Tightly Coupled LiDAR Inertial Odometry and Mapping源码解析（二）
Tightly Coupled LiDAR Inertial Odometry and Mapping源码解析（二）
- 3. Joint optimization
- 3.1 Marginalization
- 3.1.1 什么是Marginalization
- 3.1.2 Basics of Multi-variate Gauss Distribution
- 3.1.3 Marginalization in covariance and information form
- 3.1.4 Schur Complement
3. Joint optimization
在上一个博客中，我们分别介绍了IMU预积分，LiDAR Relative Measurements，接下来就是非常重要优化环节了，优化过后才可以获得里程计计算结果。在这篇论文中，优化的目标函数主要由三部分构成：marginalization factor， imu-preintegration，以及LiDAR relative measurements，我们首先来看第一个marginalization factor。
3.1 Marginalization
3.1.1 什么是Marginalization
在上一博客中，我们已经知道该篇论文中引入了一个滑窗(Sliding Window)，来限制待优化的状态向量数量。如下图所示，我们考虑这样一种情景，假设当前时刻窗口内的优化变量为x1,x2,...,x6x_1,x_2,...,x_6x1,x2,...,x6，且已经对里程计中的目标函数完成了优化，也就是相当于拟合出来了一个概率分布p(x1,x2,...,x6)p(x_1,x_2,...,x_6)p(x1,x2,...,x6)，即多维高斯分布对应的均值μ\muμ和协方差矩阵KKK。此时在下一个优化时刻到来之前，我们需要将窗口往后移动一个格子，即开始优化此时窗口内的优化变量x2,x3,...,x7x_2,x_3,...,x_7x2,x3,...,x7，这种过程会贯穿整个估计过程，直至算法停止运行。那么一个明显的问题是，我们在优化拟合出来p(x2,x3,...,x7)p(x_2,x_3,...,x_7)p(x2,x3,...,x7)之前，该怎样处理概率分布p(x1,x2,...,x6)p(x_1,x_2,...,x_6)p(x1,x2,...,x6)呢？
为了更形象的说明这个问题，我们来假设这样一种情景。小明开车想从中国科学技术大学到之心城买件衣服，怕迷路，想时刻估计一下自己到哪了，因此搞了个滑窗，利用gps，轮速计来分析自己当前和过往几个时刻自己开车到哪了。通过各种融合算法，发现自己x1,x2,...,x6x_1,x_2,...,x_6x1,x2,...,x6时的位置分布为p(x1,x2,...,x6)p(x_1,x_2,...,x_6)p(x1,x2,...,x6)发现自己原来刚出东门。然后接着往前开啊，现在滑窗内的状态就是x2,x3,...,x7x_2,x_3,...,x_7x2,x3,...,x7了。那么如何估计我x2,x3,...,x7x_2,x_3,...,x_7x2,x3,...,x7时刻的位置呢？
一种方法就是继续像上一时刻那样用自身的gps和轮速计等融合p(x2,x3,...,x7)p(x_2,x_3,...,x_7)p(x2,x3,...,x7)，也就是说我才不管你x1,x2,x3,...,x6x_1,x_2,x_3,...,x_6x1,x2,x3,...,x6时在哪，我只关心p(x2,x3,...,x7)p(x_2,x_3,...,x_7)p(x2,x3,...,x7)，计算完发现我去怎么还在东门附近？不是刚路过了吗？是不是算错了？
这时，聪明的副驾驶提醒你，哎这孩子读书读傻了，笨不笨，明明(x1,x2,...,x6)(x_1,x_2,...,x_6)(x1,x2,...,x6)时刻都到p(x1,x2,...,x6)p(x_1,x_2,...,x_6)p(x1,x2,...,x6)了，你咋还给忘了？你这不是黑瞎子掰玉米掰一个扔一个吗？把p(x2,...,x6)p(x_2,...,x_6)p(x2,...,x6)也就是我们刚刚路过东门这个消息加到你的那个什么融合算法里，再算一算我们现在到哪了？小明这才计算出来原来已经到东门前的十字路口了。
这个例子说明，在更新计算p(x2,x3,...,x7)p(x_2,x_3,...,x_7)p(x2,x3,...,x7)时，总共有两种方法，第一种是直接丢掉之前窗口内拟合的分布p(x1,x2,...,x6)p(x_1,x_2,...,x_6)p(x1,x2,...,x6)，重新计算估计p(x2,x3,...,x7)p(x_2,x_3,...,x_7)p(x2,x3,...,x7)。但是这种方法有一个比较重要的缺陷就是信息损失，可能p(x2,x3,...,x6)p(x_2,x_3,...,x_6)p(x2,x3,...,x6)内的估计非常准确，而你却把这么重要的信息给直接扔了，这不是败家吗你说？第二种方法就是将p(x1,x2,...,x6)p(x_1,x_2,...,x_6)p(x1,x2,...,x6)中的p(x2,x3,...,x6)p(x_2,x_3,...,x_6)p(x2,x3,...,x6)计算出来，并将p(x2,x3,...,x6)p(x_2,x_3,...,x_6)p(x2,x3,...,x6)作为先验信息加入到新窗口的估计中。那么问题来了，怎样根据p(x1,x2,...,x6)p(x_1,x_2,...,x_6)p(x1,x2,...,x6)计算p(x2,x3,...,x6)p(x_2,x_3,...,x_6)p(x2,x3,...,x6)呢？这个过程就叫做Marginalization。下图能比较清晰严谨的说明这个问题，数理基础比较好的话也能想到我们好像学过这个公式：p(xa)=∫xbp(xa,xb)p(x_a)=\int_{x_b}p(x_a,x_b)p(xa)=∫xbp(xa,xb)。接下来我们从数学的角度严谨的说明一下Marginalization。
3.1.2 Basics of Multi-variate Gauss Distribution
如下图所示，假设有一个系统长这个样子，其中y2y_2y2表示的是室外的温度，y1y_1y1表示的是房间1的温度，y3y_3y3表示的是房间3的温度，且他们之间的函数关系表示为：
{y2=v2y1=w1y2+v1y3=w3y2+v3vi−N(0,σi2)，高斯噪声\begin{cases} y_2=v_2\\ y_1=w_1y_2+v_1\\ y_3=w_3y_2+v_3\\ v_i-N(0,\sigma_i^2)，高斯噪声 \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧y2=v2y1=w1y2+v1y3=w3y2+v3vi−N(0,σi2)，高斯噪声
则状态向量y=[y1,y2,y3]Ty=[y_1,y_2,y_3]^Ty=[y1,y2,y3]T对应的协防差矩阵KKK为：
K11=E(y1y1)=w12σ22+σ12,K22=E(y2y2)=σ22,K33=E(y3y3)=w32σ22+σ32K12=K21=E(y1y2)=w12σ22,K13=K31=w1w3σ22,K23=K32=w3σ22K_{11}=E(y_1y_1)=w_1^2\sigma_2^2+\sigma_1^2,K_{22}=E(y_2y_2)=\sigma_2^2,K_{33}=E(y_3y_3)=w_3^2\sigma_2^2+\sigma_3^2 \\ K_{12}=K_{21}=E(y_1y_2)=w_1^2\sigma_2^2,K_{13}=K_{31}=w_1w_3\sigma_2^2,K_{23}=K_{32}=w_3\sigma_2^2 K11=E(y1y1)=w12σ22+σ12,K22=E(y2y2)=σ22,K33=E(y3y3)=w32σ22+σ32K12=K21=E(y1y2)=w12σ22,K13=K31=w1w3σ22,K23=K32=w3σ22
即：
K=(w12σ22+σ12w1σ22w1w3σ22w1σ22σ22w3σ22w1w3σ22w3σ22w32σ22+σ32)K= \left( \begin{matrix} w_1^2\sigma_2^2+\sigma_1^2 & w_1\sigma_2^2 & w_1w_3\sigma_2^2\\ w_1\sigma_2^2 & \sigma_2^2 & w_3\sigma_2^2\\ w_1w_3\sigma_2^2 & w_3\sigma_2^2 & w_3^2\sigma_2^2+\sigma_3^2 \end{matrix} \right) K=⎝⎛w12σ22+σ12w1σ22w1w3σ22w1σ22σ22w3σ22w1w3σ22w3σ22w32σ22+σ32⎠⎞
现在知道了该向量对应的协方差矩阵，只需要求解其逆矩阵就可以得到信息矩阵。不过直接求解其逆矩阵还是比较麻烦的，因此我们按照如下的方法求解。我们首先需要求解对应的联合概率分布，则根据贝叶斯公式可以得到：
p(y1,y2,y3)=p(y1,y3∣y2)p(y2)=p(y1∣y3,y2)p(y3∣y2)p(y2)p(y_1,y_2,y_3)=p(y_1,y_3|y_2)p(y_2)=p(y_1|y_3,y_2)p(y_3|y_2)p(y_2)p(y1,y2,y3)=p(y1,y3∣y2)p(y2)=p(y1∣y3,y2)p(y3∣y2)p(y2)
而由前面之间的关系我们知道，y1y_1y1是不依赖于y3y_3y3的，因此p(y1∣y3,y2)=p(y1∣y2)p(y_1|y_3,y_2)=p(y_1|y_2)p(y1∣y3,y2)=p(y1∣y2)，因此上式可以化简为：
p(y1,y2,y3)=p(y1∣y2)p(y3∣y2)p(y2)p(y_1,y_2,y_3)=p(y_1|y_2)p(y_3|y_2)p(y_2)p(y1,y2,y3)=p(y1∣y2)p(y3∣y2)p(y2)
p(y2)=1Z2e−y222σ22p(y_2)=\frac{1}{Z_2}e^{-\frac{y_2^2}{2\sigma_2^2}}p(y2)=Z21e−2σ22y22
p(y1∣y2)=1Z1e−(y1−w1y2)22σ12p(y_1|y_2)=\frac{1}{Z_1}e^{-\frac{(y_1-w_1y_2)^2}{2\sigma_1^2}}p(y1∣y2)=Z11e−2σ12(y1−w1y2)2
p(y3∣y2)=1Z3e−(y3−w3y2)22σ32p(y_3|y_2)=\frac{1}{Z_3}e^{-\frac{(y_3-w_3y_2)^2}{2\sigma_3^2}}p(y3∣y2)=Z31e−2σ32(y3−w3y2)2
p(y1,y2,y3)=1Z′exp(−12(y22σ22+(y1−w1y2)2σ12+(y3−w3y2)2σ32))p(y_1,y_2,y_3)=\frac{1}{Z'}exp(-\frac{1}{2}(\frac{y_2^2}{\sigma_2^2}+\frac{(y_1-w_1y_2)^2}{\sigma_1^2}+\frac{(y_3-w_3y_2)^2}{\sigma_3^2}))p(y1,y2,y3)=Z′1exp(−21(σ22y22+σ12(y1−w1y2)2+σ32(y3−w3y2)2))
写成信息矩阵的形式既可以写为:
p(y1,y2,y3)=1Z′exp(−12[y1y2y3][1σ12−w1σ120−w1σ121σ22+w12σ12+w32σ32−w3σ320−w3σ321σ32][y1y2y3])p(y_1,y_2,y_3)=\frac{1}{Z'}exp(-\frac{1}{2}\left[\begin{matrix}y_1 & y_2 & y_3\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}\frac{1}{\sigma_1^2} & -\frac{w_1}{\sigma_1^2} & 0\\-\frac{w_1}{\sigma_1^2} & \frac{1}{\sigma_2^2}+\frac{w_1^2}{\sigma_1^2}+\frac{w_3^2}{\sigma_3^2} & -\frac{w_3}{\sigma_3^2}\\0 & -\frac{w_3}{\sigma_3^2} & \frac{1}{\sigma_3^2}\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}y_1 \\ y_2\\ y_3\end{matrix}\right])p(y1,y2,y3)=Z′1exp(−21[y1y2y3]⎣⎢⎡σ121−σ12w10−σ12w1σ221+σ12w12+σ32w32−σ32w30−σ32w3σ321⎦⎥⎤⎣⎡y1y2y3⎦⎤)
Ω=[1σ12−w1σ120−w1σ121σ22+w12σ12+w32σ32−w3σ320−w3σ321σ32]\Omega=\left[\begin{matrix}\frac{1}{\sigma_1^2} & -\frac{w_1}{\sigma_1^2} & 0\\-\frac{w_1}{\sigma_1^2} & \frac{1}{\sigma_2^2}+\frac{w_1^2}{\sigma_1^2}+\frac{w_3^2}{\sigma_3^2} & -\frac{w_3}{\sigma_3^2}\\0 & -\frac{w_3}{\sigma_3^2} & \frac{1}{\sigma_3^2}\end{matrix}\right] Ω=⎣⎢⎡σ121−σ12w10−σ12w1σ221+σ12w12+σ32w32−σ32w30−σ32w3σ321⎦⎥⎤
3.1.3 Marginalization in covariance and information form
对于3.1.2中的系统，现在我们想marginalize out状态变量y3y_3y3，也就是说现在的状态向量变为y‘=[y1,y2]Ty‘=[y_1,y_2]^Ty‘=[y1,y2]T，则该状态向量对应的协方差矩阵为：
K′=[w12σ22+σ12w1σ22w1σ22σ22]K'=\left[ \begin{matrix} w_1^2\sigma_2^2+\sigma_1^2 & w_1\sigma_2^2\\ w_1\sigma_2^2 & \sigma_2^2 \end{matrix} \right] K′=[w12σ22+σ12w1σ22w1σ22σ22]
从K′K'K′和KKK的对比中我们可以发现，在marginalize out y3y_3y3后，新的状态变量对应的协方差矩阵K′K'K′不过是将原来的协方差矩阵KKK的第3行和第3列删掉，那么信息矩阵是不是也是这样呢？我们一起来推导一下。
p(y1,y2)=p(y1∣y2)p(y2)=1Z′exp(−12(y22σ22+(y1−w1y2)2σ12))=1Z′exp(−12[y1y2][1σ12−w1σ12−w1σ121σ22+w12σ12][y1y2])p(y_1,y_2)=p(y_1|y_2)p(y_2)=\frac{1}{Z'}exp(-\frac{1}{2}(\frac{y_2^2}{\sigma_2^2}+\frac{(y_1-w_1y_2)^2}{\sigma_1^2}))\\=\frac{1}{Z'}exp(-\frac{1}{2}\left[ \begin{matrix}y_1 & y_2\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} \frac{1}{\sigma_1^2} & -\frac{w_1}{\sigma_1^2}\\ -\frac{w_1}{\sigma_1^2} & \frac{1}{\sigma_2^2}+\frac{w_1^2}{\sigma_1^2} \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}y_1 \\ y_2\end{matrix} \right]) p(y1,y2)=p(y1∣y2)p(y2)=Z′1exp(−21(σ22y22+σ12(y1−w1y2)2))=Z′1exp(−21[y1y2][σ121−σ12w1−σ12w1σ221+σ12w12][y1y2])
也就是说:
Ω′=[1σ12−w1σ12−w1σ121σ22+w12σ12]\Omega'=\left[ \begin{matrix} \frac{1}{\sigma_1^2} & -\frac{w_1}{\sigma_1^2}\\ -\frac{w_1}{\sigma_1^2} & \frac{1}{\sigma_2^2}+\frac{w_1^2}{\sigma_1^2} \end{matrix} \right] Ω′=[σ121−σ12w1−σ12w1σ221+σ12w12]
发现，咦，信息矩阵好像不像协方差矩阵那样直接把y3y_3y3对应的第3行和第3列去掉就可以了。也就是说对于一般情况来讲，假如一个状态向量为x=[aT,bT]Tx=[a^T,b^T]^Tx=[aT,bT]T，如果我们想marginalize out状态向量bbb，那么对于协方差矩阵仅需要将状态向量bbb对应的行和列删除就可以。可是信息矩阵不行啊，这怎么办呢？这时候就需要Schur Complement了。skir~~ skir~~
3.1.4 Schur Complement
为不失一般性，咱这次就不拿前两节中那个温度模型说事儿了。现在假设状态变量为x=[aT,bT]Tx=[a^T,b^T]^Tx=[aT,bT]T，其对应的协防差矩阵为：
K=[ACTCD]K=\left[ \begin{matrix} A & C^T\\ C & D \end{matrix} \right] K=[ACCTD]
其中，AAA和DDD为可逆方阵。
记其信息矩阵为Λ\LambdaΛ：
Λ=[ΛaaΛabΛbaΛbb]\Lambda = \left[ \begin{matrix} \Lambda_{aa} & \Lambda_{ab}\\ \Lambda_{ba} & \Lambda_{bb} \end{matrix} \right] Λ=[ΛaaΛbaΛabΛbb]
假设状态变量xxx满足多维高斯分布，则有下式：
p(x)=p0exp(−12E)p(x)=p_0exp(-\frac{1}{2}E) p(x)=p0exp(−21E)
E=[xaT,xbT]Λ[xaxb]=[xaT,xbT][ΛaaΛabΛbaΛbb][xaxb]\begin{matrix} E =\left[x_a^T,x_b^T\right]\Lambda\left[\begin{matrix}x_a\\x_b\end{matrix}\right]\\ = \left[x_a^T,x_b^T\right]\left[\begin{matrix}\Lambda_{aa}&\Lambda_{ab}\\\Lambda_{ba}&\Lambda_{bb}\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x_a\\x_b\end{matrix}\right] \end{matrix} E=[xaT,xbT]Λ[xaxb]=[xaT,xbT][ΛaaΛbaΛabΛbb][xaxb]
将上式打开就可以得到下式：
E=xaTΛaaxa+2xbTΛbaxa+xbTΛbbxbE=x_a^T\Lambda_{aa}x_a+2x_b^T\Lambda_{ba}x_a+x_b^T\Lambda_{bb}x_b E=xaTΛaaxa+2xbTΛbaxa+xbTΛbbxb
容易发现上式就是一个二次型，比较遗憾的是存在一个xbx_bxb和xax_axa的交叉项。为了分离变量，就需要用到我们线性代数中学过的配方法求标准二次型问题了。考虑到这个东西可能离大家比较久远，我们首先来简单回顾一下这种方法，简单来说就比如说一个函数Q(x1,x2)=x12+x22+3x1x2Q(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2+3x_1x_2Q(x1,x2)=x12+x22+3x1x2，写成矩阵的形式就是:
Q(x1,x2)=[x1,x2][1301][x1x2]Q(x_1,x_2)=\left[x_1,x_2\right]\left[\begin{matrix}1&3\\0&1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x_1\\x_2\end{matrix}\right] Q(x1,x2)=[x1,x2][1031][x1x2]
我们说这个东西不是标准二次型就是因为中间的矩阵不是对角阵，右上角有一个比较烦人的数字3.那么怎么能把这个3搞没呢，这里就可以无脑用配方法啦。可以把Q函数改写成:
Q(x1,x2)=(x1+32x2)2−54x22Q(x_1,x_2)=(x_1+\frac{3}{2}x_2)^2-\frac{5}{4}x_2^2 Q(x1,x2)=(x1+23x2)2−45x22
如果另y1=x1+1.5×x2,y2=x2y_1=x_1+1.5\times x_2,y_2=x_2y1=x1+1.5×x2,y2=x2，然后上式就可以改写成：Q(y1,y2)=y12−1.25y22Q(y_1,y_2)=y_1^2-1.25y_2^2Q(y1,y2)=y12−1.25y22，也就是标准二次型的形式。
按照这种方法我们对EEE进行标准化则可以得到：
E=(xb+Λbb−1Λbaxa)TΛbb(xb+Λbb−1Λbaxa)+xaT(Λaa−ΛbaTΛbb−1Λba)xaE=(x_b+\Lambda_{bb}^{-1}\Lambda_{ba}x_a)^T\Lambda_{bb}(x_b+\Lambda_{bb}^{-1}\Lambda_{ba}x_a)+x_a^T(\Lambda_{aa}-\Lambda_{ba}^T\Lambda_{bb}^{-1}\Lambda_{ba})x_a E=(xb+Λbb−1Λbaxa)TΛbb(xb+Λbb−1Λbaxa)+xaT(Λaa−ΛbaTΛbb−1Λba)xa
所谓的Λaa−ΛbaTΛbb−1Λba\Lambda_{aa}-\Lambda_{ba}^T\Lambda_{bb}^{-1}\Lambda_{ba}Λaa−ΛbaTΛbb−1Λba，也就是我们经常在论文里面看到的Schur Complements了，将会给基于信心矩阵的边缘化带来极大方便。对化简后的概率分布求积分p(xa)=∫p(xa,xb)dxbp(x_a)=\int p(x_a,x_b)dx_bp(xa)=∫p(xa,xb)dxb就可以得到去掉xbx_bxb后的边缘分布啦，其信息矩阵就是这个schur complement。关于这部分的详细推导建议大家看这篇论文里面的定理1：
Manipulating the Multivariate Gaussian Density。
好了这篇博客就先到这里了，我们下篇博客见。
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