买棉花糖

题目链接：YBT2023寒假Day9 B

题目大意

有 n 个商店，每个商店有 ci 个物品，原价是 ai，你在一个商店买的物品越多，下一个买的就越少，每次减少 di 块钱。
然后有 q 次询问，每次问你买 mi 个物品的最小费用。

思路

首先由一个结论，就是确定总物品数的情况下，最优情况中最多一家店选的物品数量不是 0 也不是全部。

感性的看也确实是这样，因为如果买这个越买越赚就肯定是买更多，不过还是不是那么显然，我们考虑证明：

那如果上面的条件成立，那有两家点 i , j i,j i,j，分别选了 x , y x,y x,y 个。
假设 b i , j b_{i,j} bi,j 是在第 i i i 个商店买第 j j j 次的价格，那 b i , j = a i − ( j − 1 ) d i b_{i,j}=a_i-(j-1)d_i bi,j=ai−(j−1)di
那我们首先有 b i , x > b i , x + 1 , b j , y > b j , y + 1 b_{i,x}> b_{i,x+1},b_{j,y}>b_{j,y+1} bi,x>bi,x+1,bj,y>bj,y+1。

那如果满足最优，那就是无论 x + 1 , y − 1 x+1,y-1 x+1,y−1 和 x − 1 , y + 1 x-1,y+1 x−1,y+1 都不优。
那就是 b i , x ⩽ b j , y + 1 , b j , y ⩽ b i , x + 1 b_{i,x}\leqslant b_{j,y+1},b_{j,y}\leqslant b_{i,x+1} bi,x⩽bj,y+1,bj,y⩽bi,x+1
然后联立这个式子和上面的第一个。
b j , y ⩽ b i , x + 1 < b i , x ⩽ b j , y + 1 b_{j,y}\leqslant b_{i,x+1}<b_{i,x}\leqslant b_{j,y+1} bj,y⩽bi,x+1<bi,x⩽bj,y+1
那就是 b j , y < b j , y + 1 b_{j,y}<b_{j,y+1} bj,y<bj,y+1，这与上面的第二个 b j , y > b y , j + 1 b_{j,y}>b_{y,j+1} bj,y>by,j+1 矛盾。
所以成立。

然后考虑通过看特别的那个位置在哪里，考虑分治。（ f l , r , x f_{l,r,x} fl,r,x 是第 l ∼ r l\sim r l∼r 个商店里面选 x x x 个的代价）
那如果是 [ l , m i d ] [l,mid] [l,mid]，那你可以先左边递归下去得到 g m = f l , m i d , m g_m=f_{l,mid,m} gm=fl,mid,m，然后再枚举右边 [ m i d + 1 , r ] [mid+1,r] [mid+1,r]，用一个背包的操作（不加或者全加），算入到 g g g 里面。
右边也同理，那背包一次是 O ( n m ) O(nm) O(nm) 的，总复杂度就是 O ( n m log ⁡ n ) O(nm\log n) O(nmlogn)

代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define ll long long
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3fusing namespace std;const int N = 550;
const int M = 2e4 + 100;
int n, q;
ll a[N], d[N], c[N], g[N << 2][M];void slove(int now, int l, int r) {if (l == r) {for (int i = 0; i <= c[l]; i++) g[now][i] = a[l] * i - d[l] * (i - 1) * i / 2;for (int i = c[l] + 1; i <= 20000; i++) g[now][i] = INF;return ;}int mid = (l + r) >> 1;slove(now << 1, l, mid);for (int i = mid + 1; i <= r; i++) {for (int j = 20000 - c[i]; j >= 0; j--)g[now << 1][j + c[i]] = min(g[now << 1][j + c[i]], g[now << 1][j] + a[i] * c[i] - d[i] * (c[i] - 1) * c[i] / 2);}slove(now << 1 | 1, mid + 1, r);for (int i = l; i <= mid; i++) {for (int j = 20000 - c[i]; j >= 0; j--)g[now << 1 | 1][j + c[i]] = min(g[now << 1 | 1][j + c[i]], g[now << 1 | 1][j] + a[i] * c[i] - d[i] * (c[i] - 1) * c[i] / 2);}for (int i = 0; i <= 20000; i++) g[now][i] = min(g[now << 1][i], g[now << 1 | 1][i]);
}int main() {freopen("marshmallow.in", "r", stdin);freopen("marshmallow.out", "w", stdout);
//  freopen("easy2.in", "r", stdin);
//  freopen("write.txt", "w", stdout);scanf("%d %d", &n, &q);for (int i = 1; i <= n; i++) {scanf("%lld %lld %lld", &a[i], &d[i], &c[i]); c[i] = min(c[i], 20000ll);}slove(1, 1, n);for (int i = 1; i <= q; i++) {int x; scanf("%d", &x); printf("%lld\n", g[1][x]);}return 0;
}

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