4.6 高斯约当消元法

高斯消元法把矩阵变换为上三角阵，上三角阵还可以继续变换为对角阵。例如上面增广矩阵 [A,b][A, b][A,b] 变换为上三角阵
[24−2201140048]\left[ \begin{matrix} 2 & 4 & -2 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 4 & 8 \end{matrix} \right] ⎣⎡200410−214248⎦⎤

先从最后一列倒数第二行开始，最后一行乘以 −1/4-1/4−1/4 加到倒数第二行，则变换为
[24−2201020048]\left[ \begin{matrix} 2 & 4 & -2 & 2\\ 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 4 & 8 \end{matrix} \right] ⎣⎡200410−204228⎦⎤

最后一行乘以 2/42/42/4 加到倒数第一行，则变换为
[240601020048]\left[ \begin{matrix} 2 & 4 & 0 & 6\\ 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 4 & 8 \end{matrix} \right] ⎣⎡200410004628⎦⎤

方程 222 乘以 −4-4−4 加到方程 111，则变换为
[200−201020048]\left[ \begin{matrix} 2 & 0 & 0 & -2\\ 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 4 & 8 \end{matrix} \right] ⎣⎡200010004−228⎦⎤

最后变成单位矩阵，为

[100−101020012]\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix} \right] ⎣⎡100010001−122⎦⎤

最后一列就是方程解。

高斯约当消元法提供了一种手算逆矩阵的方法。求逆矩阵可以看作是解 nnn 个方程，即 Abi=eiA\mathbf{b_i}=\mathbf{e_i}Abi=ei ，高斯约当消元法把矩阵 AAA 变换为单位阵 EEE ，则增广矩阵最后一列就是解，也就是逆矩阵 A−1A^{-1}A−1 的第 iii 列向量。如果同时并行解 nnn 个方程 Abi=ei,i∈[1,n]A\mathbf{b_i}=\mathbf{e_i}, i \in [ 1,n]Abi=ei,i∈[1,n] ，则可并行求得逆矩阵 A−1A^{-1}A−1 所有列向量。增广矩阵 [A,E][A, E][A,E] 进行高斯约当消元法，把矩阵 AAA 变换为单位阵，则单位阵变换为 A−1A^{-1}A−1 ，即 [E,A−1][ E, A^{-1}][E,A−1] 。

上面是不存在行对调操作的情况，如果需要行对调，则对 [PA,E][PA, E][PA,E] 进行高斯约当消元法求逆，得到 [E,B],B=(PA)−1[E, B], B = (PA)^{-1}[E,B],B=(PA)−1 ，则 A−1=BPA^{-1}=BPA−1=BP 。

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