蓝桥杯刷题026——蓝桥骑士（二分法）

蓝桥骑士lanqi ao0J题号1188

题目描述

小明是蓝桥王国的骑士，他喜欢不断突破自我。这天蓝桥国王给他安排了 N 个对手，他们的战力值分别为 a1,a2,...,an，且按顺序阻挡在小明的前方。对于这些对手小明可以选择挑战，也可以选择避战。身为高傲的骑士，小明从不走回头路，且只愿意挑战战力值越来越高的对手。请你算算小明最多会挑战多少名对手。

输入描述

输入第一行包含一个整数 N，表示对手的个数。

第二行包含 N 个整数 a1,a2,...,an，分别表示对手的战力值。

。

输出描述

输出一行整数表示答案。

输入输出样例

输入
6
1 4 2 2 5 6
输出
4

思路

最长递增子序列（LIS）问题：给定一个长度为n的数组，找出一个最长的单调递增子序列。

例:序列A={5,6,7,4,2,8,3}，它最长的单调递增子序列为{5,6,7,8}，长度为4。

做法：

新建一个 low 数组，low [ i ]表示长度为i的LIS结尾元素的最小值。对于一个上升子序列，显然其结尾元素越小，越有利于在后面接其他的元素，也就越可能变得更长。因此，我们只需要维护 low 数组，对于每一个a[ i ]，如果a[ i ] > low [当前最长的LIS长度]，就把 a [ i ]接到当前最长的LIS后面

那么，怎么维护 low 数组呢？对于每一个a [ i ]，如果a [ i ]能接到 LIS 后面，就接上去；否则（a[ i ] 小于 low [当前最长的LIS长度]），就用 a [ i ] 取更新 low 数组。具体方法是，在low数组中找到第一个大于等于a [ i ]的元素low [ j ]，用a [ i ]去更新 low [ j ]。如果从头到尾扫一遍 low 数组的话，时间复杂度仍是O(n^2)。我们注意到 low 数组内部一定是单调不降的，所有我们可以二分法来查询 low 数组，找出第一个大于等于a[ i ]的元素。二分一次 low 数组的时间复杂度的O(logn)，所以总的时间复杂度是O(nlogn)。

　　我们再举一个例子：有以下序列A[ ] = 3 1 2 6 4 5 10 3，5，求LIS长度。

　　我们定义一个B[ i ]来储存可能的排序序列，len 为LIS长度。我们依次把A[ i ]有序地放进B[ i ]里。（为了方便，i的范围就从1~n表示第i个数）

A[1] = 3，把3放进B[1]，此时B[1] = 3，此时len = 1，最小末尾是3

　　A[2] = 1，因为1比3小，所以可以把B[1]中的3替换为1，此时B[1] = 1，此时len = 1，最小末尾是1

　　A[3] = 2，2大于1，就把2放进B[2] = 2，此时B[ ]={1,2}，len = 2

　　同理，A[4]=6，把6放进B[3] = 6，B[ ]={1,2,6}，len = 3

　　A[5]=4，4在2和6之间，比6小，可以把B[3]替换为4，B[ ] = {1,2,4}，len = 3

　　A[6] = 5，B[4] = 5，B[ ] = {1,2,4,5}，len = 4

　　A[7] = 10，B[5] = 10，B[ ] = {1,2,4,5,10}，len = 5

　　A[8] = 3，3在2和4之间，比10小，可以把B[3]替换为3，B[ ] = {1,2,3,5,10}，len = 5

A[9] = 5，5在B[4]，把B[4]替换为5（这里其实没有替换，因为把原来的5替换成A[9]的5），B[ ] = {1,2,3,5,10}，len = 5

代码

import bisect
n=int(input())
a=[int(i) for i in input().split()]
b=[a[0]]  # 初始化，用来存最长递增子序列
for i in range(1,n):index=bisect.bisect_left(b,a[i])  # index：大于等于a[i]的第一个数的下标if index==len(b):       # 返回下标等于b数组长度，说明大于b中最后一个数b.append(a[i])        # 将a[i]添加到b最后else:                   # a[i]小于最后一个数,则将更新index对应的元素b[index]=a[i]
print(len(b))

注：index = bisect.bisect_left(b,a[i]) 返回大于等于a[i]的第一个数的下标

举个栗子：A = [1,3,5,7,9]，现在要找5，则index = bisect.bisect_left(A,5)，返回index = 2；现在要找6，则返回index = 3

Tips：index = bisect.bisect_left(b,a[i]) ：要找的数在a数组里，则返回a[i]下标，否则返回大于a[i]的第一个数的下标

总结

最长递增子序列（LIS）问题，对于每一个a[ i ]，有两种情况：

① a[ i ] > 当前low [ ]最后一个数，就把 a [ i ]接到当前最长的LIS后面。

② a[ i ] 小于等于当前low [ ]最后一个数，找到第一个大于等于a [ i ]的元素low [ j ]（用二分查找）并用a[i]替换low[j].

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