可以传播给 S 类成员，将其变为 E 类或 I 类成员
康复者(Recovered)	被隔离或因病愈而具有免疫力的人。如免疫期有限，R 类成员可以重新变为 S 类

注：有些文章里面对于R的解释会用抵抗者(Resistant)来解释，会将死亡人群也划分在R中。

模型建立

变量解释

变量	解释
SSS	易感者人数
EEE	潜伏者人数
III	感染者人数
RRR	康复者人数
r1r_1r1	每个感染者每天接触的平均人数
r2r_2r2	每个潜伏着每天接触的平均人数
β1\beta_1β1	易感者被感染者感染的概率
β2\beta_2β2	易感者被潜伏者感染的概率
α\alphaα	潜伏者转化为感染者的概率（潜伏期的倒数）
γ\gammaγ	康复概率
NNN	总人数

建立微分方程

dSdt=−r1βISN−r2β2ESNdEdt=r1β1ISN+r2β2ESN−αEdIdt=αE−γIdRdt=γI\frac{dS}{dt}=-\frac{r_1\beta IS}{N}-\frac{r_2\beta_2 ES}{N}\\ \frac{dE}{dt}=\frac{r_1\beta_1IS}{N}+\frac{r_2\beta_2ES}{N}-\alpha E\\ \frac{dI}{dt}=\alpha E-\gamma I\\ \frac{dR}{dt}=\gamma I dtdS=−Nr1βIS−Nr2β2ESdtdE=Nr1β1IS+Nr2β2ES−αEdtdI=αE−γIdtdR=γI

转化迭代形式

以dSdt=−r1βISN−r2β2ESN\frac{dS}{dt}=-\frac{r_1\beta IS}{N}-\frac{r_2\beta_2 ES}{N}dtdS=−Nr1βIS−Nr2β2ES为例

dSdt=−r1βISN−r2β2ESN\frac{dS}{dt}=-\frac{r_1\beta IS}{N}-\frac{r_2\beta_2 ES}{N} dtdS=−Nr1βIS−Nr2β2ES
左右两边求积分
∫n−1ndSdtdt=∫n−1n(−r1βISN−r2β2ESN)dt\int_{n-1}^{n}\frac{dS}{dt}dt=\int_{n-1}^{n}(-\frac{r_1\beta IS}{N}-\frac{r_2\beta_2 ES}{N})dt ∫n−1ndtdSdt=∫n−1n(−Nr1βIS−Nr2β2ES)dt
等号右边使用左矩形公式（∫abf(x)dx≈(b−a)f(a)\int_a^bf(x)dx\approx(b-a)f(a)∫abf(x)dx≈(b−a)f(a)）
Sn−Sn−1=−r1β1In−1Sn−1N−r2β2En−1Sn−1NS_{n}-S_{n-1}=-\frac{r_1\beta_1I_{n-1}S_{n-1}}{N}-\frac{r_2\beta_2 E_{n-1}S_{n-1}}{N} Sn−Sn−1=−Nr1β1In−1Sn−1−Nr2β2En−1Sn−1
整理得
Sn=Sn−1−r1β1In−1Sn−1N−r2β2En−1Sn−1NS_{n}=S_{n-1}-\frac{r_1\beta_1I_{n-1}S_{n-1}}{N}-\frac{r_2\beta_2 E_{n-1}S_{n-1}}{N} Sn=Sn−1−Nr1β1In−1Sn−1−Nr2β2En−1Sn−1

同理可得
Sn=Sn−1−r1β1In−1Sn−1N−r2β2En−1Sn−1NEn=En−1+r1β1In−1Sn−1N+r2β2En−1Sn−1N−αEn−1In=In−1+αEn−1−γIn−1Rn=Rn−1+γIn−1S_{n}=S_{n-1}-\frac{r_1\beta_1I_{n-1}S_{n-1}}{N}-\frac{r_2\beta_2 E_{n-1}S_{n-1}}{N}\\ E_{n}=E_{n-1}+\frac{r_1\beta_1I_{n-1}S_{n-1}}{N}+\frac{r_2\beta_2E_{n-1}S_{n-1}}{N}-\alpha E_{n-1}\\ I_{n}=I_{n-1}+\alpha E_{n-1}-\gamma I_{n-1}\\ R_{n}=R_{n-1}+\gamma I_{n-1} Sn=Sn−1−Nr1β1In−1Sn−1−Nr2β2En−1Sn−1En=En−1+Nr1β1In−1Sn−1+Nr2β2En−1Sn−1−αEn−1In=In−1+αEn−1−γIn−1Rn=Rn−1+γIn−1

Python实现

首先，定义S、E、I、R四类人群，并设置初始人数：

N = 96400000  # 人口总数
E = []  # 潜伏携带者
E.append(0)
I = []  # 传染者
I.append(17)
S = []  # 易感者
S.append(N - I[0])
R = []  # 抵抗者
R.append(0)

设置各参数的初始值：

r = 21  # 传染者接触人数
b = 0.048  # 传染者传染概率
a = 0.13  # 潜伏者患病概率
r2 = 21  # 潜伏者接触人数
b2 = 0.048  # 潜伏者传染概率
y = 0.066  # 康复概率
T = [i for i in range(0, 160)]  # 时间

利用迭代公式计算每一天四类群体的人数：

for i in range(0, len(T) - 1):S.append(S[i] - r * b * S[i] * I[i] / N - r2 * b2 * S[i] * E[i] / N)E.append(E[i] + r * b * S[i] * I[i] / N - a * E[i] + r2 * b2 * S[i] * E[i] / N)I.append(I[i] + a * E[i] - y* I[i])R.append(R[i] + y * I[i])

最后，可视化来看下模拟的效果*（完整代码已封装，文末关注公众号即可获得）*：

if __name__ == "__main__":T = [i for i in range(160)]s = SEIR(T, 96400000, 0, 17, 0, 21, 21, 0.048, 0.048, 0.13, 0.066)s.plot()

总结

传染病模型是一个非常经典的模型，不仅可以用在疾病的传播模拟上，经济领域、网络舆情传播等都可以使用。并且本文仅仅做了最简单的建模，里面的各类参数的设定都可以根据具体问题或实际情况，做更优的调整。

获得源代码

关注公众号，回复“SEIR”即可获得源代码，谢谢大家支持！

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