八、串，数组和广义表
文章目录
- 1、串
- 1.1 串的类型定义，存储结构及运算
- 1.1.1 串的顺序存储结构
- 1.1.2 串的模式匹配算法
- 1.1.2.1 BF算法
- 1.1.2.2 KMP算法
- 2、数组
- 2.1 数组的抽象数据类型定义
- 2.2 数组的顺序存储结构
- 2.2.1 二维数组
- 2.2.2 三维数组
- 2.2.3 n维数组
- 2.3 特殊矩阵的压缩存储
- 2.3.1 对称矩阵
- 2.3.2 三角矩阵
- 2.3.3 对角矩阵
- 2.3.4 稀疏矩阵的存储
- 2.3.4.1 三元组法
- 2.3.4.2 十字链表法
- 3、 广义表
- 3.1 广义表的性质
- 3.2 广义表和线性表的区别
- 3.3 广义表的基本运算
- THE END
1、串
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \qquadd at position 1: \̲q̲q̲u̲a̲d̲d̲串(string)是零个或者多个任意字符组成的有限序列。
\qquad 子串：一个串中任意个连续字符组成的子序列(含空串)称为该串的子串。
\qquad 真子串：指不包含自身的所有子串。
\qquad 主串：包含子串的串相应地称为主串。
\qquad 字符位置：字符在序列中的序号为该字符在串中的位置。
\qquad 子串位置：子串第一个字符在主串中的位置。
\qquad 空格串：有一个或者多个空格组成的串，与空串不同。
\qquad 串相等：当且仅当两个串的长度相等，并且各个对应位置上的字符都相同时，这两个串才是相等的。所有的空串都是相等的。
\qquad 串的应用非常广泛，计算机上的非数值处理的对象大部分是字符串数据，例如：文字编辑，符号处理，各种信息处理系统等。字符串匹配等。
1.1 串的类型定义，存储结构及运算
\qquad 串的抽象数据类型定义如下所示：
\qquad 串中元素逻辑关系与线性表的相同，串可以采用与线性表相同的存储结构。串可以使用顺序存储结构或者链式存储结构来实现。
1.1.1 串的顺序存储结构
\qquad 串的顺序存储结构
#define MAXLEN 255
class SString
{char ch[MAXLEN+1]; //存储串的一维数组int length; //串的当前长度
};
\qquad 串的链式存储结构
\qquad 在进行串的链式存储时，可以多个字符放在一个结点中，克服链式存储存储密度低的缺点。
#define CHUNKSIZE 80
class Chunk
{//块链中的块定义char ch[CHUNKSIZE];Chunk *next;
};
class LString
{Chunk *head, *tail; //串的头指针和尾指针int curLen; //串的当前长度
};
1.1.2 串的模式匹配算法
\qquad 算法目的： 确定主串中所含的子串(模式串)第一次出现的位置(定位)。
\qquad 算法应用： 搜索引擎，拼写检查，语言翻译，数据压缩等
\qquad 算法种类：
\qquad BF算法(Brute-Force)，又称古典的，经典的，朴素的，穷举的，即暴力破解法 \qquad KMP算法，算法速度快，但是逻辑较复杂
1.1.2.1 BF算法
\qquad BF算法的思路为穷举思路，算法从主串的每一个字符开始依次与子串的字符进行匹配，直到匹配到子串或者主串结束为止。
int Index_BF(SString S, SString T, int pos = 1)
{int i = pos, j = 1; //假设字符串第一个字符不放置元素while(i < S.length && j < T.length){if(S.ch[i] == T.ch[j]){++i;++j}else{//主串回溯到下一个为止，子串置为初始位置i = i - j + 2;j = 1;}if(j >= T.length) return i - T.length;else return 0;}
}
\qquad BF算法的时间复杂度：
\qquad 假设主串长度为n，子串长度为m，则最好情况下需要比较m次，即主串第一个子串即为目标子串 O ( m ) O(m) O(m)；最坏情况下，主串最后一个子串才为目标子串，则前面n-m各个主串元素均需要比较m次，则 O ( m ∗ ( n − m ) + m ) O(m*(n-m)+m) O(m∗(n−m)+m)，若m<<n，则算法的时间复杂度为： O ( n ∗ m ) O(n*m) O(n∗m)。
1.1.2.2 KMP算法
\qquad KMP算法时由D.E.Knuth，J.H.Morris和V.R.Pratt共同提出的，简称KMP算法。该算法较BF算法有较大的改进，从而使算法效率有较大提高。
KMP算法的设计思想： 利用已经部分匹配的结果来加快模式串的滑动速度，并且主串S的指针i不需要回溯，子串T中的指针j可以不回到初始位置，可以提速到 O ( m + n ) O(m+n) O(m+n)。
\qquad 为了衡量子串T中的指针j回到的位置，定义一个next[j]函数，表名当模式中的第j个字符与珠串中相应字符“失配”时，在模式中需要重新确定和主串中该字符进行比较的字符的位置。
n e x t [ j ] = { m a x { k ∣ 1 < k < j , 且 " p 1 . . . p k − 1 = " p j − k + 1 . . . p j − 1 " } / / 从 头 开 始 的 k − 1 个 元 素 和 j 前 面 的 k − 1 个 元 素 0 , 当 j = 1 时 1 , 其 他 情 况 next[j]=\begin{cases} max \{ k\ |\ 1<k<j, \ 且"p_1...p_{k-1}="p_{j-k+1}...p_{j-1}"\}//从头开始的k-1个元素和j前面的k-1个元素\\ 0, 当j=1时\\ 1, 其他情况 \end{cases} next[j]=⎩⎪⎨⎪⎧max{k ∣ 1<k<j, 且"p1...pk−1="pj−k+1...pj−1"}//从头开始的k−1个元素和j前面的k−1个元素0,当j=1时1,其他情况
\qquad next的例子如下图所示：
\qquad 使用next[j]表的KMP算法如下所示：
int Index_KMP(SString S, SString T, int pos = 1)
{i = pos, j = 1;while(i < S.length && j < T.length){if(j==0 || S.ch[i] == T.ch[j]){++i;++j}elsej = next[j]; //i的位置不变}if(j >= T.length) return i - T.lenght; //匹配成功else return 0; //匹配失败
}//获取next[j]
void Get_next(SString T, int &next[])
{int i = 1, j = 0;next[1]=0;while(i < T.length){if(j == 0 || T.ch[i]==T.ch[j]){++i; ++j;next[i]=j; }elsej = next[j];}
}
\qquad next的值还可以进行一定的修正，修正方法如下所示：
\qquad 修正版求next值的代码如下所示：
void Get_next(SString T, int &nextVal[])
{int i = 1, j = 0;nextVal[1]=0;while(i < T.length){if(j == 0 || T.ch[i]==T.ch[j]){++i; ++j;if(T.ch[i]!=T.ch[j])nextVal[i]=j;else nextVal[i]=nextVal[j];nextVal[i]=j; }elsej = nextVal[j];}
}
2、数组
\qquad 按照一定格式排列起来的，具有相同类型的数据元素的集合。
\qquad 一维数组：若线性表中的数据元素为非结构的简单元素，则称为一维数组；一维数组的逻辑结构为线性结构，是一个定长的线性表。
\qquad 声明格式： 数据类型，变量名称[长度]
int num[5] = {0,1,2,3,4};
\qquad 二维数组： 若一维数组中的数据元素又是一维数据结构，则称为二维数组。
\qquad 声明格式： 数据类型 变量名称[行数][列数]
int num[5][8];
\qquad 三维数组： 若二维数组中的元素又是一个一维数组，则称作三维数组；
\qquad n维数组： 若n-1维数组中的元素又是一个一维数组结构，则称为n为数组。
\qquad 线性表结构是数组结构的一个特例，而数组结构又是线性表结构的拓展。 数组特点 是结构固定，定义后，维数和维界不再改变。
\qquad 数组的基本操作：除了结构的初始化和销毁外，只有取元素和修改元素值的操作。
2.1 数组的抽象数据类型定义
\qquad 以二维数组为例，定义数组的抽象数据类型：
2.2 数组的顺序存储结构
\qquad 由于数组的结构固定，维数和维界不变，所以数组一般都是采用顺序存储结构的。数组可以是多维的，但存储数据元素的内存单元地址是一维的，因此，在存储数组结构之前，需要解决将多维关系映射到一维关系的问题。
2.2.1 二维数组
\qquad 二维数组可以有两种顺序存储方式，一种是以行序为主体，低下标优先进行存储(C和Java中使用这种存储方式)；另外一种是以列序为主体，高下标优先进行存储。
\qquad 以行序为主序，设数组开始存储的位置为 L O C ( 0 , 0 ) LOC(0,0) LOC(0,0)，数组每行有n个元素，存储每个元素需要 L L L个存储单元，数组元素 a [ i ] [ j ] a[i][j] a[i][j]的存储为止为： L o c ( i , j ) = L o c ( 0 , 0 ) + ( i ∗ n + j ) ∗ L Loc(i,j)=Loc(0,0)+(i*n+j)*L Loc(i,j)=Loc(0,0)+(i∗n+j)∗L。
2.2.2 三维数组
\qquad 三维数组可以按页/行/列进行存放，页优先的顺序存储，每一页在按照行优先的顺序进行存储。如三维数组 a [ m 1 ] [ m 2 ] [ m 3 ] a[m_1][m_2][m_3] a[m1][m2][m3]各维的元素个数为： m 1 , m 2 , m 3 m_1,m_2,m_3 m1,m2,m3，则 a [ i 1 ] [ i 2 ] [ i 3 ] a[i_1][i_2][i_3] a[i1][i2][i3]元素的存储位置为： L o c ( i 1 , i 2 , i 3 ) = a + i 1 ∗ m 2 ∗ m 3 + i 2 ∗ m 3 + i 3 Loc(i_1,i_2,i_3)=a+i_1*m_2*m_3+i_2*m_3+i_3 Loc(i1,i2,i3)=a+i1∗m2∗m3+i2∗m3+i3。
2.2.3 n维数组
2.3 特殊矩阵的压缩存储
\qquad 矩阵： 表示一个由 m × n m×n m×n个元素排成m行n列的表；矩阵的常规存储：将矩阵描述为一个二维数组，矩阵常规存储可以对其元素进行随机存取，矩阵运算非常简单，存储的密度为1。不适宜常规存储的矩阵：值相同的元素很多且呈现某种规律分布；零元素特别多。矩阵的压缩存储：为多个相同的非零元素只分配一个存储空间；对零元素不分配空间。
\qquad 特殊矩阵的例子：如对称矩阵，对角矩阵，三角矩阵，稀疏矩阵等。稀疏矩阵指：矩阵中非零元素的个数较少，一般小于5%。
2.3.1 对称矩阵
\qquad 特点：在n×n的矩阵a中，满足如下性质： a i j = a j i ( 1 ≤ i , j ≤ n ) a_{ij}=a_{ji}(1 \leq i,j \leq n) aij=aji(1≤i,j≤n)。对称矩阵的存储方法为：只存储下三角(包括主对角线)的数据元素。共占用 n ( n + 1 ) / 2 n(n+1)/2 n(n+1)/2个元素空间。
\qquad 对称矩阵中某个元素 a i , j a_{i,j} ai,j的存储位置为： L o c ( 0 , 0 ) + ( i ( i − 1 ) 2 + j ) ∗ L Loc(0,0)+(\frac{i(i-1)}{2}+j)*L Loc(0,0)+(2i(i−1)+j)∗L，其中 L L L表示每一个元素所占用的内存空间。
2.3.2 三角矩阵
\qquad 特点：对角线以下(或者以上)的数据元素(不包括对角线)全部为常数c。
\qquad 存储方法：重复元素c共享一个元素存储单元，共占用 n ( n + 1 ) / 2 + 1 n(n+1)/2+1 n(n+1)/2+1个元素空间。
2.3.3 对角矩阵
\qquad 特点：在n×n的方阵中，所有非零元素都集中在以主对角线为中心的带状区域中，区域外的值全为0，则称为对角矩阵。常见的有三对角矩阵，五对角矩阵和七对角矩阵。
\qquad 存储方法为：以对角线的顺序进行存储，如下所示：
2.3.4 稀疏矩阵的存储
\qquad 设在m×n的矩阵中有t个非零元素，令 δ = t / ( m ∗ n ) \delta=t/(m*n) δ=t/(m∗n)，当 t ≤ 0.05 t \leq 0.05 t≤0.05时，称为稀疏矩阵。
2.3.4.1 三元组法
\qquad 可以使用三元组法来存储稀疏矩阵，三元组 < i , j , a i , j > <i,j,a_{i,j}> <i,j,ai,j>来表示元素所在的行索引，列索引和元素值，之后还需要记录矩阵的总共和行数和列数和矩阵中总共元素的个数。三元组的不同表示方法可以决定稀疏矩阵不同的压缩存储方法。
\qquad 三元组法又称为有序的双下标法，其优点是：非零元素在表中按行序有序存储，因此便于进行依行顺序处理的矩阵运算；其缺点是：不能随机存取。若按照行号存取某一行中的非零元，则需从头开始进行查找。
2.3.4.2 十字链表法
\qquad 十字链表法的优点是：他能够灵活地插入因为运算而产生的新的非零元素，删除因运算而产生的新的零元素，实现矩阵的各种运算。
\qquad 在十字链表中，矩阵的每一个非零元素用一个结点表示，该节点的成员包括：行索引，列索引，元素值，链接同一行中下一个非零元素的指针，链接同一列中下一个非零元素的指针，十字链表的结点结构示意图如下所示：
\qquad 十字链表法的实现还需要一个行的头指针，指向每一行中第一个非零元素；一个列的头指针，指向每一列中第一个非零元素。
3、 广义表
\qquad 广义表是 n ≥ 0 n \geq0 n≥0个元素 a 0 , a 1 , . . . , a n − 1 a_0,a_1,...,a_{n-1} a0,a1,...,an−1的有限序列，其中每一个 a i a_i ai或者是原子，或者是一个广义表。
\qquad 广义表的表头是广义表中的第一个元素；广义表的表尾不是广义表的最后一个元素，而是广义表除表头之外的其余元素组成的子表。
3.1 广义表的性质
\qquad 广义表中数据元素有相对次序，一个直接前驱和一个直接后继；
\qquad 广义表的长度定义为最外层所包含的元素的个数，如 C = ( a , ( b , c ) ) C=(a,(b,c)) C=(a,(b,c))是长度为2的广义表；
\qquad 广义表的深度定义为，该广义表展开之后所包含的括号的重数，原子的深度为0，空表的深度为1；
\qquad 广义表可以为其他广义表所共享；如上述广义表B就共享广义表A。
\qquad 广义表可以是一个递归的表，如 F = ( a , F ) F=(a,F) F=(a,F)，递归表的长度为2，深度为无穷。
\qquad 广义表是多层次结构，广义表的元素可以是单元素，也可以是子表，可以用树型结构来形象地进行表示。
3.2 广义表和线性表的区别
\qquad 广义表可以看成线性表的推广，线性表是广义表的特例。
\qquad 当二维数组的每行或者每列作为子表处理时，二维数组即为一个广义表；
\qquad 树和图也可以用广义表来表示；
\qquad 广义表的结构相当灵活，在某种前提下，特可以兼容线性表，数组，树和有向图等各种常用的数据结构。
3.3 广义表的基本运算
\qquad 求表头，即非空广义表的第一个元素，可以是一个原子，也可以是一个子表；
\qquad 求表尾，非空广义表出去表头元素以外其他元素构成的表，表尾一定是一个表。
THE END
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