陶哲轩实分析习题 12.5.8 :度量空间中有界闭集不一定是紧集

设 $(X,d_{l_1})$ 是习题 12.1.15 中的度量空间.对于每个自然数 $n$,设$e^{(n)}=(e_j^{(n)})_{j=1}^{\infty}$ 是 $X$ 的元素,满足:当 $n=j$ 时$e_j^{(n)}:=1$ 而当 $n\neq j$ 时 $e_j^{(n)}:=0$.证明集合$\{e^{(n)}:n\in\mathbf{N}\}$ 是 $X$ 的闭的有界的子集合,但不是紧致的.

\begin{proof}集合 $\{e^{(n)}:n\in\mathbf{N}\}$ 是闭集的证明是简单的,因为该集合里的任意两个不同元素的距离都是2,而且每个元素与自己的距离都是1,实际上类似于离散度量.其实集合 $\{e^{(n)}:n\in\mathbf{N}\}$ 既是开集也是闭集. 至于该集合不是紧的,是因为容易得到存在该集合的一个序列都没有收敛子列(怎么构造?提示:注意到不同元素之间的距离都是2,而且 $\{e^{(n)}:n\in\mathbf{N}\}$ 是无限集). \end{proof}

转载于:https://www.cnblogs.com/yeluqing/archive/2013/03/04/3827709.html

陶哲轩实分析习题 12.5.8 :度量空间中有界闭集不一定是紧集相关推荐

陶哲轩实分析习题 12.5.12
设 $(X,d_{disc})$ 是具有离散度量 $d_{disc}$ 的度量空间. (a)证明 $X$ 是完备的. \begin{proof} 即证明 $X$ 的每个柯西列都收敛到 $X$ 中的一个 ...
陶哲轩实分析习题 12.1.3
设 $X$ 是集合,并设 $d:X\times X\to [0,+\infty)$ 是函数. (a)给出一个服从定义 12.1.2 的公理 (b),(c),(d) 但不服从 (a) 的 $(X,d)$ ...
陶哲轩实分析习题 12.5.4,12.5.5
设 $(\mathbf{R},d)$ 是带有标准度量的实直线,给出一个连续函数 $f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ 的例子,使有一个开集 $V\subseteq \mathbf{R ...
陶哲轩实分析习题17.1.2
陶哲轩实分析习题17.1.2 转载于:https://www.cnblogs.com/yeluqing/archive/2012/09/10/3828300.html
陶哲轩实分析习题9.1.1
设$X$是实直线的子集合,并设$Y$是集合,使得$X\subseteq Y\subseteq \overline{X}$,证明$\overline{Y}=\overline{X}$. 证明:因为$X\ ...
陶哲轩实分析习题 13.4.6
设 $(X,d)$ 是度量空间,并设 $(E_{\alpha})_{\alpha\in I}$ 是 $X$ 中的一族连通集合.还设 $\bigcap_{\alpha\in I}E_{\alpha}$ ...
陶哲轩实分析习题 7.5.2
设$x,q\in\mathbb{R}$,且$|x|<1$.证明级数$\sum_{n=1}^{\infty}n^qx^n$绝对收敛,且$\lim_{n\to\infty}n^qx^n=0$. 证明 ...
陶哲轩实分析习题 7.2.6 (嵌套级数)
设$(a_n)_{n=0}^{\infty}$是收敛于0的实数列.则级数$\sum_{n=0}^{\infty}(a_n-a_{n+1})=a_0$ 证明:先看$\sum_{n=0}^N(a_n-a_ ...
陶哲轩实分析习题 13.5.6
设 $X$ 是不可数集,并设 $\tau$ 是 $X$ 中一切这样的子集合 $E$ 的族,$E$ 或是空集或是余有限的.证明 $\tau$ 是 $X$ 上的拓扑. 证明:首先,$\emptyset\i ...
陶哲轩实分析习题 10.3.5
构造一个子集$X\subset \mathbf{R}$和一个函数$f:X\to \mathbf{R}$,使得$f$在$X$上可微,并且对于一切$x\in X$,$f'(x)>0$,但是$f$不是 ...

陶哲轩实分析习题 12.5.8 :度量空间中有界闭集不一定是紧集

陶哲轩实分析习题 12.5.8 :度量空间中有界闭集不一定是紧集相关推荐

最新文章

热门文章

陶哲轩实分析 习题 12.5.8 :度量空间中有界闭集不一定是紧集

陶哲轩实分析 习题 12.5.8 :度量空间中有界闭集不一定是紧集相关推荐

最新文章

热门文章

陶哲轩实分析习题 12.5.8 :度量空间中有界闭集不一定是紧集

陶哲轩实分析习题 12.5.8 :度量空间中有界闭集不一定是紧集相关推荐