江苏省小学升初中数学题：求图中阴影面积

江苏省小学升初中数学题：求图中阴影面积

分析：小学升初中数学题应该是要考察图形的分割与拼接，而此题中的阴影面积实际最终需要用到三角函数的知识，无法简单通过图形的分割与拼接求得。如果是小学数学题，其真实图形很可能是如下样子：

假设图中蓝色线包围的图形为图形1，蓝色阴影部分为图形2，以正方形顶点为圆点，边长为半径的圆称为大圆，以正方形中心为圆心，10为直径的圆称为小圆。

显然有S阴影=2∗(S1−S2)S_{阴影}=2 *(S_1-S_2)S阴影=2∗(S1−S2)

其中S1=S正方形−14S大圆=10∗10−14∗π∗102=21.5S_1=S_{正方形}-\frac{1}{4}S_{大圆}=10*10-\frac{1}{4}*\pi *10^2=21.5S1=S正方形−41S大圆=10∗10−41∗π∗102=21.5

S2=14(S正方形−S小圆)=14(10∗10−π∗52)=5.375S_2=\frac{1}{4}(S_{正方形}-S_{小圆})=\frac{1}{4}(10*10-\pi * 5^2)=5.375S2=41(S正方形−S小圆)=41(10∗10−π∗52)=5.375

所以有：S阴影=2∗(S1−S2)=2∗(21.5−5.375)=32.25S_{阴影}=2 *(S_1-S_2)=2*(21.5-5.375)=32.25S阴影=2∗(S1−S2)=2∗(21.5−5.375)=32.25

但如果是求原题中的图形中的阴影部分的面积，如果使用纯几何的方式求解的话，需要做辅助线。添加如下几条辅助线。

对于一半的阴影部分面积（不妨取下半部分）S半=S扇形OEF+S△OAE+S△OAF−S扇形AEFS_{半}=S_{扇形OEF}+S_{\triangle OAE}+S_{\triangle OAF}-S_{扇形AEF}S半=S扇形OEF+S△OAE+S△OAF−S扇形AEF

要计算两个扇形的面积的关键是要求得$\angle EAF 以及以及以及\angle EOF$的大小

易求得AE=AF=10，OE=OF=5，OA=52AE=AF=10，OE=OF=5，OA=5\sqrt{2}AE=AF=10，OE=OF=5，OA=52，在△OAE\triangle OAE△OAE中已知OA，AE，OE三条边的长度，由余弦定理cosC=a2+b2−c22abcos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}cosC=2aba2+b2−c2可知：cos∠EAO=AE2+OA2−OE22∗OA∗AE=102+(52)2−522∗10∗52=0.884cos \angle EAO= \frac{AE^2+OA^2-OE^2}{2*OA*AE}=\frac{10^2+(5\sqrt{2})^2-5^2}{2*10*5\sqrt{2}}=0.884cos∠EAO=2∗OA∗AEAE2+OA2−OE2=2∗10∗52102+(52)2−52=0.884，则∠EAO=arc cos0.884=27.871∘\angle EAO = arc\;cos0.884=27.871^{\circ}∠EAO=arccos0.884=27.871∘，根据对称性知∠FAO=∠EAO\angle FAO = \angle EAO∠FAO=∠EAO,所以∠EAF=2∠EAO=55.742∘\angle EAF = 2\angle EAO=55.742^{\circ}∠EAF=2∠EAO=55.742∘

在Rt△AHERt\triangle AHERt△AHE中，已知斜边AE以及∠EAO\angle EAO∠EAO，很容易求得EH的长度(EH=AE∗sin∠EAO=4.675EH=AE*sin\angle EAO =4.675EH=AE∗sin∠EAO=4.675)，进而在Rt△OHERt\triangle OHERt△OHE中求得∠EOH\angle EOH∠EOH的大小：sin∠EOH=EHOE=4.675/5=0.935sin \angle EOH=\frac{EH}{OE}=4.675/5=0.935sin∠EOH=OEEH=4.675/5=0.935，所以∠EOH=arc sin0.935=69.228∘\angle EOH = arc\;sin0.935=69.228^{\circ}∠EOH=arcsin0.935=69.228∘。

∠EOF=2∠EOH=69.228∘∗2=138.456∘\angle EOF=2 \angle EOH=69.228^{\circ} * 2=138.456^{\circ}∠EOF=2∠EOH=69.228∘∗2=138.456∘

S△OAE=S△OAF=12∗OA∗EH=0.5∗52∗4.675=16.526S_{\triangle OAE}=S_{\triangle OAF}=\frac{1}{2}*OA*EH=0.5*5\sqrt{2}*4.675=16.526S△OAE=S△OAF=21∗OA∗EH=0.5∗52∗4.675=16.526

S扇形OEF=138.456360∗3.14∗52=30.191S_{扇形OEF}=\frac{138.456}{360}*3.14*5^2=30.191S扇形OEF=360138.456∗3.14∗52=30.191

S扇形AEF=55.742360∗3.14∗102=48.62S_{扇形AEF}=\frac{55.742}{360}*3.14*10^2=48.62S扇形AEF=36055.742∗3.14∗102=48.62

则S阴影=2S半=2(S扇形OEF+S△OAE+S△OAF−S扇形AEF)=2(30.191+16.526∗2−48.62)=29.246S_{阴影}=2S_{半}=2(S_{扇形OEF}+S_{\triangle OAE}+S_{\triangle OAF}-S_{扇形AEF})=2(30.191+16.526*2-48.62)=29.246S阴影=2S半=2(S扇形OEF+S△OAE+S△OAF−S扇形AEF)=2(30.191+16.526∗2−48.62)=29.246

注：因为中间计算结果有效数字保留位数的原因，可能造成最终结果与精确值略有差异，精确结果实际约等于29.27625

最后总结：
可以利用Python作图求阴影部分面积，相关博客可参考Python求阴影部分面积

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