LeetCode：递归思想的延伸，从斐波那契数列到爬楼梯模型

题目描述：
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

看到这个问题的第一反应其实我想到的是排列组合的思想去解答。比如有n阶，那么步数最多的爬法肯定是一步一步爬，而步数最少的爬法则需要(n/2+n%2)步。从n到(n/2+n%2)减少的过程，也就意味着一次走2个台阶的步数增多，然后就是一个排列组合的算法。比如10个台阶走7步，那么就需要3步两个台阶以及4步一个台阶，抽象出来就是2,2,2,1,1,1,1的组合。
但是，如果需要用到递归思想，有需要该如何来解答呢？
此时需要将思路调转，从台阶少的逐步增加。1个台阶只有1中走法，2个台阶有2中走法，3个台阶有3种走法，4个台阶有5种走法。。。当然，我们不可能把所有可能都用纸笔去画出来，但是从大致的归来来看，似乎满足f(n)=f(n-1)+f(n-2)，如果真的是这样的规律，那自然简单得多了。
我们可以这样想，已知n个台阶有x种走法，那么n+1个台阶，它到底是多了哪些走法？
首先，n个台阶的那x种走法对于n+1个台阶依然适用，只需要第n+1个台阶多爬一次就可以了，这就意味着最后一次只爬了一个台阶，那要是最后一次爬2个台阶呢？也就是第n和n+1个台阶一次爬，而剩下的那n-1个台阶的爬法，似乎就是f(n-1)嘛。果然，证实了我们的猜想：f(n)=f(n-1)+f(n-2)。

package com.leetcode.recurse;import java.util.HashMap;
import java.util.Map;public class MemoizationStairs {Map<Integer, Integer> map = new HashMap<Integer, Integer>();public static void main(String[] args) {System.out.println(new MemoizationStairs().climbStairs(4));}public int climbStairs(int n) {return getFactorial(n);}public int getFactorial(int n){if(map.containsKey(n)) {return map.get(n);}int result = 0;if(n==1) {result = 1;}else if(n==2) {result = 2;}else {//递归调用本身result = getFactorial(n-1)+getFactorial(n-2);}map.put(n, result);return result;}}

这个模型其实和斐波那契数列神似，都满足f(n)=f(n-1)+f(n-2)，只是数列设定f(0)=0,f(1)=1,f(2)=f(0)+f(1)=1，而楼梯模型需要我们设定f(1)=1,f(2)=2，f(3)=f(1)+f(2)=3。

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