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两个随机变量之间的相依性问题备受关注,相依性(dependence)是反映两个随机变量之间关联程度的一个概念。它与相关性(correlation)有区别，常用的相关性度量是Pearson相关系数,它只度量了两个随机变量之间的线性关系,其值不仅依赖于它们的Copula函数,而且还依赖它们的边缘分布函数。

Joe(1990)尾部相依性指数

Joe(1990)提出了一个(强)尾部相依性指数。例如，对于下尾，可以考虑

也就是

上下尾(经验)相依性函数

我们的想法是绘制上面的函数。定义

下尾

对上尾来说，其中是与，相依的生存copula ，即

其中

现在，我们可以很容易地推导出这些函数的经验对应关系，即：

因此，对于上尾，在右边，我们有以下图形

而对于下尾，在左边，我们有

损失赔偿数据

Copula函数在经济、金融、保险等领域有广泛的应用.早在1998年Frees和Valdez(1998)研究了索赔额与管理费之间的关系,采用了Copula函数对其进行刻画并应用于保费的定价。

对于代码，考虑一些真实的数据，比如损失赔偿数据集。

损失赔偿费用数据有1,500个样本和2个变量。这两栏包含赔偿金付款(损失)和分配的损失调整费用(alae)。后者是与解决索赔相关的额外费用（如索赔调查费用和法律费用）。

我们的想法是，在左边绘制下尾函数，在右边绘制上尾函数。

现在，我们可以将这个图形，与一些具有相同Kendall's tau参数的copulas图形进行比较

高斯copulas

如果我们考虑高斯copulas 。


> copgauss=normalCopula(paramgauss)
> Lga=function(z) pCopula(c(z,z),copgauss)/z
> Rga=function(z) (1-2*z+pCopula(c(z,z),copgauss))/(1-z)> lines(c(u,u+.5-u[1]),c(Lgs,Rgs)

Gumbelcopula

或Gumbel的copula。

> copgumbel=gumbelCopula(paramgumbel, dim = 2)> lines(c(u,u+.5-u[1])

置信区间

但是由于我们没有任何置信区间，所以仍然很难得出结论(即使看起来Gumbel copula比Gaussian copula更适合)。一个策略可以是从这些copula曲线中生成样本，并可视化。对于高斯copula曲线

> nsimul=500
> for(s in 1:nsimul){
+ Xs=rCopula(nrow(X),copgauss)
+ Us=rank(Xs[,1])/(nrow(Xs)+1)
+ Vs=rank(Xs[,2])/(nrow(Xs)+1)
+ lines(c(u,u+.5-u[1]),MGS[s,],col="red")

包括–逐点–90%的置信区间

> Q95=function(x) quantile(x,.95)> lines(c(u,u+.5-u[1]),V05,col="red",lwd=2)

高斯copula曲线

Gumbel copula曲线

尽管统计收敛的速度会很慢，评估底层的copula 曲线是否具有尾部相依性简单。尤其是当copula 曲线表现出尾部独立性的时候。比如考虑一个1000大小的高斯copula 样本。这是我们生成随机方案后得到的结果。

或者我们看一下左边的尾巴(用对数比例)

现在，考虑10000个样本。

在这些图上，如果极限是0，或者是某个严格的正值，是相当难以断定的（同样，当感兴趣的值处于参数的支持边界时，这是一个经典的统计问题）。所以，一个简单的想法是考虑一个较弱的尾部相依指数。

Ledford 和Tawn(1996)尾部相关系数

描述尾部相依性的另一种方法可以在Ledford & Tawn（1996）中找到。假设和具有相同的分布。现在，如果我们假设这些变量是（严格）独立的。

但如果我们假设这些变量是（严格的）同单调性的（即这里的变量是相等的，因为它们有相同的分布），则

所以，有这样一个假设：

那么a=2可以解释为独立性，而a=1则表示强（完美）正相依性。因此，考虑进行如下变换，得到[0,1]中的一个参数，其相依性强度随指数的增加而增加，例如

为了推导出尾部相依指数，假设存在一个极限，即

这将被解释为一个（弱）尾部相依指数。因此定义函数

下尾巴（在左边）

上尾（在右边）。计算这些函数的R代码非常简单。


> L2emp=function(z) 2*log(mean(U<=z))/> R2emp=function(z) 2*log(mean(U>=1-z))/
+ log(mean((U>=1-z)&(V>=1-z)))-1
> plot(c(u,u+.5-u[1]),c(L,R),type="l",ylim=0:1,> abline(v=.5,col="grey")

高斯copula函数

同样，也可以将这些经验函数与一些参数函数进行对比，例如，从高斯copula函数中得到的函数（具有相同的Kendall's tau）。


> copgauss=normalCopula(paramgauss)
> Lgs =function(z) 2*log(z)/log(pCopula(c(z,z),
+ copgauss))-1
> Rgas =function(z) 2*log(1-z)/log(1-2*z+
+ pCopula(c(z,z),copgauss))-1> lines(c(u,u+.5-u[1])

Gumbel copula

> copgumbel=gumbelCopula(paramgumbel, dim = 2)
> L=function(z) 2*log(z)/log(pCopula(c(z,z),
+ copgumbel))-1
> R=function(z) 2*log(1-z)/log(1-2*z+
+ pCopula(c(z,z),copgumbel))-1> lines(c(u,u+.5-u[1]),c(Lgl,Rgl),col="blue")

同样，我们观察置信区间，Gumbel copula在这里提供了一个很好的拟合

极值copula

我们考虑copulas族中的极值copulas。在双变量的情况下，极值可以写为

其中 $https://latex.codecogs.com/gif.latex?A(\cdot)$ 为Pickands相依函数，它是一个凸函数，满足于

观察到，在这种情况下：

其中 $https://latex.codecogs.com/gif.latex?\tau$ 肯德尔系数，可写成

例如

那么，我们就得到了Gumbel copula。现在，我们来看（非参数）推理，更准确地说，是相依函数的估计。最标准的估计器的出发点是观察 $https://latex.codecogs.com/gif.latex?(U,V)$ 是否有copula函数

具有分布函数

而反过来，Pickands相依函数可以写成

因此，Pickands函数的自然估计是

其中， $https://latex.codecogs.com/gif.latex?\widehat{H}_n$ 是经验累积分布函数

这是Capéràa, Fougères & Genest (1997)中提出的估计方法。在这里，我们可以用

> Z=log(U[,1])/log(U[,1]*U[,2])
> h=function(t) mean(Z<=t)
> a=function(t){
function(t) (H(t)-t)/(t*(1-t))
+ return(exp(integrate(f,lower=0,upper=t,
+ subdivisions=10000)$value))> plot(c(0,u,1),c(1,A(u),1),type="l"

整合得到Pickands相依函数的估计值。上图中可以直观地看到上尾的相依指数。

> A(.5)/2
[1] 0.4055346

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