一维量子行走及其拓扑结构

0. 经典一维随机行走

一维的随机行走表示的是如下情形：一个人以p的概率向前行走，以(1-p)的概率向后行走。用x表达他的位置，在n步行走之后，为 x(n)x(n)x(n). 设初始位置为 x(0)=0x(0)=0x(0)=0. 显然有如下的结论：如果n是奇数，则x为偶数的概率为0；同理，如果n是偶数，则x为奇数的概率为0. 综上，有概率如下：
Pr[x(n)=k]={(n(n+k)/2)p(n+k)/2q(n−k)/2,(n+k)/2∈Z0,otherwise\mathrm{Pr}[x(n)=k] = \left\{ \begin{aligned} &\begin{pmatrix} n\\(n+k)/2 \end{pmatrix}p^{(n+k)/2}q^{(n-k)/2},& (n+k)/2\in Z\\ &\quad0,& \text{otherwise} \end{aligned}\right. Pr[x(n)=k]=⎩⎪⎨⎪⎧(n(n+k)/2)p(n+k)/2q(n−k)/2,0,(n+k)/2∈Zotherwise
这样的随机行走与二项式分布类似，x也是钟形分布。对于二项式分布 X∼B(n,p)X\sim B(n,p)X∼B(n,p)，有E[X]=np,Var[X]=npqE[X]=np,\quad Var[X]=npqE[X]=np,Var[X]=npq. 同理对于随机行走而言，有 E[x]=np,Var[x]=4npqE[x]=np,\quad Var[x]=4npqE[x]=np,Var[x]=4npq。因此我们可以得到一个经典随机行走的重要结论：Δx∝n\Delta x\propto \sqrt{n}Δx∝n

1. 一维量子随机行走之 Hadmard 行走

对于一维量子随机行走，如果考虑的也是一个“人”（原子，光子等）在位置空间随机的向前/向后，则不会与经典的情形有什么不同。但是我们可以结合量子中特有的测量。考虑的是一个拿着硬币的“人”，如果这个硬币是正面则向前，背面则向后。但是由于量子叠加性，硬币可以处于叠加态，因此经过移动后会变成硬币和位置空间中的纠缠态。

因此分立一维量子随机行走的过程可以概括为，在参考空间为位置空间 {∣x⟩}\{|x\rangle\}{∣x⟩}，和一个自旋空间 {∣↑⟩，∣↓⟩}\{|\uparrow\rangle，|\downarrow\rangle\}{∣↑⟩，∣↓⟩} 的总空间中，初始态为 ∣ψ(0)⟩=∣0⟩∣↑⟩|\psi(0)\rangle=|0\rangle|\uparrow\rangle∣ψ(0)⟩=∣0⟩∣↑⟩。它在一个算符 U=TSU = TSU=TS 的反复作用下进行演化。有∣ψ(t)⟩=Ut∣ψ(0)⟩|\psi(t)\rangle = U^t|\psi(0)\rangle∣ψ(t)⟩=Ut∣ψ(0)⟩。其中，T算符是个控制位移算符，S算符是硬币算符。
T=∑x∣x+1⟩⟨x∣⊗Π↑+∣x−1⟩⟨x∣⊗Π↓\begin{aligned} T = \sum_x|x+1\rangle\langle x|\otimes\Pi_\uparrow+|x-1\rangle\langle x|\otimes\Pi_\downarrow \end{aligned} T=x∑∣x+1⟩⟨x∣⊗Π↑+∣x−1⟩⟨x∣⊗Π↓
即，自旋向上即向右移动，自旋向下的时候即向左移动。同时这里考虑，硬币算符为Hadmard变换。S=H=∣+⟩⟨0∣+∣−⟩⟨1∣S = H = |+\rangle\langle 0|+|-\rangle\langle 1|S=H=∣+⟩⟨0∣+∣−⟩⟨1∣ 它可以旋转硬币的状态。

∣ψ(t)⟩=∑x∣ψ(x,t)⟩∣x⟩,∣ψ(x,t)⟩=ψR(x,t)∣↑⟩+ψL(x,t)∣↓⟩=(ψR(x,t)ψL(x,t))|\psi(t)\rangle=\sum_x|\psi(x,t)\rangle|x\rangle,\quad|\psi(x,t)\rangle = \psi_R(x,t)|\uparrow\rangle+\psi_L(x,t)|\downarrow\rangle = \begin{pmatrix} \psi_R(x,t)\\\psi_L(x,t) \end{pmatrix} ∣ψ(t)⟩=x∑∣ψ(x,t)⟩∣x⟩,∣ψ(x,t)⟩=ψR(x,t)∣↑⟩+ψL(x,t)∣↓⟩=(ψR(x,t)ψL(x,t))

我们希望得到它的表达式而不是迭代方程。欲探究 ∣ψ(t)⟩|\psi(t)\rangle∣ψ(t)⟩ 的表达式，可以利用 ∣ψ(t−1)⟩|\psi(t-1)\rangle∣ψ(t−1)⟩ 到 ∣ψ(t)⟩|\psi(t)\rangle∣ψ(t)⟩ 的变化。其中，∣ψ(x,t+1)⟩|\psi(x,t+1)\rangle∣ψ(x,t+1)⟩ 只与 ∣ψ(x−1,t)⟩|\psi(x-1,t)\rangle∣ψ(x−1,t)⟩ 和 ∣ψ(x,t)⟩|\psi(x,t)\rangle∣ψ(x,t)⟩，∣ψ(x+1,t)⟩|\psi(x+1,t)\rangle∣ψ(x+1,t)⟩ 的态才可能演化到这个态。因此有：
ψ(x,t+1)=−12(−1100)ψ(x+1,t)+12(0011)ψ(x−1,t)=M−ψ(x+1,t)+M+ψ(x−1,t)\begin{aligned} \psi(x,t+1) &= -\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}-1&1\\0&0\end{pmatrix} \psi(x+1,t)+\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}\psi(x-1,t) \\ & = M_-\psi(x+1,t) + M_+\psi(x-1,t) \end{aligned} ψ(x,t+1)=−21(−1010)ψ(x+1,t)+21(0101)ψ(x−1,t)=M−ψ(x+1,t)+M+ψ(x−1,t)
在计算中我们可以利用一种特殊的Fiourier 变换，它能将在从 −∞-\infty−∞ 到 +∞+\infty+∞ 的整数空间Z投影到 [−π,π][-\pi, \pi][−π,π] 的连续空间上，有：
f~(k)=∑xf(x)eikxf(x)=12π∫−ππdkf~(k)e−ikx\begin{aligned} \tilde{f}(k) &= \sum_x f(x)e^{ikx} \\ f(x) &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi dk \tilde{f}(k) e^{-ikx} \end{aligned} f~(k)f(x)=x∑f(x)eikx=2π1∫−ππdkf~(k)e−ikx
因此，尝试在k空间中讨论上述方程。
ψ(x,t+1)=M−ψ(x+1,t)+M+ψ(x−1,t)ψ(k,t+1)=∑xψ(x,t+1)eikx=M−∑xψ(x+1,t)eikx+M+∑xψ(x−1,t)eikx=M−e−ik∑xψ(x+1,t)eik(x+1)+M+eik∑xψ(x−1,t)eik(x−1)=(M−e−ik+M+eik)ψ(k,t)=Mkψ(k,t)\begin{aligned} \psi(x,t+1) &= M_-\psi(x+1,t) + M_+\psi(x-1,t) \\ \psi(k,t+1) &= \sum_x \psi(x,t+1) e^{ikx}\\ & = M_-\sum_x \psi(x+1,t)e^{ikx} + M_+\sum_x \psi(x-1,t)e^{ikx}\\ & = M_-e^{-ik}\sum_x \psi(x+1,t)e^{ik(x+1)}+M_+e^{ik}\sum_x \psi(x-1,t)e^{ik(x-1)}\\ & = (M_-e^{-ik}+M_+e^{ik}) \psi(k,t)\\ & = M_k \psi(k,t) \end{aligned} ψ(x,t+1)ψ(k,t+1)=M−ψ(x+1,t)+M+ψ(x−1,t)=x∑ψ(x,t+1)eikx=M−x∑ψ(x+1,t)eikx+M+x∑ψ(x−1,t)eikx=M−e−ikx∑ψ(x+1,t)eik(x+1)+M+eikx∑ψ(x−1,t)eik(x−1)=(M−e−ik+M+eik)ψ(k,t)=Mkψ(k,t)
这里重新定义了
Mk=M−e−ik+M+eik=12(−e−ike−ikeikeik)M_k = M_-e^{-ik}+M_+e^{ik} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}-e^{-ik}&e^{-ik}\\e^{ik}&e^{ik} \end{pmatrix}Mk=M−e−ik+M+eik=21(−e−ikeike−ikeik)
显然有Mk†Mk=IM_k^\dag M_k=IMk†Mk=I. 因此，在k空间中，我们可以轻易的得到t次后的表达式为：ψ(k,t)=Mktψ(k,0)\psi(k,t) = M_k^t\psi(k,0)ψ(k,t)=Mktψ(k,0)，有∣ψ(t)⟩=∫ψ(k,t)∣k⟩dk|\psi(t)\rangle = \int \psi(k,t)|k\rangle dk∣ψ(t)⟩=∫ψ(k,t)∣k⟩dk。如果需要得到t次方的 MkM_kMk 需要对它进行谱分解。设它的本征值为λk1,λk2\lambda_k^1,\lambda_k^2λk1,λk2 对应的本征矢为 ϕk1,ϕk2\phi_k^1,\phi_k^2ϕk1,ϕk2，令sin⁡ωk=sin⁡k/2\sin\omega_k = \sin k/\sqrt{2}sinωk=sink/2.
λk1=eiωk,ϕk1=1N1(e−ik2eiωk+e−ik)λk2=ei(π−ωk),ϕk2=1N2(e−ik−2e−iωk+e−ik)\begin{aligned} &\lambda_k^1 = e^{i\omega_k},&\phi_k^1 = \frac{1}{N_1}\begin{pmatrix} e^{-ik}\\ \sqrt{2}e^{i\omega_k}+e^{-ik} \end{pmatrix} \\ &\lambda_k^2 = e^{i(\pi-\omega_k)},&\phi_k^2 = \frac{1}{N_2}\begin{pmatrix} e^{-ik}\\ -\sqrt{2}e^{-i\omega_k}+e^{-ik} \end{pmatrix} \end{aligned} λk1=eiωk,λk2=ei(π−ωk),ϕk1=N11(e−ik2eiωk+e−ik)ϕk2=N21(e−ik−2e−iωk+e−ik)
如果我们把初态分解成 ϕk1\phi_k^1ϕk1 和 ϕk2\phi_k^2ϕk2 的线性组合 ∣ψ(k,0)⟩=c1∣ϕk1⟩+c2∣ϕk2⟩|\psi(k,0)\rangle = c_1|\phi_k^1\rangle+c_2|\phi_k^2\rangle∣ψ(k,0)⟩=c1∣ϕk1⟩+c2∣ϕk2⟩。所以，有 ∣ψ(k,t)⟩=c1(λk1)t∣ϕk1⟩+c2(λk2)t∣ϕk2⟩|\psi(k,t)\rangle = c_1(\lambda_k^1)^t|\phi_k^1\rangle+c_2(\lambda_k^2)^t|\phi_k^2\rangle∣ψ(k,t)⟩=c1(λk1)t∣ϕk1⟩+c2(λk2)t∣ϕk2⟩
如果初始态为 ∣ψ(0)⟩=∣0⟩∣↑⟩|\psi(0)\rangle = |0\rangle|\uparrow\rangle∣ψ(0)⟩=∣0⟩∣↑⟩，则：
ψR(x,t)=12π∫−ππ−ieik21+cos⁡2(k)e−i(ωkt−kn)dkψL(x,t)=12π∫−ππ(1+cos⁡k1+cos⁡2k)e−i(ωkt−kn)dkP(x,t)=∣ψR(x,t)∣2+∣ψL(x,t)∣2\begin{aligned} &\psi_R(x,t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \frac{-ie^{ik}}{2\sqrt{1+\cos^2(k)}}e^{-i(\omega_k t-kn)} dk\\ &\psi_L(x,t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\left(1+\frac{\cos k}{\sqrt{1+\cos^2 k}}\right)e^{-i(\omega_k t-kn)} dk\\ &\\ & P(x,t) = |\psi_R(x,t)|^2+ |\psi_L(x,t)|^2 \end{aligned} ψR(x,t)=2π1∫−ππ21+cos2(k)−ieike−i(ωkt−kn)dkψL(x,t)=2π1∫−ππ(1+1+cos2kcosk)e−i(ωkt−kn)dkP(x,t)=∣ψR(x,t)∣2+∣ψL(x,t)∣2
我们可以得到如下的图像：当初态为 ∣ψ(0)⟩=∣0⟩∣↑⟩|\psi(0)\rangle = |0\rangle|\uparrow\rangle∣ψ(0)⟩=∣0⟩∣↑⟩ 时，在右侧的地区有一片很大的概率。同理，当初态为∣ψ(0)⟩=∣0⟩∣↓⟩|\psi(0)\rangle = |0\rangle|\downarrow\rangle∣ψ(0)⟩=∣0⟩∣↓⟩ 时，在左侧的地区有一片很大的概率。欲得到平衡的分布，则需要初态为:∣ψ(0)⟩=∣0⟩(∣↑⟩+i∣↓⟩)/2|\psi(0)\rangle = |0\rangle(|\uparrow\rangle+i|\downarrow\rangle)/\sqrt{2}∣ψ(0)⟩=∣0⟩(∣↑⟩+i∣↓⟩)/2. 还有一种平衡的方式是令硬币算符为:
S=12(1ii1)S = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1&i\\i&1\\ \end{pmatrix} S=21(1ii1)

这种一维量子随机行走能够得到以下几条主要结论：

量子随机行走的方差比经典的扩散的更快 Δx∝t\Delta x\propto tΔx∝t
量子随机行走的概率在 x∈[−t1/2,t1/2]x\in[-t^{1/2},t^{1/2}]x∈[−t1/2,t1/2] 的概率近乎相同，而且较低.

2. 一维量子随机行走之传统情形

对于一个以任意角度的旋转的硬币算符 S(θ)S(\theta)S(θ)，可以用Pauli算符表示：
S(θ)=(cos⁡θ/2−sin⁡θ/2sin⁡θ/2cos⁡θ/2)=e−iθσy/2S(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta/2 & -\sin\theta/2\\ \sin\theta/2& \cos\theta/2 \end{pmatrix} = e^{-i\theta \sigma_y/2} S(θ)=(cosθ/2sinθ/2−sinθ/2cosθ/2)=e−iθσy/2
因此，这个这时一次的态的演化为 U=TS(θ)U = TS(\theta)U=TS(θ)，对于一个酉变换总可以定义一个有效哈密顿量使得 U=e−iHeffU = e^{-iH_{eff}}U=e−iHeff。我们仍然需要Fourier 变换去理解这个过程，有：
∣x⟩=∫−ππ∣k⟩eikxdk∣k⟩=∑x∣x⟩e−ikx∑x∣x+1⟩⟨x∣=∑x∬dk1dk2∣k1⟩⟨k2∣eiΔkxe−ik1=∫dke−ik∣k⟩⟨k∣∑x∣x−1⟩⟨x∣=∑x∬dk1dk2∣k1⟩⟨k2∣eiΔkxeik1=∫dkeik∣k⟩⟨k∣\begin{aligned} |x\rangle &=\int_{-\pi}^\pi |k\rangle e^{ikx}dk\\ |k\rangle &= \sum_x|x\rangle e^{-ikx}\\ \sum_x|x+1\rangle\langle x| &= \sum_x\iint dk_1dk_2 |k_1\rangle\langle k_2| e^{i\Delta kx} e^{-ik_1}\\ & = \int dk \ e^{-ik}|k\rangle\langle k|\\ \sum_x|x-1\rangle\langle x| &= \sum_x\iint dk_1dk_2 |k_1\rangle\langle k_2| e^{i\Delta kx} e^{ik_1} \\ & = \int dk\ e^{ik} |k\rangle\langle k| \end{aligned} ∣x⟩∣k⟩x∑∣x+1⟩⟨x∣x∑∣x−1⟩⟨x∣=∫−ππ∣k⟩eikxdk=x∑∣x⟩e−ikx=x∑∬dk1dk2∣k1⟩⟨k2∣eiΔkxe−ik1=∫dk e−ik∣k⟩⟨k∣=x∑∬dk1dk2∣k1⟩⟨k2∣eiΔkxeik1=∫dk eik∣k⟩⟨k∣
因此，可以改写T的表达式：
T=∑x∣x+1⟩⟨x∣⊗Π↑+∣x−1⟩⟨x∣⊗Π↓=∫dk∣k⟩⟨k∣(e−ikΠ↑+eikΠ↓)=∫dk∣k⟩⟨k∣(cos⁡k−isin⁡k⋅σz)=∫dk∣k⟩⟨k∣e−ikσz\begin{aligned} T &= \sum_x|x+1\rangle\langle x|\otimes\Pi_\uparrow+|x-1\rangle\langle x|\otimes\Pi_\downarrow\\ &= \int dk |k\rangle\langle k| (e^{-ik}\Pi_\uparrow+e^{ik}\Pi_\downarrow)\\ &= \int dk |k\rangle\langle k|(\cos k-i\sin k \cdot\sigma_z)\\ & = \int dk |k\rangle\langle k| e^{-ik \sigma_z} \end{aligned} T=x∑∣x+1⟩⟨x∣⊗Π↑+∣x−1⟩⟨x∣⊗Π↓=∫dk∣k⟩⟨k∣(e−ikΠ↑+eikΠ↓)=∫dk∣k⟩⟨k∣(cosk−isink⋅σz)=∫dk∣k⟩⟨k∣e−ikσz
改写U的表达式为：
U=TS(θ)=∫dk∣k⟩⟨k∣(cos⁡k−iσysin⁡k)⋅(cos⁡θ/2−iσysin⁡θ/2)=∫dk∣k⟩⟨k∣(cos⁡kcos⁡θ2−iσzsin⁡kcos⁡θ2−iσycos⁡ksin⁡θ2−σzσysin⁡ksin⁡θ2)=∫dk∣k⟩⟨k∣cos⁡kcos⁡θ2−i[sin⁡ksin⁡θ2,cos⁡kcos⁡θ2,−sin⁡ksin⁡θ2]⋅σ⃗=∫dk∣k⟩⟨k∣cos⁡E(k)−isin⁡E(k)n⃗(k)⋅σ⃗=∫dk∣k⟩⟨k∣e−iE(k)n⃗(k)⋅σ⃗Heff=∫dk∣k⟩⟨k∣E(k)n⃗(k)⋅σ⃗\begin{aligned} U &= TS(\theta)\\ & = \int dk |k\rangle\langle k|(\cos k-i\sigma_y\sin k) \cdot (\cos\theta/2-i\sigma_y\sin\theta/2)\\ & = \int dk |k\rangle\langle k|(\cos k\cos\frac{\theta}{2}-i\sigma_z\sin k\cos\frac{\theta}{2}-i\sigma_y\cos k\sin\frac{\theta}{2}-\sigma_z\sigma_y\sin k\sin\frac{\theta}{2})\\ & = \int dk |k\rangle\langle k| \cos k\cos\frac{\theta}{2} -i[\sin k\sin\frac{\theta}{2},\cos k\cos\frac{\theta}{2},-\sin k\sin\frac{\theta}{2}]\cdot \vec{\sigma}\\ & = \int dk |k\rangle\langle k| \cos E(k)-i\sin E(k)\vec{n}(k)\cdot \vec{\sigma}\\ & = \int dk |k\rangle\langle k| e^{-i E(k)\vec{n}(k)\cdot \vec{\sigma}}\\ H_{eff} &= \int dk |k\rangle\langle k|\ E(k)\vec{n}(k)\cdot \vec{\sigma} \end{aligned} UHeff=TS(θ)=∫dk∣k⟩⟨k∣(cosk−iσysink)⋅(cosθ/2−iσysinθ/2)=∫dk∣k⟩⟨k∣(coskcos2θ−iσzsinkcos2θ−iσycosksin2θ−σzσysinksin2θ)=∫dk∣k⟩⟨k∣coskcos2θ−i[sinksin2θ,coskcos2θ,−sinksin2θ]⋅σ=∫dk∣k⟩⟨k∣cosE(k)−isinE(k)n(k)⋅σ=∫dk∣k⟩⟨k∣e−iE(k)n(k)⋅σ=∫dk∣k⟩⟨k∣ E(k)n(k)⋅σ
其中，我们定义了一个准能量 E(k)E(k)E(k)，它的取值范围是 [−π,π][-\pi,\pi][−π,π]. 以及一个随k变化的单位矢量 n(k)n(k)n(k). 它始终与一个矢量 A⃗\vec{A}A 垂直，或者说，是在与其垂直的平面上。
cos⁡E(k)=cos⁡kcos⁡θ2nx=sin⁡ksin⁡θ2/sin⁡E(k)ny=cos⁡kcos⁡θ2/sin⁡E(k)nz=−sin⁡ksin⁡θ2/sin⁡E(k)n⃗⊥A⃗=(cos⁡θ2,0,sin⁡θ2)\begin{aligned} \cos E(k) &= \cos k \cos\frac{\theta}{2} \\ n_x &= \sin k\sin\frac{\theta}{2}/\sin E(k)\\ n_y &= \cos k\cos\frac{\theta}{2}/\sin E(k)\\ n_z &= -\sin k\sin\frac{\theta}{2}/\sin E(k)\\ \vec{n}\perp \vec{A} &= (\cos\frac{\theta}{2},0,\sin\frac{\theta}{2}) \end{aligned} cosE(k)nxnynzn⊥A=coskcos2θ=sinksin2θ/sinE(k)=coskcos2θ/sinE(k)=−sinksin2θ/sinE(k)=(cos2θ,0,sin2θ)
更为重要的是，如果我们将k从 −π-\pi−π 到 π\piπ 连续变化，n⃗(k)\vec{n}(k)n(k) 刚好绕矢量 A⃗\vec{A}A 一圈。依据此定义绕数winding numver, W=1W=1W=1。如果定义一个chiral算符为 Γ(θ)=exp⁡(−iπA⋅σ/2)\Gamma(\theta) = \exp(-i\pi A\cdot\sigma/2)Γ(θ)=exp(−iπA⋅σ/2) 刚好使得 n(k)n(k)n(k) 绕 A 半圈。它使得 HeffH_{eff}Heff 具有chiral对称性，它使得HeffH_{eff}Heff 的本征态总是成对出现的，它们的能量为 {E,−E}\{E,-E\}{E,−E}，即：
Γ−1HeffΓ=−HeffHeff∣ψ⟩=E∣ψ⟩Heff(Γ∣ψ⟩)=−E(Γ∣ψ⟩)\begin{aligned} \Gamma^{-1}H_{eff}\Gamma &= -H_{eff} \\ H_{eff}|\psi\rangle &= E |\psi\rangle \\ H_{eff}(\Gamma|\psi\rangle) &= -E(\Gamma|\psi\rangle) \end{aligned} Γ−1HeffΓHeff∣ψ⟩Heff(Γ∣ψ⟩)=−Heff=E∣ψ⟩=−E(Γ∣ψ⟩)

但是在特殊情况下上述两个态会出现兼并的情况，即 E=−EE=-EE=−E，此时 E=0E=0E=0 或 E=πE=\piE=π. 但是这种情况并不是总会出现。当 θ=0\theta=0θ=0 时，在 k=0k=0k=0 处有E=0E=0E=0，在 k=±πk=\pm\pik=±π 处有 E=±πE=\pm\piE=±π。当 θ=±π\theta = \pm \piθ=±π 时，在 k=0k=0k=0 处有 E=±πE=\pm \piE=±π，在 k=±πk=\pm \pik=±π 处有 E=0E=0E=0.

3. 一维量子随机行走之分离步骤随机行走

以绕数作为区分不同相的拓扑数，传统的量子行走只有 W=1W=1W=1 的情形，不存在相变。因此提出了分离步骤随机行走，它能够产生二个相 W=0W=0W=0 和 W=1W=1W=1. 这里的0相是指，k的变化不能使n正好绕A一圈，而是不到1圈。而1相为刚好1圈。分离步骤随机行走是将原先的T算符，替换成了向右移动和向左移动的算符，并在中间加入了新的银币算符。
T↑=∑x∣x+1⟩⟨x∣⊗Π↑+I⊗Π↓T↓=∑xI⊗Π↑+∣x−1⟩⟨x∣⊗Π↓\begin{aligned} T_{\uparrow} = \sum_x |x+1\rangle\langle x|\otimes\Pi_\uparrow+I\otimes \Pi_\downarrow\\ T_{\downarrow} = \sum_x I\otimes \Pi_\uparrow+|x-1\rangle\langle x|\otimes\Pi_\downarrow \end{aligned} T↑=x∑∣x+1⟩⟨x∣⊗Π↑+I⊗Π↓T↓=x∑I⊗Π↑+∣x−1⟩⟨x∣⊗Π↓
此时，态的一次演化为：U=T↓S(θ2)T↑S(θ1)=exp⁡(−iHeff)U=T_{\downarrow}S(\theta_2)T_{\uparrow}S(\theta_1)=\exp(-iH_{eff})U=T↓S(θ2)T↑S(θ1)=exp(−iHeff) 有趣的是，有效哈密顿量的形式并没有变化，没有变化的还有矢量A⃗\vec{A}A. 变化的只有准能量 E(k)E(k)E(k) 和矢量 n⃗(k)\vec{n}(k)n(k) 的表达式。
Heff=∫dk∣k⟩⟨k∣E(k)n⃗(k)⋅σ⃗cos⁡E(k)=cos⁡θ12cos⁡θ22cos⁡k−sin⁡θ12sin⁡θ22nx=sin⁡θ12cos⁡θ22sin⁡k/sin⁡E(k)ny=(sin⁡θ22cos⁡θ12+cos⁡θ22sin⁡θ12cos⁡k)/sin⁡E(k)nz=−cos⁡θ22cos⁡θ12sin⁡k/sin⁡E(k)n⃗(k)⊥A=(cos⁡θ12,0,sin⁡θ12)\begin{aligned} H_{eff} &= \int dk |k\rangle\langle k|\ E(k)\vec{n}(k)\cdot \vec{\sigma} \\ \cos E(k) &= \cos\frac{\theta_1}{2}\cos\frac{\theta_2}{2}\cos k-\sin\frac{\theta_1}{2}\sin\frac{\theta_2}{2}\\ n_x &= \sin\frac{\theta_1}{2}\cos\frac{\theta_2}{2}\sin k/\sin E(k)\\ n_y & = (\sin\frac{\theta_2}{2}\cos\frac{\theta_1}{2}+\cos\frac{\theta_2}{2}\sin\frac{\theta_1}{2}\cos k)/\sin E(k)\\ n_z &= -\cos\frac{\theta_2}{2}\cos\frac{\theta_1}{2}\sin k/\sin E(k)\\ \vec{n}(k)\perp A &= (\cos\frac{\theta_1}{2},0,\sin\frac{\theta_1}{2}) \end{aligned} HeffcosE(k)nxnynzn(k)⊥A=∫dk∣k⟩⟨k∣ E(k)n(k)⋅σ=cos2θ1cos2θ2cosk−sin2θ1sin2θ2=sin2θ1cos2θ2sink/sinE(k)=(sin2θ2cos2θ1+cos2θ2sin2θ1cosk)/sinE(k)=−cos2θ2cos2θ1sink/sinE(k)=(cos2θ1,0,sin2θ1)
这时候 n⃗(k)\vec{n}(k)n(k) 有两个参数 θ1\theta_1θ1 和 θ2\theta_2θ2，矢量A只与 θ1\theta_1θ1 有关。可以计算得到当 ∣tan⁡θ22/tan⁡θ12∣<1|\tan\frac{\theta_2}{2}/\tan\frac{\theta_1}{2}|<1∣tan2θ2/tan2θ1∣<1 时绕数才为1，否则，绕数为0. 因此可以绘制相图如下。实线表示的是 E=0E=0E=0，虚线表示的是 E=πE=\piE=π.

值得注意的是，在不同相的转换中，只有那些使满足chiral对称性的两个态重合的态才是处在相边缘的态。如图所示。因此，我们可以调整 θ2\theta_2θ2 使得它们对应的相突变。那么在 θ2\theta_2θ2 突变的位置产生的态就是相的边缘态。因此我们可以通过在位置上去调整θ2\theta_2θ2，则在该位置上可以筛选出相的边沿态。理论上，该态的产生与初始态的选择无关。但是选择合适的初始态可以提高出现边沿态的概率。在如上所描述的情况中，如果初态是 ∣0⟩|0\rangle∣0⟩，它与边沿态有重叠。因此，最后在x=0x=0x=0处，仍然可以以较大的概率探测到粒子。在传统情形中一般是很难在原点再探测到粒子的，但是存在边沿态的情况下则可以在原点探测到粒子。因此可以利用是否能在原地探测到粒子去检测是否存在边沿态。下图所示的例子是取 θ1=−π/2\theta_1=-\pi/2θ1=−π/2，θ2−=3π/4\theta_{2-}=3\pi/4θ2−=3π/4，θ2+=π/4\theta_{2+}=\pi/4θ2+=π/4.
θ2(x)=12(θ2−+θ2+)+12(θ2+−θ2−)tanh⁡(x/3)\theta_2(x) = \frac{1}{2}(\theta_{2-}+\theta_{2+})+\frac{1}{2}(\theta_{2+}-\theta_{2-})\tanh(x/3) θ2(x)=21(θ2−+θ2+)+21(θ2+−θ2−)tanh(x/3)

4. 参考文献

Kitagawa, Takuya. “Topological phenomena in quantum walks: elementary introduction to the physics of topological phases.” Quantum Information Processing 11.5 (2012): 1107-1148.
Kitagawa, Takuya, et al. “Exploring topological phases with quantum walks.” Physical Review A 82.3 (2010): 033429.
Venegas-Andraca, Salvador Elías. “Quantum walks: a comprehensive review.” Quantum Information Processing 11.5 (2012): 1015-1106.
Kempe, Julia. “Quantum random walks: an introductory overview.” Contemporary Physics 44.4 (2003): 307-327.