拉格朗日定理(J.Lagrange)

设 GGG 为有限群，A≤GA\le GA≤G .则
∣G∣=∣A∣⋅[G:A]|G|=|A|\cdot[G:A] ∣G∣=∣A∣⋅[G:A]
特别的，GGG 的每个子群的阶都是 GGG 的阶的因子

证明

考虑右陪集分解：
G=⋃g∈RAg(两两不交的并）G = \bigcup\limits_{g\in R}Ag\qquad(两两不交的并） G=g∈R⋃Ag(两两不交的并）
对于 a,b∈Aa,b\in Aa,b∈A, 由消去律可知 a≠b⟺ag≠bga\ne b\iff ag\ne bga=b⟺ag=bg .从而，对每个 g∈Rg\in Rg∈R,∣Ag∣=∣A∣|Ag|=|A|∣Ag∣=∣A∣. 由右陪集分解式即知：
∣G∣=∑g∈R∣Ag∣=∑g∈R∣A∣=∣A∣⋅∣R∣=∣A∣⋅[G:A]|G|=\sum_{g\in R}|Ag|=\sum_{g\in R}|A|=|A|\cdot|R|=|A|\cdot[G:A] ∣G∣=g∈R∑∣Ag∣=g∈R∑∣A∣=∣A∣⋅∣R∣=∣A∣⋅[G:A]

循环群的子群均是循环群

设 G=⟨A⟩G=\langle A\rangleG=⟨A⟩ 是循环群

若 GGG 是无限循环群，则对每个正整数 mmm, GGG 恰有一个指数为 mmm 的子群 Gm=⟨am⟩G_m=\lang a^m\rangGm=⟨am⟩，并且它们和 {1}\{1\}{1} 是 GGG 的全部子群
若 GGG 是 nnn 阶有限循环群，则对 nnn 的每个正因子 mmm,GGG 恰有一个指数为 mmm 的 nm\frac{n}{m}mn 阶子群 Gm=⟨am⟩G_m=\lang a^m\rangGm=⟨am⟩, 并且它们是 GGG 的全部子群

证明

设 HHH 是 G=⟨a⟩G=\lang a\rangG=⟨a⟩ 的子群，不妨设 H≠{1}H\ne\{1\}H={1} .令 mmm 是满足 am∈Ha^m\in Ham∈H 的最小正整数.
易知对每个整数 ppp,ap∈H⟺m∣pa^p\in H\iff m|pap∈H⟺m∣p. 于是 H=⟨am⟩=GmH=\lang a^m\rang=G_mH=⟨am⟩=Gm. 并且 [G:Gm]=m[G:G_m]=m[G:Gm]=m
这就证明了1
设 HHH 是 G=⟨a⟩G=\lang a\rangG=⟨a⟩ 的子群，不妨设 H≠{1}H\ne\{1\}H={1} .令 mmm 是满足 am∈Ha^m\in Ham∈H 的最小正整数.
易知对每个整数 ppp,ap∈H⟺m∣pa^p\in H\iff m|pap∈H⟺m∣p. 于是 H=⟨am⟩=GmH=\lang a^m\rang=G_mH=⟨am⟩=Gm
若 aaa 是一个 nnn 阶元素，则 m∣nm|nm∣n ，于是 n=mqn=mqn=mq ,从而 H=Gm={1,am,a2m,⋯,a(a−1)m}H=G_m=\{1,a^m,a^{2m},\cdots,a^{(a-1)m}\}H=Gm={1,am,a2m,⋯,a(a−1)m}. 这是 q=n/mq=n/mq=n/m 阶循环群，从而 [G:Gm]=∣G∣/∣Gm∣=n/q=m[G:G_m]=|G|/|G_m|=n/q=m[G:Gm]=∣G∣/∣Gm∣=n/q=m
这就证明了2

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