在上一篇文章中，我们简略介绍了与时间序列相关的应用，这次我们聚焦于时间序列的预测，讲讲与之相关的那些事。

1. 效果评估

设 y 是时间序列的真实值， yhat 是模型的预测值。在分类模型中由于y是离散的，有很多维度可以去刻画预测的效果。但现在的y是连续的，工具一下子就少了很多。时间序列里比较常用的是 MAPE(mean absolute percentage error) 和 RMSE (root mean square error)

\[MAPE = \frac{100\%}{n} \sum_{i=1}^{n} \big|\frac{y-yhat}{y}\big|

\]

\[RMSE = \sqrt{\frac{\sum(y-yhat)^2}{n}}

\]

个人比较喜欢MAPE，适合汇报，它揭示了预测值在真实值基础上的波动范围。比如，MAPE=10%，其代表着预测值的范围大致是 0.9y 至 1.1y

这两个指标或多或少都会有一些缺点，因此也有了各种变体,比如SMAPE, NRMSE等，感兴趣的可以自己去Wiki看看。

\[SMAPE = \frac{200\%}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{|y-yhat|}{|y|+|yhat|}

\]

2. 交叉验证

因为时间序列的样本之间是无法交换的，所以没办法随机的像 KFold 一样把数据集切分成若干份训练集和测试集。但没关系，方法还是有的。

一个比较好的思路是按照时间顺序设置 cutoff time T_c :

这里有三个参数：

horizon: 模型预测的范围，如从cutoff点开始数未来30天

period: 每两个 cutoff 点之间的间隔，如60天

initial: 用于训练的日期范围，如730天

假设我们有2015-01-01 至 2017-12-31 共三年的数据。且三个参数的值如下： horizon=30,period=120,initial=730,则我们有

\[K=\text{floor} \big(\frac{365*3 - initial -period}{period}\big) = 5

\]

5组训练集和测试集。

有了交叉验证，我们就能获得评估模型效果和进行超参数优化了.

3. 时间序列预测模型

时间序列的预测有很多方法，本文不准备罗列的很细致，只展示三种模型：ARIMA,PROPHET,ETS,且都只用默认参数。在之后的一篇文章中，我会详细讲讲prophet的应用。

时间序列的预测模型，不好说一个模型绝对的好，跟数据集的类型有很大关系。根据更新的频率，可以分为Tick数据(小于1s,金融中的高频交易)、分钟数据、日数据、月数据等；根据波动情况，可以分为平稳序列和对日期/事件敏感的季节性序列等。一般数据的颗粒度越小，预测效果越差，因为随机性太大了，想通过模型来预测

我找了一个对季节和节假日敏感的日数据来测试这几个模型，时间范围是5.3年。可以看到数据有一个整体的趋势，也有季节性趋势，还有那些尖峰对应的节假日/事件影响。

3.1 ARIMA 模型

在讲ARIMA模型之前得先熟悉ARMA模型(autoregressive moving average model)

ARMA 模型是经典的预测模型，有着成熟的理论基础，但条件也比较严格，就是要求时间序列是平稳的。这里讲的平稳性条件(一般指弱平稳)是指时间序列的均值与时间无关和方差仅与时间差有关。

在ARMA模型中，时序可以由如下方程表示：

\[Y_t = c+\varepsilon_{t}+\sum_{i=1}^{p}\alpha_iY_{t-i} + \sum_{i=1}^{q}\theta_{i}\varepsilon_{t-i}

\]

其中 \epsilon 是高斯白噪声序列。

可以从线性系统的角度去看ARMA 模型，已证明其是一个离散线性时不变系统，系统的输入是高斯白噪声序列(标准的平稳序列)，输出是我们需要的时序y。此时上述式子可以写为

\[(1-\sum_{i=1}^{p} \alpha_i L^i)Y_t =(1+\sum_{i=1}^{q} \theta_i L^i )\varepsilon_t

\]

其中 L 是单位平移算子(lag operator).

有定理指出，对于一个离散线性平移不变系统而言，当输入是平稳序列时，可以证明输出也是平稳的，且输入序列和输出序列是平稳相关的。(这里面的东西还比较复杂，本科学的，现在已经忘了差不多了，感兴趣的同学可以自己去看看线性系统的理论)

商业中的数据大都不满足平稳性条件的，为了解决这个问题，所以就衍生了ARIMA 模型，中间的字母I代表的是差分。通过一些差分/季节性差分操作，我们能消除掉大部分趋势，使得原有不平稳的序列变得平稳(当然也不绝对，一般需要在差分后作平稳性检验)。

这里我设置交叉验证的参数如下：horizon,initial,period=30,1500,30 , 并生成12组训练集和测试集用来评估模型效果。

import pandas as pd

import numpy as np

from pyecharts import Bar

from pyecharts import Line

import matplotlib.pyplot as plt

import seaborn as sns

sns.set()

%matplotlib inline

from pyramid.arima import auto_arima

from fbprophet import Prophet

import ts_model_selection ##自己写的轮子，还没整理好，之后会放出来

df=pd.read_excel('.\\data\\tehr.xlsx')

df['ds']=pd.to_datetime(df['ds'])

df['logy']=np.log(df['y'])

horizon,initial,period=30,1500,30

df_train_list,df_test_list=ts_model_selection.train_test_split(\

df,horizon='{} days'.format(horizon),initial='{} days'.format(initial),period='{} days'.format(period))

# 记录各个模型的分数

result={} #method,mape,cv

arima 有很多需要调参的地方，如p(AR),d(差分),q(MA)等。在 statsmodels 包中就有很多 ARIMA 相关的函数，但遗憾都需要手动调参。无奈找了一个仿照R中auto.arima写的包，还不错，名字是 pyramid-arima。接下来我们就用它来预测。

forecasts=pd.DataFrame(columns=['y','yhat','k'])

for k in range(len(df_train_list)):

#print(k)

df_train,df_test=df_train_list[k],df_test_list[k]

stepwise_fit = auto_arima(df_train['y'],seasonal=True,trace=False,error_action='ignore',suppress_warnings=True,stepwise=True)

yhat = stepwise_fit.predict(n_periods=horizon)

y=np.array(df_test['y'])

forecasts=pd.concat([forecasts,pd.DataFrame({'y':y,'yhat':yhat,'k':k})],axis=0)

result['auto.arima']={}

result['auto.arima']['mape']=np.mean(np.abs((forecasts['y']-forecasts['yhat'])/forecasts['y']))## 0.285

result['auto.arima']['rmse']=np.sqrt(np.sum((forecasts['y']-forecasts['yhat'])**2)/len(forecasts['y'])) ## 166943

print(result['auto.arima'])

forecasts_arima=forecasts.copy()#备份用

看了下，模型的MAPE是 0.285 ，RMSE 高达166943. 可能是由于数据过长，再加上没有调参，所以导致严重过拟合了。我也不打算深究了，感兴趣的可以细致的调一下。

3.2 Prophet 模型

facebook 在设计 prophet 之初，综合考虑了与时序预测相关的主要因素，具体包含：

季节性趋势，具体包含 yearly、weekly等

节假日和特殊事件的影响

changepoint

outlier

所以在商业上的应用场景会比较广，据说对于日数据的效果还不错。从大框架上讲，其是一个加法模型(经过log处理也可以变成一个乘法模型)，一个时序会被分解为三部分之和

\[y(t) = g(t) +s(t) +h(t)+\varepsilon_t

\]

其中g(t)是趋势项， s(t) 是周期项，如 weekly 和 yearly 等，h(t)是节假日趋势

对于趋势项 g(t) 部分，可以由带changepoint的线性模型或者logistic growth (高中学的物种增长S型曲线？)模型来拟合：

\[\text{logistic:}\quad g(t)=\frac{C(t)}{1+exp(-k(t-m))}

\]

\[\text{linear:}\quad g(t)=kt+m

\]

其中 C 是carrying capacity，指明环境能容许的最大值，比如手机销售量最大也不会超过人口太多。k 是增长率。m是offset parameter。当加了changepoint 影响后，方程会有一些变化，具体可参见论文。

对于周期项 s(t) 部分，可以由Fourier series 来逼近

\[s(t)=\sum_{n=1}^{N}\big( a_{n}\cos(\frac{2\pi nt}{P}+b_{n}\sin(\frac{2\pi nt}{P})) \big)

\]

这里参数P的设置很有意思，facebook没有粗暴的直接用n，而是分别对yearly data，weekly data等作拟合。例如当P=7时， 序列 s(t) 的周期有 {7/n}

对于 节假日/事件 项 h(t) 部分，可以由示性函数来逼近

\[h(t)=Z(t)\cdot\boldsymbol{\kappa}=[\boldsymbol{1}(t\in D_1),\cdots,\boldsymbol{1}(t \in D_{L})]\cdot \boldsymbol{\kappa}

\]

其中 D_i 是指节假日i的日期集合，Z(t) 是一个矩阵，\kappa 是一个正态分布，拟合每一个节假日的影响程度

prophet 有很多参数可调，这里我们先都用默认的。

forecasts=pd.DataFrame(columns=['y','yhat','k'])

horizon,initial,period=30,1500,30

df_train_list,df_test_list=ts_model_selection.train_test_split(\

df,horizon='{} days'.format(horizon),initial='{} days'.format(initial),period='{} days'.format(period))

for k in range(len(df_train_list)):

df_train,df_test=df_train_list[k],df_test_list[k]

m=Prophet()

m.fit(df_train[['ds','logy']].rename(columns={'logy':'y'}))

yhat=np.array(m.predict(df_test[['ds']])['yhat'])

y=np.array(df_test['logy'])

y,yhat=np.exp(y),np.exp(yhat)

forecasts=pd.concat([forecasts,pd.DataFrame({'y':y,'yhat':yhat,'k':k})],axis=0)

result['prophet']={}

result['prophet']['mape']=np.mean(np.abs((forecasts['y']-forecasts['yhat'])/forecasts['y'])) #平均MAPE ,0.126

result['prophet']['rmse']=np.sqrt(np.sum((forecasts['y']-forecasts['yhat'])**2)/len(forecasts['y'])) ##137291

print(result['prophet'])

forecasts_prophet=forecasts.copy()#备份用

这里可以看到我把Y做了log化处理，这是因为log后，相当于把加法模型变成了乘法模型，对于我用的这份数据，乘法模型会更好一些。

可以看到模型的效果是 MAPE =0.13, RMSE=137293, 相比ARIMA要好很多了。

3.3 其他模型

除下上述两个，还有一些传统的可以用来预测时序的模型。本文就不再一一细讲，感兴趣的可以去看看R中的forecast包及其文档，介绍的很详细。

找了很久都没找到好的python包，所以这里提供一个在python中调用R中的ETS模型的code。

# 不保证这段代码能在任何环境中运行，需要大家自己去调

import os

os.environ['R_HOME'] = 'C:\Program Files\R\R-3.5.0'

os.environ['R_USER'] = 'C:\Anaconda3\Lib\site-packages\rpy2'

import rpy2.robjects as robjects

from rpy2.robjects.packages import importr

ts=robjects.r('ts')

# import R's "base" package

base = importr('base')

# import R's "utils" package

utils = importr('utils')

forecast=importr('forecast',lib_loc = "C:/Users/gason/Documents/R/win-library/3.5")

from rpy2.robjects import pandas2ri

pandas2ri.activate()

df_train=df_train_list[1].loc[:,['y']]

rdata=ts(df_train)

horizon,initial,period=30,1500,30

df_train_list,df_test_list=ts_model_selection.train_test_split(\

df,horizon='{} days'.format(horizon),initial='{} days'.format(initial),period='{} days'.format(period))

forecasts=pd.DataFrame(columns=['y','yhat','k'])

for k in range(len(df_train_list)):

#print(k)

df_train,df_test=df_train_list[k],df_test_list[k]

rdata=ts(df_train.loc[:,'y'])

yhat=forecast.forecast(forecast.ets(rdata),h=horizon)

yhat = np.asarray(yhat[1])

y=np.array(df_test['y'])

forecasts=pd.concat([forecasts,pd.DataFrame({'y':y,'yhat':yhat,'k':k})],axis=0)

result['ets']={}

result['ets']['mape']=np.mean(np.abs((forecasts['y']-forecasts['yhat'])/forecasts['y']))

result['ets']['rmse']=np.sqrt(np.sum((forecasts['y']-forecasts['yhat'])**2)/len(forecasts['y']))

print(result['ets'])

4. prphet 的调参

prophet 可调的参数有很多，个人比较比较调的有：

holidays: 需要注意的是，不是所有的节假日或时间都需要标记，以及windows的设置很考究；

growth: 可选 linear 模型或者 logistic模型。个人意见，数据长度不长的话，直接用linear就好

seasonality_prior_scale: 季节性趋势的强弱，默认为10

holidays_prior_scale: 节假日趋势的强弱，默认为10

changepoint_prior_scale:节changepoit的强弱，默认为0.05

对于分类模型，我们可以直接用sklearn的grid_search来调参，但对于时序，由于交叉验证的问题，我们没办法直接用。这里提供了一个函数供参考。

from fbprophet import Prophet

from fbprophet.diagnostics import cross_validation

from sklearn.model_selection import ParameterGrid

from sklearn.model_selection import ParameterSampler

def ts_evaluation(df,param,horizon=30,period=120,initial=1095,exp=True):

'''

利用交叉验证评估效果

'''

#param={'holidays':holidays,'growth':'linear','seasonality_prior_scale':50,'holidays_prior_scale':20}

m=Prophet(**param)

m.fit(df)

forecasts=m.predict(df[['ds']])

forecasts['y']=df['y']

df_cv = cross_validation(m, horizon='{} days'.format(horizon), period='{} days'.format(period), initial='{} days'.format(initial))

if exp:

df_cv['yhat']=np.exp(df_cv['yhat'])

df_cv['y']=np.exp(df_cv['y'])

mape=np.mean(np.abs((df_cv['y'] - df_cv['yhat']) / df_cv['y']))

rmse=np.sqrt(np.mean((df_cv['y'] - df_cv['yhat'])**2))

scores={'mape':mape,'rmse':rmse}

return scores

def ts_grid_search(df,holidays,param_grid=None,cv_param=None,RandomizedSearch=True,random_state=None):

'''网格搜索

时间序列需要特殊的交叉验证

df:

holidays: 需要实现调好

'''

df=df.copy()

if param_grid is None:

param_grid={'growth':['linear']

,'seasonality_prior_scale':np.round(np.logspace(0,2.2,10))

,'holidays_prior_scale':np.round(np.logspace(0,2.2,10))

,'changepoint_prior_scale':[0.005,0.01,0.02,0.03,0.05,0.008,0.10,0.13,0.16,0.2]

}

if RandomizedSearch:

param_list=list(ParameterSampler(param_grid,n_iter=10,random_state=random_state))

else:

param_list=list(ParameterGrid(param_grid))

if cv_param is None:

cv_param={'horizon':30,'period':120,'initial':1095}

scores=[]

for i,param in enumerate(param_list):

print('{}/{}:'.format(i,len(param_list)),param)

param.update({'holidays':holidays})

scores_tmp=ts_evaluation(df,param,exp=True,**cv_param)

param.pop('holidays')

tmp=param.copy()

tmp.update({'mape':scores_tmp['mape'],'rmse':scores_tmp['rmse']})

scores.append(tmp)

print('mape : {:.5f}%'.format(100*scores_tmp['mape']))

scores=pd.DataFrame(scores)

best_param_=scores.loc[scores['mape'].argmin(),:].to_dict()

best_scores_=best_param_['mape']

best_param_.pop('mape')

best_param_.pop('rmse')

return best_param_,best_scores_,scores

当然不是说上来直接暴力调参就好，我看了下，对于这份数据而言，changepoint_prior_scale 的影响最大，在一定范围内，越大效果越好。

下面附上我最后的效果。