多元建模基础（三）：球面分布与椭圆分布

1 球面分布：

1）定义：

此定义说明球面随机变量在旋转下分布不变

此外以下定义是等价的：

从定义（2）可以看出，球面分布的特征函数完全可以由一个标量函数导出，则球面分布可以表示为

2）一些球面分布的例子：

多元正态分布：

正态方差混合分布：

3）另一种描述球面分布的方法：

由书上证明可知，X为球面分布，且一个球面分布总可以表示为此形式。另外考虑我们感兴趣的子集，可以得到如下一个结论：

由此推论，可以得出一些有关分布的结论

上面我们举了一些，的混合方差分布作为球面分布的例子，实际上有很多球面分布并不如此，如，考虑到混合方差分布的重要性，有如下定理：

密度生成函数：

2 椭圆分布：

1）定义：

称

特征函数：

从特征函数可以看出，由X并不能唯一确定其分布参数，以多元正态分布为例，与表示的是同一分布，为方差矩阵，当时，才表示为X的协方差矩阵

现在，给出椭圆分布的另一种表示方法：

此外，椭圆分布X的特定条件分布与X具有相同的相关矩阵：

2）椭圆分布的一些性质：

线性组合：

边际分布：

条件分布：

二次型：

卷积：

3 估计离散度与相关性：

在考虑估计均值与协方差矩阵时，我们一般考虑利用与S，但是这两者并不一定总是优良的估计量，比如有时候会不够稳健，于是，有一些其他的估计策略，一是拟合大量的正态方差混合分布，从而导出一个估计值，二就是下面要说的M估计量

1）M估计量：

是一个相对老的方法，优点是特别易于计算，作为一个改善估计量，可以有效解决厚尾分布大观测值的问题，估计的过程是一个迭代过程，并且，由此方法估计出的协方差矩阵一般是无偏估计量，算法如下：

2）通过Kendall秩相关系数进行相关性估计：

估计时的一些问题：

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