【POJ 3041】Asteroids【网络流 —

题意：

N∗NN*NN∗N 的矩阵中有 KKK 个小行星，现在每行每列都有一个武器，可以消除此行或者此列中的所有小行星，问最少需要多少个武器可以将矩阵中所有小行星消除。

思路：

这是一个典型的最小点覆盖问题，可以用二分图匹配算法或者最大流算法进行解决。我们主要来讨论网络流的做法。

先来回顾一下最大流 DinicDinicDinic 的基础性质，先在残量网络上 BFSBFSBFS 求出所有节点的层次，构造了一个分层图。然后在分层图上 DFSDFSDFS 寻找增广路，在回溯时实时更新剩余容量。当在残量网络中 SSS 不能到达 TTT 时，算法结束。

因此最大流这个算法有个很重要的性质，即最大流 === 最小割 === 最大匹配 === 最小点覆盖，基本覆盖了大部分最大流应用的题目。

现在我们再回过头来看这题如何建图，这题就是用最少的点覆盖所有的边，典型的最小点覆盖题目。因此我们将其转化为最大匹配，即每个点只能选择一次，最多选择多少条边。因此对于一个在 (i,j)(i,j)(i,j) 位置的行星，将左边第 iii 个点和右边第 jjj 个点相连，图中所有边流量均设为 111，跑最大流即可。

最后再来一个不严谨的 “最大匹配 === 最小点覆盖” 的证明。即当图中选的边已经达到了最大匹配之后，一定不存在一条未选的边，边的两个端点同时都没有被选。并且由于每个点只能被选择一次，因此每条边都代表只选了一个点，而这些点的集合覆盖了所有的边。不太严谨的证明，只是有利于记忆。详细证明可以网上继续查阅题解。

代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#define rep(i,a,b) for(int i = a;i <= b;i++)
using namespace std;
const int inf = 1<<29,N = 1000+10,M = 300500;  //处理1e4-1e5规模的网络struct Edge{ int to,next,v;
}e[M];
int n,m,s,t,k;  //顶点个数 边数 源点 汇点
int head[N],tot,dis[N],mp[N][N];
queue<int> q;void init()   //千万别忘了初始化！
{tot = 1; memset(head,0,sizeof head);  //点的编号是2~n，因为2^1 = 3, 3^1 = 2;  符合后续代码的操作
}void add(int x,int y,int v)
{e[++tot].to = y; e[tot].next = head[x]; e[tot].v = v; head[x] = tot;e[++tot].to = x; e[tot].next = head[y]; e[tot].v = 0; head[y] = tot;  //反向边与正向边的流量之和为v
}bool bfs()
{memset(dis,0,sizeof dis);while(!q.empty()) q.pop();q.push(s); dis[s] = 1;while(!q.empty()){int x = q.front(); q.pop();for(int i = head[x];i;i = e[i].next){if(e[i].v && !dis[e[i].to]){q.push(e[i].to);dis[e[i].to] = dis[x]+1;if(e[i].to == t) return 1;  //找到一条路就return }}}return 0;
}int dinic(int x,int flow) //找增广路
{if(x == t) return flow;int rest = flow,k;  //rest为输入的流量 for(int i = head[x];i && rest; i = e[i].next){if(e[i].v && dis[e[i].to] == dis[x]+1){k = dinic(e[i].to,min(rest,e[i].v));if(!k) dis[e[i].to] = 0;  //剪枝，去掉增广完毕的点 e[i].v -= k;e[i^1].v += k;  //反向边加上flow，相当于我们可以反悔从这条路流过 rest -= k; //k为能够被送出去的流量 }}return flow-rest;  //总共被送出去了多少流量
}int solve()
{int flow = 0,maxflow = 0;while(bfs())while((flow = dinic(s,inf))) maxflow += flow;    return maxflow;
}int main()
{while(~scanf("%d%d",&n,&k)){init();s = 1, t = 1+n+n+1;rep(i,1,k){int xx,yy; scanf("%d%d",&xx,&yy);add(xx+1,yy+1+n,1);}rep(i,1,n) add(s,i+1,1), add(1+n+i,t,1);printf("%d\n",solve());}return 0;
} /*
5 5
1 3
2 3
3 3
4 3
5 3
2
*/

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