01

知识框架

02

知识点详解

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散列表的相关概念

①什么是散列表和散列函数?

是根据关键码值(Key value)而直接进行访问的数据结构。也就是说，它通过把关键码值映射到表中一个位置来访问记录，以加快查找的速度。这个映射函数叫做散列函数，记为 Hash(key) = Addr 这里的地址是数组下标、索引或内存地址等)。 存放记录的数组叫做散列表。

②什么是同义词和冲突？

散列函数可能会把两个或两个以上的不同关键字映射到同一地址，称这种情况为冲突，这些发生碰撞的不同关键字称为同义词。一方面，设计得好的散列函数应尽量减少这样的冲突；另一方面，由于这样的冲突总是不可避免的，所以还要设计好处理冲突的方法。

2

散列函数

下面介绍几种常见的散列函数：

①直接定址法

取关键词的某个线性函数值为散列地址，即H(key) = a × key + b (a、b为常数)适用情况：它适合关键字的分布基本连续的情况，若关键字分布不连续，空位较多，则会造成存储空间的浪费。

②除留余数法

散列函数为：H(key) = key mod p(假定散列表的长度为m，取一个不大于m但是接近于m的质数p)它是一种最简单、最常见的方法。

③数字分析法

分析数字关键字在各位上的变化情况，取比较随机的位作为散列地址。适用情况：这种方法适合于己知的关键字集合，若更换了关键字，需要重新构造新的散列函数。

④平方取中法

这种方法取关键字的平方值的中间几位作为散列地址。具体取多少位要视实际情况而定，这种方法得到的散列地址与关键字的每位都有关系。因此使得散列地址分布比较均匀。适用情况：适用于关键字的每位取值都不够均匀或均小于散列地址所需的位数。

3

散列函数

①开放定址法

开放定址法就是一旦发生冲突，就去寻找下一个空的散列地址。它的递推公式为:

Hi= (H(key) + di) % m

其中H(key)为散列函数；i=0,1,2,...,k(k<=m-1)；m表示散列表的长度；di表示增量序列。这里增量序列的不同表示处理方式也不同，增量序列一旦被确立之后，处理方式也就确立了。通常，增量序列有以下四种取值方式：

(1)

线性探测法：当di=0,1,2,..,m-1时，称为线性探测法。

探测方式：冲突发生时,顺序查看表中下一个单元(探测到表尾地址m- 1时，下一个探测地址是表首地址0)，直到找出一个空闲单元(当表未填满时一定能找到一个空闲单元) 或查遍全表。缺点：线性探测法的探测方法会使大量元素在相邻的散列地址上”堆积”起来，这样大大降低了查找效率。(2) 平方探测法：当di=0,12,-12,22,-22,...,k2, -k2时，称为平方探测法，其中k<=m/2，散列表长度m必须是一个可以表示成4k+ 3的素数，这样的方法又称二次探测法。探测方式：与线性探测法类似。但它可以避免出现“堆积”问题。缺点：由于di为某数的平方，不能探测到散列表上的所有单元，但至少能探测到一半单元。(3) 再散列法：当di= Hash2(key)时，称为再散列法，又称双散列法。需要使用两个散列函数。探测方式：当通过第一个散列函数H(key)得到的地址发生冲突时,则利用第二个散列函数Hash2(key)计算该关键字的地址增量。它的具体散列函数形式如下:

Hi= (H(key) + i×Hash2(key)) % m

初始探测位置H0= H(key)%m。i是冲突的次数，初始为0。(4) 伪随机序列法：当di=伪随机数序列时，称为伪随机序列法。缺点：用同样的随机种子，将得到相同的数列。开放定址法缺点：① 使用探测序列，有时计算的时间成本过高，导致散列表的处理性能降低② 删除记录时较麻烦。不能随便物理删除表中的已有元素，因为若删除元素，则会截断其他具有相同散列地址的元素的查找地址。因此，要删除一个元素时，可给它做一个删除标记，进行逻辑删除。但这样做的副作用是执行多次删除后，表面上看起来散列表很满，实际上有许多位置未利用，因此需要定期维护散列表，要把删除标记的元素物理删除。

②拉链法(链地址法)

所有关键字为同义词的记录存储在一个单链表中，称这种表为同义词子表，在散列表中只存储所有同义词子表的头指针。拉链法适用于经常进行插入和删除的情况。优点:

① 对于记录总数频繁可变的情况，处理的比较好。

② 删除记录比较方便，直接通过指针操作即可。缺点：存储的记录是随机分布在内存中的，这样在查询记录时，相比结构紧凑的数据类型(比如数组)，散列表的跳转访问会带来额外的时间开销。

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性能分析

①平均查找长度

(1) 查找成功时的平均查找长度是指找到表中已有表项的平均比较次数，它是找到表中各个已有表项的平均比较次数。(2)查找不成功的平均查找长度是指在表中找不到待查的表项，但找到插入位置的平均比较次数。它是在表中所有可能散列到的地址，上插入新元素时，为找到空位置而进行探查的平均次数。

②装填因子

Tips：散列表的平均查找长度与关键字个数n无关，而与装填因子a有关

下面我们来看一个例子：

Q：

用关键字序列{2, 34,23,11, 25, 35,12,14}创建一个Hash表，装填因子a为1/2，试确定表长m，采用除留余数法构造Hash函数，采用链地址法来处理冲突，并计算查找成功与不成功时的平均查找长度ASL1和ASL2(只将与关键字的比较计算在内)。A：(1) 由装填因子a的定义知道，a=n/m， 其中n为关键字个数，m为表长，因此可以求出m为16。(2) 除留余数法的Hash函数构造公式为H(key)=key mod p，其中p为不大于表长的最大素数，因表长m为16，所以p取13，Hash函数为H(key)=key Mod 13。(3) 用(2)中构造的Hash函数并用链地址法处理冲突所建立的Hash过程如下:2 mod 13 = 2，将2插在地址为2的链表表尾34 mod 13 = 8，将34插在地址为8的链表表尾23 mod 13 = 10，将23插在地址为10的链表表尾11 mod 13 = 11，将11插在地址为11的链表表尾25 mod 13 = 12，将25插在地址为2的链表表尾35 mod 13 = 9，将35插在地址为9的链表表尾12 mod 13 = 12，将12插在地址为12的链表表尾14 mod 13 = 1，将14插在地址为1的链表表尾得到如下散列表：(4)求ASL1ASL1=(1+1+2+1+1+1+1+1)/8=1.125关键字比较次数：(5) 求ASL2ASL2=(0+1+2+0+0+0+0+0+1+1+1+1+1)/13=0.615地址比较次数：

03

相关习题

01

( 2014统考)用哈希(散列)方法处理冲突(碰撞)时可能出现堆积(聚集)现象， 下列选项中，会受堆积现象直接影响的是()

A、存储效率

B、散列函数

C、装填(装载)因子

D、平均查找长度

(点击选项查看答案)Tips：产生堆积现象，即产生了冲突。平均查找长度会因为堆积而增大。

02

(2018统考真题)现有长度为7、初始为空的散列表HT,散列函数H(k)=k % 7，用线性探测再散列法解决冲突。将关键字22, 43, 15 依次插人到HT后，查找成功的平均查找长度是()。

A、1.5

B、 1.6

C、2

B、与时俱进

C、实事求是

D、持续稳定

进

D、3

(点击选项查看答案)Tips：根据题目要求可以画出散列表，根据散列表可以得到ASL成功=(1+2+3)/3=2

03

(2019统考真题)现有长度为 11且初始为空的散列表HT,散列函数是H (key)=key%7,采用线性探查(线性探测再散列)法解决冲突。将关键字序列87, 40, 30, 6, 11,22, 98, 20依次插入HT后，HT查找失败的平均查找长度是()。

A、4

B、5.25

C、6

B、与时俱进

C、实事求是

D、持续稳定

进

D、6.29

(点击选项查看答案)Tips：由于H(key)=0~6,查找失败时对应的可能地址有七个，要特别注意的是，散列函数不可能计算出地址7。故ASL失败=(9+8+7+6+5+4+3)/7=6

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