背包九讲----整理+例题
背包九讲类型汇总：
1.01背包问题
2.完全背包问题
3.多重背包问题
4.混合背包问题
5.二维费用的背包问题
6.分组背包问题
7.有依赖的背包问题
8.背包问题求方案数
9.求背包问题的具体方案
注：以下所有题目来源于ACwing题库 Acwing 题库
这里每个类型基本都是具体题目+自己的一些体会+代码，背包九讲的理论以及解析证明之类的可以参见这位大佬的博客，很详细 here
1. 01背包问题 Acwing 02
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。
数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
8
朴素版解法：二维空间解法
每件物品只能选一次，对于每种物品，我们有两种选择
在这两种情况中取较大值即可，即为当前情况的最优解，我们的每一步都是从上一步的最优解转移过来，所以可以保证最后的结果一定是最优解
#include<iostream>
using namespace std;
#define N 1005
int dp[N][N]; //dp[i][j]表示前i个物品，背包容量是j的情况下的最大价值。
int w[N];
int v[N];
int main()
{int n,m;cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&v[i],&w[i]);for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=0;j<=m;j++){dp[i][j]=dp[i-1][j];if(j>=v[i]) dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i]);} }cout<<dp[n][m]<<endl;return 0;
}
状态转移每次只与上一层有关，所以用一个一维数组就可以
转移方程：dp[i]=max(dp[i],dp[i-v[i]]+w[i])
其实就相当于二维中的 dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i])
#include<iostream>
using namespace std;
#define N 1005
int dp[N];
int main()
{int n,m,v,w;cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>v>>w;for(int j=m;j>=v;j--){dp[j]=max(dp[j],dp[j-v]+w);} }cout<<dp[m]<<endl;return 0;
}
2.完全背包问题 Acwing 03
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。
数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
10
#include<iostream>
using namespace std;
#define N 1005
int dp[N][N];
int w[N];
int v[N];
int main()
{int n,m;cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&v[i],&w[i]);for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=0;j<=m;j++){dp[i][j]=dp[i-1][j];if(j>=v[i])dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-v[i]]+w[i]);} }cout<<dp[n][m]<<endl;return 0;
}
优化空间版解法：
转移方程为dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i])
第二层从小到大循环，原因参见01的一维
#include<iostream>
using namespace std;
#define N 1005
int dp[N];
int main()
{int n,m,w,v;cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>v>>w;for(int j=v;j<=m;j++){dp[j]=max(dp[j],dp[j-v]+w);} }cout<<dp[m]<<endl;return 0;
}
3.多重背包问题
题目1：o(n^3)做法 Acwing 04
第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。
数据范围
0<N,V≤100
0<vi,wi,si≤100
输入样例
4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2
输出样例：
10
#include<iostream>
using namespace std;
#define N 105
int w[N];
int v[N];
int s[N];
int dp[N];
int main()
{int n,m;cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d%d",&v[i],&w[i],&s[i]);for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=m;j>=v[i];j--){for(int k=1;k<=s[i] && j>=k*v[i];k++)dp[j]=max(dp[j],dp[j-k*v[i]]+w[i]*k);} }cout<<dp[m]<<endl;return 0;
}
方法2：二进制优化做法 Acwing 05
第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 ii 种物品的体积、价值和数量。
数据范围
0<N≤1000
0<V≤2000
0<vi,wi,si≤2000
提示：
本题考查多重背包的二进制优化方法。
输入样例
4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2
输出样例：
10
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N = 1005 , M=2005;
int dp[M],v[N*M],w[N*M];
int main()
{int n,m,k=0;cin>>n>>m;for(int i=0;i<n;i++){int vv,ww,s;cin>>vv>>ww>>s;for(int i=1;i<=s;i*=2) //二进制优化v[k]=vv*i,w[k++]=ww*i,s-=i;if(s>0)v[k]=vv*s,w[k++]=ww*s;}for(int i=0;i<k;i++) //01背包for(int j=m;j>=v[i];j--)dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);cout<<dp[m]<<endl;return 0;
}
题目3：多重背包终极版… Acwing 06
4.混合背包问题 Acwing 07
第一类物品只能用1次（01背包）；
第二类物品可以用无限次（完全背包）；
第三类物品最多只能用 si 次（多重背包）；
每种体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。
si=−1 表示第 i 种物品只能用1次；
si=0 表示第 i 种物品可以用无限次；
si>0 表示第 i 种物品可以使用 si 次；
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000
−1≤si≤1000−1
输入样例
4 5
1 2 -1
2 4 1
3 4 0
4 5 2
输出样例：
8
思路：是一个前三种背包问题的综合，如果明白了前面的，就很简单了，只需要判断一下类型，如果是多重背包，将它转换为01背包插入数组当中，然后按着不同类型的处理方式去遍历空间大小即可。
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N = 1005;
int s[N],v[N],w[N],dp[N];
int main()
{int n,m;cin>>n>>m;for(int i=0;i<n;i++){cin>>v[i]>>w[i]>>s[i];if(s[i]==-1) s[i]=1; //01背包相当于物品件数为1的多重背包}for(int i=0;i<n;i++){if(s[i]==0) //完全背包，按照完全背包的方式，从小到大枚举体积{for(int j=v[i];j<=m;j++)dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);}for(int k=1;k<=s[i];s[i]-=k,k*=2) //多重背包进行二进制优化{for(int j=m;j>=0;j--)if(j>=k*v[i])dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]*k]+k*w[i]);}for(int j=m;j>=0;j--)if(j>=s[i]*v[i])dp[j]=max(dp[j],dp[j-s[i]*v[i]]+w[i]*s[i]);}cout<<dp[m]<<endl;return 0;
}
5.二维费用的背包问题 Acwing 08
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包，背包能承受的最大重量是 M。
每件物品只能用一次。体积是 vi，重量是 mi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，总重量不超过背包可承受的最大重量，且价值总和最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，V, M，用空格隔开，分别表示物品件数、背包容积和背包可承受的最大重量。
接下来有 N 行，每行三个整数 vi,mi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积、重量和价值。
数据范围
0<N≤1000
0<V,M≤100
0<vi,mi≤100
0<wi≤1000
输入样例
4 5 6
1 2 3
2 4 4
3 4 5
4 5 6
输出样例：
8
思路：这个题也很简单，就是在01背包的基础上加了一维重量，枚举的时候多一层循环就行了。因为是01背包的变形，所以重量和体积枚举的时候都从大到小枚举。
#include<iostream>
using namespace std;
#define N 1005
int dp[N][N];
int main()
{int n,V,M,v,w,m;cin>>n>>V>>M;for(int i=0;i<n;i++){cin>>v>>m>>w;for(int j=V;j>=v;j--){for(int k=M;k>=m;k--)dp[j][k]=max(dp[j][k],dp[j-v][k-m]+w);}}cout<<dp[V][M]<<endl;return 0;}
6.分组背包问题 Acwing 09
每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。
每件物品的体积是 vij，价值是 wij，其中 i 是组号，j 是组内编号。
求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输入格式
第一行有两个整数 N，V，用空格隔开，分别表示物品组数和背包容量。
数据范围
0<N,V≤100
0<Si≤100
0<vij,wij≤100
输入样例
3 5
2
1 2
2 4
1
3 4
1
4 5
输出样例：
8
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
#define N 105
int dp[N];
int v[N];
int w[N];
int main()
{int n,m,s;cin>>n>>m;for(int i=0;i<n;i++){cin>>s;for(int k=0;k<s;k++)cin>>v[k]>>w[k];for(int j=m;j>=0;j--)for(int k=0;k<s;k++)if(j>=v[k])dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[k]]+w[k]);}cout<<dp[m]<<endl;return 0;
}
7.有依赖的背包问题 Acwing 10
物品之间具有依赖关系，且依赖关系组成一棵树的形状。如果选择一个物品，则必须选择它的父节点。
如下图所示：
如果选择物品5，则必须选择物品1和2。这是因为2是5的父节点，1是2的父节点。
每件物品的编号是 ii，体积是 vivi，价值是 wiwi，依赖的父节点编号是 pipi。物品的下标范围是 1…N1…N。
求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输入格式
第一行有两个整数 N，VN，V，用空格隔开，分别表示物品个数和背包容量。
数据范围
1≤N,V≤1001≤N,V≤100
1≤vi,wi≤1001≤vi,wi≤100
父节点编号范围：
内部结点：1≤pi≤N1≤pi≤N;
根节点 pi=−1pi=−1;
输入样例
5 7
2 3 -1
2 2 1
3 5 1
4 7 2
3 6 2
输出样例：
11
需要注意的是，我们选择了子节点，就必须选择当前节点，那么最后需要把父节点的位置空出来。（把所有已算完的体积更新一下，在里面加上父节点这一物品）
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N =1005;
int e[N],w[N],v[N],ne[N],h[N],idx;
int dp[105][105];
int n,m;
void init()
{memset(h,-1,sizeof h);idx=0;
}
void add(int a,int b)
{e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
void dfs(int x)
{for(int i=h[x];i!=-1;i=ne[i]){int son=e[i];dfs(son);for(int j=m;j>=0;j--){for(int k=0;k<=j;k++)dp[x][j]=max(dp[x][j],dp[x][j-k]+dp[son][k]);}}for(int i=m;i>=0;i--)if(i>=v[x])dp[x][i]=dp[x][i-v[x]]+w[x];else //注意，父节点不选的话，子节点一个都不能选dp[x][i]=0;}
int main()
{init();int root;scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++){int fa;scanf("%d%d%d",&v[i],&w[i],&fa);if(fa==-1)root=i;elseadd(fa,i);}dfs(root);cout<<dp[root][m]<<endl;return 0;
}
8.背包问题求方案数 Acwing 11
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出 最优选法的方案数。注意答案可能很大，请输出答案模 10^9+7 的结果。
输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 ii 件物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数，表示 方案数 模 10^9+7的结果。
数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 6
输出样例：
2
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define inf 0x3f3f3f3f
const int mod=1e9+7;
const int N =1005;
int dp[N],num[N],v[N],w[N];
int main()
{int n,m;cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&v[i],&w[i]);memset(dp,-inf,sizeof dp);dp[0]=0;num[0]=1;int maxw=0;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=m;j>=v[i];j--){if(dp[j-v[i]]+w[i]>dp[j]){dp[j]=dp[j-v[i]]+w[i];num[j]=num[j-v[i]];}else if(dp[j-v[i]]+w[i]==dp[j])num[j]=(num[j]+num[j-v[i]])%mod;}}for(int i=0;i<=m;i++)maxw=max(maxw,dp[i]);int ans=0;for(int i=0;i<=m;i++)if(dp[i]==maxw)ans=(ans+num[i])%mod;cout<<ans<<endl;return 0;
}
9.背包问题求具体方案 Acwing 12
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出 字典序最小的方案。这里的字典序是指：所选物品的编号所构成的序列。物品的编号范围是 1…N。
输入格式
第一行两个整数，N，V 用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。
输出格式
输出一行，包含若干个用空格隔开的整数，表示最优解中所选物品的编号序列，且该编号序列的字典序最小。
数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 6
输出样例：
1 4
思路：因为方案可能有很多种，题目要求输出字典序最小的，那么就倒着枚举物品种类，贪心思想，确保序号小的能优先选择。最后输出一下可行的转移路径就行了。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N =1005;
int dp[N][N],v[N],w[N];
int main()
{int n,m;cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&v[i],&w[i]);for(int i=n;i>=1;i--){for(int j=m;j>=0;j--){dp[i][j]=dp[i+1][j];if(j>=v[i])dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i+1][j-v[i]]+w[i]);}}int val=m;for(int i=1;i<=n;i++){if(val-v[i]>=0&&dp[i][val]==dp[i+1][val-v[i]]+w[i]){cout<<i<<" ";val-=v[i];}}return 0;
}
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