【Atcoder agc020 C】Median Sum，序列子集和中位数，bitset，01背包

2024-05-01 00:40:11

problem

C - Median Sum / Time Limit: 2 sec / Memory Limit: 512 MB Score : 700 points Problem Statement

You are given N integers A 1 , A 2 , …, A N . Consider the sums of all non-empty subsequences of A . There are 2 N − 1 such sums, an odd number. Let the list of these sums in non-decreasing order be S 1 , S 2 , …, S 2 N − 1 . Find the median of this list, S 2 N − 1 . Constraints 1 ≤ N ≤ 2000 1 ≤ A i ≤ 2000 All input values are integers.

C-中位数/时间限制：2秒/内存限制：512 MB得分：700分问题陈述

给您N个整数A 1，A 2，…，A N。考虑A的所有非空子序列的总和。这样的和有2 N-1个，一个奇数。令这些和以非降序排列的列表为S 1，S 2，…，S 2 N -1。找到该列表的中位数S 2 N − 1。约束1≤N≤2000 1≤A i≤2000所有输入值都是整数。

input：
3
1 2 1

output：
2

solution

/*
Atcoder,  agc020_c
题意：
+ 给出一个长为n的序列，考虑所有(2^n-1)个非空子序列的和
+ 令这些和升序排列，输出它们的中位数。
思路：
+ 将序列等价于集合S，子序列就是非空子集A。对于每个A，它的补集要么是空集，要么也在S中。
+ 将两个互补的子集看做一组，那么每组中至少一个子集>=sum/2，另一个子集<=sum/2。
+ 所以这个序列的中位数就是第一个大于等于sum/2的子集，所以可以用01背包来解。
+ 因为V=4e6，N=2e3，VN=8e9，会超时，因为是二进制所以可以用bitset优化。因为dp[i]=max(dp[i],dp[i-ai]），所以左移的操作就可以做到这个目的。
+ 比如101011，ai=3，101011<<3=101011000，101011000|101011=10111011就相当于用ai更新了一次。
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 4e6+10;
bitset<maxn>b;
int main(){int n;  cin>>n;int sum = 0;vector<int>a(n);for(int i = 0; i < n; i++){cin>>a[i];  sum += a[i];}b[0] = 1;for(int i = 0; i < n; i++)b |= (b<<a[i]);int ans = sum+1>>1;while(b[ans]==0)ans++;cout<<ans<<"\n";return 0;
}

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