20和16交换后导致16不满足堆的性质，因此需重新调整

这样就得到了初始堆。

0.待排序序列：

  A[6]={3,5,8,9,1,2},

1.建堆后（建堆过程参见4.4）：

 A[6]={9,3,8,5,1,2}

2.9和2交换，然后把9从堆中去掉后：

   A[6]={2,3,8,5,1,9}

3.筛选法调整堆A[5]={2,3,8,5,1}后（调整过程参见4.3）：

 A[6]={8,3,2,5,1,9}

4.堆顶记录与最后一个记录互换，重复第二步，但是堆顶记录和最后一个记录的值变了

设有n个元素的序列{k1,k2,...,kn},当且仅当满足下列关系时,称之为堆。 

堆的三种基本操作(以下以最大堆为例)： 
⑴最大堆的插入

由于需要维持完全二叉树的形态，需要先将要插入的结点x放在最底层的最右边，插入后满 足完全二叉树的特点； 
  然后把x依次向上调整到合适位置满足堆的性质,例如下图中插入80,先将80放在最后,然后两次上浮到合适位置. 
  时间：O(logn)。  “结点上浮” 

程序实现:

 //向最大堆中插入元素, heap:存放堆元素的数组public static void insert(List<Integer> heap, int value) { //在数组的尾部添加if(heap.size()==0)heap.add(0);//数组下标为0的位置不放元素heap.add(value); //开始上升操作 // heapUp2(heap, heap.size() - 1); heapUp(heap, heap.size() - 1); } //上升，让插入的数和父节点的数值比较，当大于父节点的时候就和父节点的值相交换 public static void heapUp(List<Integer> heap, int index) { //注意由于数值是从下标为1开始，当index = 1的时候，已经是根节点了 if (index > 1) { //求出父亲的节点 int parent = index / 2; //获取相应位置的数值 int parentValue = (Integer) heap.get(parent); int indexValue = (Integer) heap.get(index); //如果父亲节点比index的数值小，就交换二者的数值 if (parentValue < indexValue) { //交换数值 swap(heap, parent, index); //递归调用 heapUp(heap, parent); } } }

⑵删除 
   操作原理是：当删除节点的数值时，原来的位置就会出现一个孔,填充这个孔的方法就是， 
把最后的叶子的值赋给该孔并下调到合适位置，最后把该叶子删除。 
  
如图中要删除72,先用堆中最后一个元素来35替换72,再将35下沉到合适位置,最后将叶子节点删除。 
　　 “结点下沉”

程序:/*** 删除堆中位置是index处的节点* 操作原理是：当删除节点的数值时，原来的位置就会出现一个孔* 填充这个孔的方法就是，把最后的叶子的值赋给该孔，最后把该叶子删除* @param heap */ public static void delete(List<Integer> heap,int index) { //把最后的一个叶子的数值赋值给index位置 heap.set(index, heap.get(heap.size() - 1)); //下沉操作 //heapDown2(heap, index); heapDown(heap, index); //把最后一个位置的数字删除 heap.remove(heap.size() - 1); } /*** 递归实现* 删除堆中一个数据的时候，根据堆的性质，应该把相应的位置下移，才能保持住堆性质不变* @param heap 保持堆元素的数组* @param index 被删除的那个节点的位置*/ public static void heapDown(List<Integer> heap, int index) { //因为第一个位置存储的是空值，不在考虑之内 int n = heap.size() - 2; //记录最大的那个儿子节点的位置 int child = -1; //2*index>n说明该节点没有左右儿子节点了，那么就返回 if (2 * index > n) { return; } //如果左右儿子都存在 else if (2 * index < n) { //定义左儿子节点 child = 2 * index; //如果左儿子小于右儿子的数值，取右儿子的下标 if ((Integer) heap.get(child) < (Integer) heap.get(child + 1)) { child++; } }//如果只有一个儿子（左儿子节点） else if (2 * index == n) { child = 2 * index; } if ((Integer) heap.get(child) > (Integer) heap.get(index)) { //交换堆中的child，和index位置的值 swap(heap, child, index); //完成交换后递归调用，继续下降 heapDown(heap, child); } } 

⑶初始化 
方法1：插入法： 
  从空堆开始，依次插入每一个结点，直到所有的结点全部插入到堆为止。 
  时间：O(n*log(n)) 
  方法2：调整法： 
    序列对应一个完全二叉树；从最后一个分支结点（n div 2）开始，到根（1）为止，依次对每个分支结点进行调整（下沉），
以便形成以每个分支结点为根的堆，当最后对树根结点进行调整后，整个树就变成了一个堆。 
  时间：O(n) 
对如图的序列,要使其成为堆,我们从最后一个分支结点(10/2),其值为72开始,依次对每个分支节点53,18,36 45进行调整(下沉). 
 
 

程序:/*根据树的性质建堆，树节点前一半一定是分支节点，即有孩子的，所以我们从这里开始调整出初始堆*/  public static void adjust(List<Integer> heap){for (int i = heap.size() / 2; i > 0; i--)  adjust(heap,i, heap.size()-1);  System.out.println("=================================================");System.out.println("调整后的初始堆：");print(heap);}/** * 调整堆，使其满足堆得定义 * @param i * @param n */  public static void adjust(List<Integer> heap,int i, int n) {  int child;  for (; i <= n / 2; ) {  child = i * 2;  if(child+1<=n&&heap.get(child)<heap.get(child+1))  child+=1;/*使child指向值较大的孩子*/  if(heap.get(i)< heap.get(child)){  swap(heap,i, child);  /*交换后，以child为根的子树不一定满足堆定义，所以从child处开始调整*/  i = child;  }  else break;}  }

(4)最大堆排序

 //对一个最大堆heap排序public static void heapSort(List<Integer> heap) {  for (int i = heap.size()-1; i > 0; i--) {  /*把根节点跟最后一个元素交换位置，调整剩下的n-1个节点，即可排好序*/  swap(heap,1, i);  adjust(heap,1, i - 1);  }  }

(5)完整的代码

import java.util.*; /***实现的最大堆的插入和删除操作* @author Arthur*/
public class Heap { /*** 删除堆中位置是index处的值* 操作原理是：当删除节点的数值时，原来的位置就会出现一个孔* 填充这个孔的方法就是，把最后的叶子的值赋给该孔，最后把该叶子删除* @param heap 一个最大堆*/ public static void delete(List<Integer> heap,int index) { //把最后的一个叶子的数值赋值给index位置 heap.set(index, heap.get(heap.size() - 1)); //下沉操作 //heapDown2(heap, index); heapDown(heap, index); //节点下沉//把最后一个位置的数字删除 heap.remove(heap.size() - 1); } /** * 节点下沉递归实现* 删除一个堆中一个数据的时候，根据堆的性质，应该把相应的位置下移，才能保持住堆性质不变* @param heap 保持最大堆元素的数组* @param index 被删除的那个节点的位置*/ public static void heapDown(List<Integer> heap, int index) { //因为第一个位置存储的是空值，不在考虑之内 int n = heap.size() - 2; //记录最大的那个儿子节点的位置 int child = -1; //2*index>n说明该节点没有左右儿子节点了，那么就返回 if (2 * index > n) { return; } //如果左右儿子都存在 else if (2 * index < n) { //定义左儿子节点 child = 2 * index; //如果左儿子小于右儿子的数值，取右儿子的下标 if ((Integer) heap.get(child) < (Integer) heap.get(child + 1)) { child++; } }//如果只有一个儿子（左儿子节点） else if (2 * index == n) { child = 2 * index; } if ((Integer) heap.get(child) > (Integer) heap.get(index)) { //交换堆中的child，和index位置的值 swap(heap, child, index); //完成交换后递归调用，继续下降 heapDown(heap, child); } } //非递归实现 public static void heapDown2(List<Integer> heap, int index) { int child = 0;//存储左儿子的位置 int temp = (Integer) heap.get(index); int n = heap.size() - 2; //如果有儿子的话 for (; 2 * index <= n; index = child) { //获取左儿子的位置 child = 2 * index; //如果只有左儿子 if (child == n) { child = 2 * index; } //如果右儿子比左儿子的数值大 else if ((Integer) heap.get(child) < (Integer) heap.get(child + 1)) { child++; } //如果数值最大的儿子比temp的值大 if ((Integer) heap.get(child) >temp) { //交换堆中的child，和index位置的值 swap(heap, child, index); } else { break; } } } //打印链表 public static void print(List<Integer> list) { for (int i = 1; i < list.size(); i++) { System.out.print(list.get(i) + " "); } System.out.println();} //把堆中的a,b位置的值互换 public static void swap(List<Integer> heap, int a, int b) { //临时存储child位置的值 int temp = (Integer) heap.get(a); //把index的值赋给child的位置 heap.set(a, heap.get(b)); //把原来的child位置的数值赋值给index位置 heap.set(b, temp); } //向最大堆中插入元素 public static void insert(List<Integer> heap, int value) { //在数组的尾部添加要插入的元素if(heap.size()==0)heap.add(0);//数组下标为0的位置不放元素heap.add(value); //开始上升操作 // heapUp2(heap, heap.size() - 1); heapUp(heap, heap.size() - 1); } //节点上浮，让插入的数和父节点的数值比较，当大于父节点的时候就和节点的值相交换 public static void heapUp(List<Integer> heap, int index) { //注意由于数值是从小标为一开始，当index = 1的时候，已经是根节点了 if (index > 1) { //保存父亲的节点 int parent = index / 2; //获取相应位置的数值 int parentValue = (Integer) heap.get(parent); int indexValue = (Integer) heap.get(index); //如果父亲节点比index的数值小，就交换二者的数值 if (parentValue < indexValue) { //交换数值 swap(heap, parent, index); //递归调用 heapUp(heap, parent); } } } //非递归实现 public static void heapUp2(List<Integer> heap, int index) { int parent = 0; for (; index > 1; index /= 2) { //获取index的父节点的下标 parent = index / 2; //获得父节点的值 int parentValue = (Integer) heap.get(parent); //获得index位置的值 int indexValue = (Integer) heap.get(index); //如果小于就交换 if (parentValue < indexValue) { swap(heap, parent, index); } } } /*根据树的性质建堆，树节点前一半一定是分支节点，即有孩子的，所以我们从这里开始调整出初始堆*/  public static void adjust(List<Integer> heap){for (int i = heap.size() / 2; i > 0; i--)  adjust(heap,i, heap.size()-1);  System.out.println("=================================================");System.out.println("调整后的初始堆：");print(heap);}/** * 调整堆，使其满足堆得定义 * @param i * @param n */  public static void adjust(List<Integer> heap,int i, int n) {  int child;  for (; i <= n / 2; ) {  child = i * 2;  if(child+1<=n&&heap.get(child)<heap.get(child+1))  child+=1;/*使child指向值较大的孩子*/  if(heap.get(i)< heap.get(child)){  swap(heap,i, child);  /*交换后，以child为根的子树不一定满足堆定义，所以从child处开始调整*/  i = child;  }  else break;}  }  //对一个最大堆heap排序public static void heapSort(List<Integer> heap) {  for (int i = heap.size()-1; i > 0; i--) {  /*把根节点跟最后一个元素交换位置，调整剩下的n-1个节点，即可排好序*/  swap(heap,1, i);  adjust(heap,1, i - 1);  }  }  public static void main(String args[]) { List<Integer> array = new ArrayList<Integer>(Arrays.asList(null,
1, 2, 5, 10, 3, 7, 11, 15, 17, 20, 9, 15, 8, 16));adjust(array);//调整使array成为最大堆delete(array,8);//堆中删除下标是8的元素System.out.println("删除后");print(array);insert(array, 99);//堆中插入print(array); heapSort(array);//排序System.out.println("将堆排序后:");print(array);System.out.println("-------------------------");List<Integer> array1=new ArrayList<Integer>();insert(array1,0);insert(array1, 1);insert(array1, 2);insert(array1, 5);insert(array1, 10);insert(array1, 3);insert(array1, 7);insert(array1, 11);insert(array1, 15); insert(array1, 17);insert(array1, 20);insert(array1, 9);insert(array1, 15);insert(array1, 8);insert(array1, 16);print(array1);System.out.println("==============================");array=new ArrayList<Integer>(Arrays.asList(null,45,36,18,53,72,30,48,93,15,35));adjust(array);insert(array, 80);//堆中插入print(array);delete(array,2);//堆中删除80的元素print(array);delete(array,2);//堆中删除72的元素print(array);}
}

程序运行: 
D:\java>java   Heap 
================================================= 
调整后的初始堆： 
20 17 16 15 9 15 11 1 10 3 2 7 8 5 
删除后 
20 17 16 15 9 15 11 5 10 3 2 7 8 
99 17 20 15 9 15 16 5 10 3 2 7 8 11 
将堆排序后: 
2 3 5 7 8 9 10 11 15 15 16 17 20 99 
------------------------- 
20 17 16 10 15 9 15 0 5 2 11 1 7 3 8 
============================== 
================================================= 
调整后的初始堆： 
93 72 48 53 45 30 18 36 15 35 
93 80 48 53 72 30 18 36 15 35 45 
93 72 48 53 45 30 18 36 15 35 
93 53 48 36 45 30 18 35 15