测度论与概率论笔记5：测度空间上的积分（下）

测度空间上的积分

Lebesgue积分与Lebesgue-Stieltjes积分
- Lebesgue积分与Riemann积分的关系
- Riemann-Stieltjes积分的定义与计算
- Lebesgue-Stietjes积分与Riemann-Stietjes积分的关系
期望的统一定义

Lebesgue积分与Lebesgue-Stieltjes积分

Lebesgue积分与Riemann积分的关系

有关Riemann积分的可积性理论(数学分析笔记7：定积分)在数学分析里已经讲得很清楚了，这里不再赘述。Lebesgue积分即Lebesgue测度空间上的积分，下面我们将讨论Lebesgue积分和Riemann积分的关系。

定理5.1（Lebesgue积分与Riemann积分的关系） 若函数fff在[a,b][a,b][a,b]上Riemann可积，则fff在[a,b][a,b][a,b]上Lebesgue可积，并且∫[a,b]f(x)dx(L)=∫abf(x)dx(R)\int_{[a,b]}f(x)dx(L)=\int_a^bf(x)dx(R) ∫[a,b]f(x)dx(L)=∫abf(x)dx(R)

证：
首先，如果fff在[a,b][a,b][a,b]上可积，则fff在[a,b][a,b][a,b]上有界，自然fff在[a,b][a,b][a,b]上Lebesgue可积，其次，证明积分值相等。定义fn=∑k=02n−1mknI{a+k(b−a)2n≤x<a+(k+1)(b−a)2n},gn=∑k=02n−1MknI{a+k(b−a)2n≤x<a+(k+1)(b−a)2n}f_n=\sum_{k=0}^{2^n-1}m_k^nI_{\{a+\frac{k(b-a)}{2^n}\le x< a+\frac{(k+1)(b-a)}{2^n}\}},g_n=\sum_{k=0}^{2^n-1}M_k^nI_{\{a+\frac{k(b-a)}{2^n}\le x< a+\frac{(k+1)(b-a)}{2^n}\}} fn=k=0∑2n−1mknI{a+2nk(b−a)≤x<a+2n(k+1)(b−a)},gn=k=0∑2n−1MknI{a+2nk(b−a)≤x<a+2n(k+1)(b−a)}其中mkn=inf⁡{f(x):a+k(b−a)2n≤x≤a+(k+1)(b−a)2n}，Mkn=sup⁡{f(x):a+k(b−a)2n≤x≤a+(k+1)(b−a)2n}(k=0,1,2⋯,2n−1)m_k^n=\inf\{f(x):a+\frac{k(b-a)}{2^n}\le x\le a+\frac{(k+1)(b-a)}{2^n}\}，M_k^n=\sup\{f(x):a+\frac{k(b-a)}{2^n}\le x\le a+\frac{(k+1)(b-a)}{2^n}\}(k=0,1,2\cdots,2^n-1)mkn=inf{f(x):a+2nk(b−a)≤x≤a+2n(k+1)(b−a)}，Mkn=sup{f(x):a+2nk(b−a)≤x≤a+2n(k+1)(b−a)}(k=0,1,2⋯,2n−1)，则设∣f∣≤M>0|f|\le M>0∣f∣≤M>0，就有∣fn∣≤M,∣gn∣≤M,n=1,2,⋯|f_n|\le M,|g_n|\le M,n=1,2,\cdots ∣fn∣≤M,∣gn∣≤M,n=1,2,⋯并且{fn}\{f_n\}{fn}单调上升，{gn}\{g_n\}{gn}单调下降，并且fn≤f≤gnf_n \le f\le g_n fn≤f≤gn故∫[a,b]fn(x)dx(L)≤∫[a,b]f(x)dx(L)≤∫[a,b]gn(x)dx(L)∫[a,b]fn(x)dx(L)=12n∑k=02n−1mkn∫[a,b]gn(x)dx(L)=12n∑k=02n−1Mkn\int_{[a,b]}f_n(x)dx(L) \le \int_{[a,b]}f(x)dx(L)\le\int_{[a,b]}g_n(x)dx(L)\\ \int_{[a,b]}f_n(x)dx(L)=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{2^n-1}m_k^n\\ \int_{[a,b]}g_n(x)dx(L)=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{2^n-1}M_k^n ∫[a,b]fn(x)dx(L)≤∫[a,b]f(x)dx(L)≤∫[a,b]gn(x)dx(L)∫[a,b]fn(x)dx(L)=2n1k=0∑2n−1mkn∫[a,b]gn(x)dx(L)=2n1k=0∑2n−1Mkn并且lim⁡n→∞12n∑k=02n−1mkn=lim⁡n→∞12n∑k=02n−1Mkn=∫abf(x)dx(R)\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{2^n-1}m_k^n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{2^n-1}M_k^n=\int_a^bf(x)dx(R) n→∞lim2n1k=0∑2n−1mkn=n→∞lim2n1k=0∑2n−1Mkn=∫abf(x)dx(R)由夹逼准则，就可以得到Riemann积分和Lebesgue积分值相等

定理5.2(Riemann可积的充要条件） fff在[a,b][a,b][a,b]上有界，则fff在[a,b][a,b][a,b]上Riemann可积的充要条件是fff在[a,b][a,b][a,b]上的间断点集为Lebesgue零测集

为了证明定理5.2，我们要引入一个函数——振幅函数：
对于x0∈[a,b]x_0\in [a,b]x0∈[a,b]，定义x0x_0x0处fff的振幅为wf(x0)=lim⁡δ→0+sup⁡{∣f(x1)−f(x2)∣:x1,x2∈B(x0,δ)∩[a,b]}w_f(x_0)=\lim_{\delta\to0^+}\sup\{|f(x_1)-f(x_2)|:x_1,x_2\in B(x_0,\delta)\cap[a,b]\} wf(x0)=δ→0+limsup{∣f(x1)−f(x2)∣:x1,x2∈B(x0,δ)∩[a,b]}

对x0∈[a,b]x_0\in[a,b]x0∈[a,b]，f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处连续的充要条件是wf(x0)=0w_f(x_0)=0wf(x0)=0
如果f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处不连续，那么存在正数ε0>0\varepsilon_0>0ε0>0，对任意的δ>0\delta>0δ>0，存在yyy，∣y−x0∣<δ|y-x_0|<\delta∣y−x0∣<δ，并且∣f(y)−f(x0)∣≥ε0|f(y)-f(x_0)|\ge \varepsilon_0 ∣f(y)−f(x0)∣≥ε0此时wf(x0)≥ε0>0w_f(x_0)\ge \varepsilon_0>0wf(x0)≥ε0>0
如果f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处连续，则对任意的正数ε>0\varepsilon>0ε>0，存在δ>0\delta>0δ>0，当∣y−x0∣<δ|y-x_0|<\delta∣y−x0∣<δ时∣f(y)−f(x0)∣<ε|f(y)-f(x_0)|<\varepsilon ∣f(y)−f(x0)∣<ε因此对y1,y2∈B(x0,δ)∩[a,b]y_1,y_2\in B(x_0,\delta)\cap [a,b]y1,y2∈B(x0,δ)∩[a,b]，有∣f(y1)−f(y2)∣≤∣f(y1)−f(x0)∣+∣f(y2)−f(x0)∣<2ε|f(y_1)-f(y_2)|\le |f(y_1)-f(x_0)|+|f(y_2)-f(x_0)|<2\varepsilon ∣f(y1)−f(y2)∣≤∣f(y1)−f(x0)∣+∣f(y2)−f(x0)∣<2ε故0≤wf(x0)≤2ε0\le w_f(x_0)\le 2\varepsilon 0≤wf(x0)≤2ε由ε\varepsilonε的任意性wf(x0)=0w_f(x_0)=0 wf(x0)=0
于是fff在[a,b][a,b][a,b]上全体间断点集为{x∈[a,b]:wf(x)>0}\{x\in[a,b]:w_f(x)>0\}{x∈[a,b]:wf(x)>0}
再其次wfw_fwf是非负可测的：因为{wf(x)<t}\{w_f(x)<t\}{wf(x)<t}是开集（ttt为任意实数）
若fff在[a,b][a,b][a,b]上有界，则∫[a,b]wf(x)dx=∫ab‾f(x)dx−∫ab‾f(x)dx\int_{[a,b]}w_f(x)dx=\overline{\int_a^b}f(x)dx-\underline{\int_a^b}f(x)dx ∫[a,b]wf(x)dx=∫abf(x)dx−∫abf(x)dx由达布定理就可以知道fff可积的充要条件是∫[a,b]wf(x)dx=0\displaystyle \int_{[a,b]}w_f(x)dx=0∫[a,b]wf(x)dx=0，由wfw_fwf非负可测，∫[a,b]wf(x)dx=0\displaystyle \int_{[a,b]}w_f(x)dx=0∫[a,b]wf(x)dx=0就等价于wfw_fwf几乎处处为0，这就等价于wfw_fwf的间断点集零测，下面证明上面的不等式：
取一列不断加细的分划{Δn}\{\Delta_n\}{Δn}并且λ(Δn)→0\lambda(\Delta_n)\to 0λ(Δn)→0：记Δn:a=a0(n)<a1(n)<⋯<aNn(n)=bmk(n)=inf⁡{f(x):ak−1(n)≤x<ak(n)}Mk(n)=sup⁡{f(x):ak−1(n)≤x<ak(n)}(k=1,2,⋯,Nn)fn=∑k=1Nnmk(n)I[ak−1(n),ak(n)],gn=∑k=1NnMk(n)I[ak−1(n),ak(n)](n=1,2,⋯)\Delta_n:a=a^{(n)}_0<a_1^{(n)}<\cdots<a_{N_n}^{(n)}=b\\ m_k^{(n)}=\inf\{f(x):a_{k-1}^{(n)}\le x < a_k^{(n)}\}\\ M_k^{(n)}=\sup\{f(x):a_{k-1}^{(n)}\le x < a_k^{(n)}\}(k=1,2,\cdots,N_n)\\ f_n=\sum_{k=1}^{N_n}m_k^{(n)}I_{[a_{k-1}^{(n)},a_k^{(n)}]},g_n=\sum_{k=1}^{N_n}M_k^{(n)}I_{[a_{k-1}^{(n)},a_k^{(n)}]}(n=1,2,\cdots) Δn:a=a0(n)<a1(n)<⋯<aNn(n)=bmk(n)=inf{f(x):ak−1(n)≤x<ak(n)}Mk(n)=sup{f(x):ak−1(n)≤x<ak(n)}(k=1,2,⋯,Nn)fn=k=1∑Nnmk(n)I[ak−1(n),ak(n)],gn=k=1∑NnMk(n)I[ak−1(n),ak(n)](n=1,2,⋯)显然{fn}\{f_n\}{fn}单调上升，{gn}\{g_n\}{gn}单调下降，故{gn−fn}\{g_n-f_n\}{gn−fn}单调下降，并且wf(x)≤gn−fnw_f(x)\le g_n-f_n wf(x)≤gn−fn并且gn−fn→a.e.wf(x)g_n-f_n\xrightarrow{a.e.}w_f(x)gn−fna.e.wf(x)，由于{Δn}\{\Delta_n\}{Δn}的所有分点可数，故是一个零测集，设所有分点的集合为EEE，对x0∈[a,b]−Ex_0\in [a,b]-Ex0∈[a,b]−E，由wfw_fwf的定义，对任意的ε>0\varepsilon>0ε>0，存在δ0>0\delta_0>0δ0>0，当0<δ≤δ00<\delta\le \delta_00<δ≤δ0时wf(x0,δ)=sup⁡{∣f(x1)−f(x2)∣:x1,x2∈B(x0,δ)∩[a,b]}wf(x0,δ)<wf(x0)+εw_f(x_0,\delta)=\sup\{|f(x_1)-f(x_2)|:x_1,x_2\in B(x_0,\delta)\cap[a,b]\}\\ w_f(x_0,\delta)<w_f(x_0)+\varepsilon wf(x0,δ)=sup{∣f(x1)−f(x2)∣:x1,x2∈B(x0,δ)∩[a,b]}wf(x0,δ)<wf(x0)+ε存在NNN，n≥Nn\ge Nn≥N时，λ(Δn)<δ02\lambda(\Delta_n)<\frac{\delta_0}{2}λ(Δn)<2δ0，则此时x0x_0x0所在Δn\Delta_nΔn的小区间完全包含于x0x_0x0的δ0\delta_0δ0邻域内，故wf(x0)≤gn(x0)−fn(x0)<wf(x0)+εw_f(x_0)\le g_n(x_0)-f_n(x_0)<w_f(x_0)+\varepsilonwf(x0)≤gn(x0)−fn(x0)<wf(x0)+ε，故wf(x0)≤lim⁡n→∞[gn(x0)−fn(x0)]≤wf(x0)+εw_f(x_0)\le\lim_{n\to\infty}[g_n(x_0)-f_n(x_0)]\le w_f(x_0)+\varepsilon wf(x0)≤n→∞lim[gn(x0)−fn(x0)]≤wf(x0)+ε由ε\varepsilonε的任意性，就有wf(x0)=lim⁡n→∞[gn(x0)−fn(x0)]w_f(x_0)=\lim_{n\to\infty}[g_n(x_0)-f_n(x_0)] wf(x0)=n→∞lim[gn(x0)−fn(x0)]由于fff有界，设∣f∣≤M|f|\le M∣f∣≤M，∣gn−fn∣≤2M|g_n-f_n|\le 2M∣gn−fn∣≤2M，由Lebesgue控制收敛定理，就有lim⁡n→∞∫[a,b][gn(x)−fn(x)]dx=∫ab‾f(x)dx−∫ab‾f(x)dx=∫[a,b]wf(x)dx\lim_{n\to\infty}\int_{[a,b]}[g_n(x)-f_n(x)]dx=\overline{\int_a^b}f(x)dx-\underline{\int_a^b}f(x)dx=\int_{[a,b]}w_f(x)dx n→∞lim∫[a,b][gn(x)−fn(x)]dx=∫abf(x)dx−∫abf(x)dx=∫[a,b]wf(x)dx由此可以证得定理5.2
由定理5.2，Riemann可积要求有界函数在[a,b][a,b][a,b]上几乎处处连续，这个条件是比较苛刻的，再结合定理5.1，可以看出Lebesgue积分是Riemann积分的推广

在反常积分的情况下，Riemann可积就不一定能推出Lebesgue可积，更具体地说，在绝对收敛的情况下，Riemann可积可以推出Lebesgue可积，但是Riemann积分还有条件收敛的情形，这种情况下，Riemann可积不能推出Lebesgue可积。

定理5.3 fff在[a,x][a,x][a,x]上Riemann可积，x≥ax\ge ax≥a，并且∫a+∞∣f(x)∣dx<+∞\int_a^{+\infty}|f(x)|dx<+\infty ∫a+∞∣f(x)∣dx<+∞则fff在[a,+∞)[a,+\infty)[a,+∞)上Lebesgue可积，并且(L)∫a∞f(x)dx=(R)∫a∞f(x)dx(L)\int_a^\infty f(x)dx=(R)\int_a^\infty f(x)dx (L)∫a∞f(x)dx=(R)∫a∞f(x)dx

证：
设数列{an}\{a_n\}{an}每一项都大于aaa并且收敛到+∞+\infty+∞，由于fI[a,an]→a.e.ffI_{[a,a_n]}\xrightarrow{a.e.}ffI[a,an]a.e.f，并且∣fI[a,an]∣≤∣f∣|fI_{[a,a_n]}|\le |f|∣fI[a,an]∣≤∣f∣，fff在[a,+∞)[a,+\infty)[a,+∞)上Lebesgue可积，由Lebesgue控制收敛定理，就有lim⁡n→∞∫aanf(x)dx(L)=(L)∫a∞f(x)dx=lim⁡n→∞∫aanf(x)dx(R)=(R)∫a∞f(x)dx\begin{aligned} &\lim_{n\to\infty}\int_a^{a_n}f(x)dx(L)=(L)\int_a^\infty f(x)dx\\=&\lim_{n\to\infty}\int_{a}^{a_n}f(x)dx(R)=(R)\int_a^\infty f(x)dx \end{aligned}=n→∞lim∫aanf(x)dx(L)=(L)∫a∞f(x)dxn→∞lim∫aanf(x)dx(R)=(R)∫a∞f(x)dx

显然，从上面证明过程可以看出，当条件收敛时，fff不是Lebesgue可积的，但是Riemann可积的，并且以上证明过程可以推广到瑕积分的情形，由此可见，在广义积分的情况下，Lebesgue积分不是Riemann积分的推广，恰恰舍弃了条件收敛的情形，因此，Riemann积分和Lebesgue积分各有所长，Lebesgue积分也不是Riemann积分的替代。
此外，Lebesgue积分也没有一般的计算方法，计算Lebesgue积分通常还要依靠Riemann积分进行，下面讨论的Lebesgue-Stieltjes积分也是如此，Riemann-Stieltjes积分在大多数情况下有计算方法，Lebesgue-Stieltjes积分则没有固定的计算方法，大多数情况还要化为Riemann-Stietjes积分进行计算。

Riemann-Stieltjes积分的定义与计算

Riemann-Stieltjes积分（下面简称RS积分）是Riemann积分的推广（下面简称R积分），也是分四步进行：对于左开右闭区间[a,b)[a,b)[a,b)上的有界函数f(x),g(x)f(x),g(x)f(x),g(x)：
第一步（划分区间）：将左开右闭区间划分为Δ:a=x0<x1<⋯<xn=b\Delta:a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b Δ:a=x0<x1<⋯<xn=b第二步（取点）：取ξk∈[xk−1,xk)k=1,2,⋯,n\xi_k\in[x_{k-1},x_k)\quad k=1,2,\cdots,n ξk∈[xk−1,xk)k=1,2,⋯,n第三步（作和式）：S(f,g,Δ,ξ)=∑k=1nf(ξk)ΔgkS(f,g,\Delta,\xi)=\sum_{k=1}^nf(\xi_k)\Delta g_k S(f,g,Δ,ξ)=k=1∑nf(ξk)Δgk其中，ξ=(ξ1,⋯,ξn)\xi=(\xi_1,\cdots,\xi_n)ξ=(ξ1,⋯,ξn)，Δgk=g(xk)−g(xk−1),k=1,2,⋯,n\Delta g_k=g(x_k)-g(x_{k-1}),k=1,2,\cdots,nΔgk=g(xk)−g(xk−1),k=1,2,⋯,n
第四步（取极限）：如果lim⁡λ(Δ)→0S(f,g,Δ,ξ)=I\lim_{\lambda(\Delta)\to 0}S(f,g,\Delta,\xi)=I λ(Δ)→0limS(f,g,Δ,ξ)=I则称fff关于ggg是RSRSRS可积的，其中λ(Δ)=max⁡1≤k≤nΔxk\displaystyle\lambda(\Delta)=\max_{1\le k \le n}\Delta x_kλ(Δ)=1≤k≤nmaxΔxk，S(f,g,Δ,ξ)S(f,g,\Delta,\xi)S(f,g,Δ,ξ)称为RSRSRS和，积分记为∫abf(x)dg(x)\displaystyle \int_a^bf(x)dg(x)∫abf(x)dg(x)，同样可以仿照R积分的定义给出RS积分的定义，两者是十分类似的，这里省略其严格定义。由上面定义过程可以看出，RS积分和R积分的唯一区别在于第三步，求和式时小区间长度被替换成Δgk\Delta g_kΔgk，当g(x)=xg(x)=xg(x)=x时，RS积分就退化成R积分，因此，RS积分是R积分的推广。

RS积分的可积性理论也可以仿照R积分的可积性理论建立起来，我们这里假设ggg是单调增函数，这里我们给出大致的思路，省略其证明：

定义达布-斯蒂尔杰斯上和（后面简称DS上和）和达布-斯蒂尔杰斯下和（后面简称DS下和）S‾(f,g,Δ)=∑k=1nMkΔgkS‾(f,g,Δ)=∑k=1nmkΔgk\overline{S}(f,g,\Delta)=\sum_{k=1}^nM_k\Delta g_k\\ \underline{S}(f,g,\Delta)=\sum_{k=1}^nm_k\Delta g_k S(f,g,Δ)=k=1∑nMkΔgkS(f,g,Δ)=k=1∑nmkΔgk其中，如无特别说明，Δ\DeltaΔ指分划Δ:a=x0<x1<⋯<xn=b\Delta:a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b Δ:a=x0<x1<⋯<xn=bMk,mkM_k,m_kMk,mk分别为fff在[xk−1,xk)[x_{k-1},x_k)[xk−1,xk)上的上确界和下确界(k=1,2,⋯,n)(k=1,2,\cdots,n)(k=1,2,⋯,n)
平行于R积分的可积性理论，建立RS积分可积性理论的三个引理
引理1：S‾(f,g,Δ),S‾(f,g,Δ)\overline{S}(f,g,\Delta),\underline{S}(f,g,\Delta)S(f,g,Δ),S(f,g,Δ)是fff关于ggg的一切RS和的上确界和下确界
引理2：Δ1\Delta_1Δ1是Δ2\Delta_2Δ2的加细，则有S‾(f,g,Δ2)≤S‾(f,g,Δ1)≤S‾(f,g,Δ1)≤S‾(f,g,Δ2)\underline{S}(f,g,\Delta_2)\le \underline{S}(f,g,\Delta_1)\le \overline{S}(f,g,\Delta_1)\le \underline{S}(f,g,\Delta_2) S(f,g,Δ2)≤S(f,g,Δ1)≤S(f,g,Δ1)≤S(f,g,Δ2)引理3：对任意两个分划Δ1,Δ2\Delta_1,\Delta_2Δ1,Δ2，都有S‾(f,g,Δ1)≤S‾(f,g,Δ2)\underline{S}(f,g,\Delta_1)\le\overline{S}(f,g,\Delta_2) S(f,g,Δ1)≤S(f,g,Δ2)
定义RS上下积分：RS上积分定义为一切DS上和的下确界，RS瑕积分定义为一切DS下和的上确界
RS可积的充要条件是：lim⁡λ(Δ)∑k=1nwkΔgk=0\displaystyle \lim_{\lambda(\Delta)}\sum_{k=1}^nw_k\Delta g_k=0λ(Δ)limk=1∑nwkΔgk=0，其中wkw_kwk为fff在[xk−1,xk)[x_{k-1},x_k)[xk−1,xk)上的振幅(k=1,2,⋯,n)(k=1,2,\cdots,n)(k=1,2,⋯,n)
对RS积分来说，达布定理不一定成立，因此上下积分相等只是RS可积的必要条件而非充分条件，这是RS积分可积性理论和R积分可积性理论不同的地方

如果g(x)g(x)g(x)只是一般的有界函数，那么就不能仿照Riemann积分的方式建立Riemann-Stieltjes积分的可积性理论，但是可以建立RS积分的柯西收敛原理准则：

定理5.4 f(x),g(x)f(x),g(x)f(x),g(x)为[a,b)[a,b)[a,b)上的有界函数，f(x)f(x)f(x)关于g(x)g(x)g(x)是RSRSRS可积的充要条件是：对于任意的ε>0\varepsilon>0ε>0，∃δ>0\exists \delta>0∃δ>0，对于任意的两个分划Δ1,Δ2\Delta_1,\Delta_2Δ1,Δ2，只要λ(Δ1)<δ,λ(Δ2)<δ\lambda(\Delta_1)<\delta,\lambda(\Delta_2)<\deltaλ(Δ1)<δ,λ(Δ2)<δ，对Δ1\Delta_1Δ1的任意分点ξ\xiξ，对Δ2\Delta_2Δ2的任意分点ζ\zetaζ，都有∣S(f,g,Δ1,ξ)−S(f,g,Δ2,ζ)∣<ε|S(f,g,\Delta_1,\xi)-S(f,g,\Delta_2,\zeta)|<\varepsilon ∣S(f,g,Δ1,ξ)−S(f,g,Δ2,ζ)∣<ε
这一定理的证明和实数域的柯西收敛原理的证明十分类似，在证明充分性时，可以取一个分划列{Δn}\{\Delta_n\}{Δn}，λ(Δn)→0\lambda(\Delta_n)\to0λ(Δn)→0，Δn\Delta_nΔn任意取分点ξn\xi_nξn，则证明{S(f,g,Δn,ξn)}\{S(f,g,\Delta_n,\xi_n)\}{S(f,g,Δn,ξn)}是柯西列，则存在一个极限III，继而证明III是积分值即可

同样地可以给出RS积分的若干性质：
双线性：
(1) 如果f,gf,gf,g都关于hhh是RS可积的，那么对于任意的实数k1,k2k_1,k_2k1,k2，k1f+k2gk_1f+k_2gk1f+k2g关于hhh是RS可积的，并且∫ab[k1f(x)+k2g(x)]dh(x)=k1∫abf(x)dh(x)+k2∫abg(x)dh(x)\int_a^b[k_1f(x)+k_2g(x)]dh(x)=k_1\int_a^bf(x)dh(x)+k_2\int_a^bg(x)dh(x) ∫ab[k1f(x)+k2g(x)]dh(x)=k1∫abf(x)dh(x)+k2∫abg(x)dh(x)(2) fff关于g,hg,hg,h是RS可积的，则对于任意两个实数k1,k2k_1,k_2k1,k2，fff关于k1g+k2hk_1g+k_2hk1g+k2h是RS可积的，并且∫abf(x)d[k1g(x)+k2h(x)]=k1∫abf(x)dg(x)+k2∫abf(x)dh(x)\int_a^bf(x)d[k_1g(x)+k_2h(x)]=k_1\int_a^bf(x)dg(x)+k_2\int_a^bf(x)dh(x) ∫abf(x)d[k1g(x)+k2h(x)]=k1∫abf(x)dg(x)+k2∫abf(x)dh(x)区间可加性： 如果f(x)f(x)f(x)关于g(x)g(x)g(x)在[a,c),[c,b),[a,b)(a<c<b)[a,c),[c,b),[a,b)(a<c<b)[a,c),[c,b),[a,b)(a<c<b)上均可积，则有∫abf(x)dg(x)=∫abf(x)dg(x)+∫cbf(x)dg(x)\int_a^bf(x)dg(x)=\int_a^bf(x)dg(x)+\int_c^bf(x)dg(x) ∫abf(x)dg(x)=∫abf(x)dg(x)+∫cbf(x)dg(x)这一证明过程类似于R积分的区间可加性的证明过程，只不过，在R积分的情形下，f(x)f(x)f(x)关于g(x)g(x)g(x)在[a,c),[c,b)[a,c),[c,b)[a,c),[c,b)上均可积可以推出f(x)f(x)f(x)关于g(x)g(x)g(x)在[a,b)[a,b)[a,b)上可积，而在RS积分下却不可以作出这样的推论，同黎曼积分相同的是，如果f(x)f(x)f(x)关于g(x)g(x)g(x)在[a,b)[a,b)[a,b)上可积，在[a,c),[c,b)[a,c),[c,b)[a,c),[c,b)上也可积，证明可以用RS积分的柯西收敛原理准则进行，这里不详述。

接下来给出几种常用的RS可积的情形：
情形1： f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上连续，g(x)g(x)g(x)单调
这一情形的证明和R积分的相同的，这里省略
情形2： f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上R可积，g(x)g(x)g(x)在[a,b][a,b][a,b]上单调且满足利普希茨条件：即对任意的a≤x≤y≤ba\le x\le y\le ba≤x≤y≤b，都有g(y)−g(x)≤L(y−x)g(y)-g(x)\le L(y-x) g(y)−g(x)≤L(y−x)其中LLL为常数
情形3： f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上R可积，而且g(x)g(x)g(x)可表为变上限积分的形式g(x)=c+∫axφ(t)dtg(x)=c+\int_a^x\varphi(t)dt g(x)=c+∫axφ(t)dt其中，φ(x)\varphi(x)φ(x)在[a,b][a,b][a,b]上绝对可积

第二种情况和第一种情况的区别在于，第二种情况放松了对f(x)f(x)f(x)的要求，但是加强了对g(x)g(x)g(x)的要求

RS积分的计算： 下面给出几种常见的RS积分的计算的方法：
情形1：f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上R可积，而且g(x)g(x)g(x)可表为变上限积分的形式g(x)=c+∫axφ(t)dtg(x)=c+\int_a^x\varphi(t)dt g(x)=c+∫axφ(t)dt其中，φ(x)\varphi(x)φ(x)在[a,b][a,b][a,b]上绝对可积，则∫abf(x)dg(x)=∫abf(x)φ(x)dx\int_a^bf(x)dg(x)=\int_a^bf(x)\varphi(x)dx ∫abf(x)dg(x)=∫abf(x)φ(x)dx
情形2： 左右跳跃函数ρ−(x)={0x<01x≥0ρ+(x)={0x≤01x>0\rho^-(x)=\begin{cases} 0&x<0\\1&x\ge 0 \end{cases}\\ \rho^+(x)=\begin{cases} 0&x\le 0\\ 1&x>0 \end{cases} ρ−(x)={01x<0x≥0ρ+(x)={01x≤0x>0如果f(x)f(x)f(x)在x=cx=cx=c处连续，a<c≤ba<c\le ba<c≤b，则∫abf(x)dρ−(x−c)=f(c)\int_a^bf(x)d\rho^-(x-c)=f(c) ∫abf(x)dρ−(x−c)=f(c)之所以不能c=ac=ac=a，是因为c=ac=ac=a时以上积分值为0，同理a≤c<ba\le c<ba≤c<b时∫abf(x)dρ+(x−c)=f(c)\int_a^bf(x)d\rho^+(x-c)=f(c) ∫abf(x)dρ+(x−c)=f(c)
情形3： f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上R可积，g(x)g(x)g(x)在[a,b][a,b][a,b]上连续，除去有限个点外，在[a,b][a,b][a,b]上有导数g′(x)g^\prime(x)g′(x)，并且g′(x)g^\prime(x)g′(x)在[a,b][a,b][a,b]上绝对可积，则∫abf(x)dg(x)=∫abf(x)g′(x)dx\int_a^bf(x)dg(x)=\int_a^bf(x)g^\prime(x)dx ∫abf(x)dg(x)=∫abf(x)g′(x)dx这是情形1的直接推论

情形4： f(x)f(x)f(x)在区间[a,b][a,b][a,b]上连续，而g(x)g(x)g(x)除去有限个点c0=a<c1<⋯<cn−1<cn=bc_0=a<c_1<\cdots<c_{n-1}<c_n=bc0=a<c1<⋯<cn−1<cn=b外均可导，并且在这些点上ggg的左右极限均存在，并且g′(x)g^\prime(x)g′(x)在[a,b][a,b][a,b]上绝对可积，则∫abf(x)dg(x)=∫abf(x)g′(x)dx+a0+f(a)+∑k=1n−1f(ck)[ak−+ak+]+f(b)an−\int_a^bf(x)dg(x)=\int_a^bf(x)g^\prime(x)dx+a_0^+f(a)+\sum_{k=1}^{n-1}f(c_k)[a_k^-+a_k^+]+f(b)a_n^- ∫abf(x)dg(x)=∫abf(x)g′(x)dx+a0+f(a)+k=1∑n−1f(ck)[ak−+ak+]+f(b)an−其中a0+a_0^+a0+为ggg在aaa处的右跳跃度，ak+,ak−a_k^+,a_k^-ak+,ak−为ggg在ckc_kck处的右跳跃度和左跳跃度，an−a_n^-an−为ggg在bbb处的左跳跃度

Lebesgue-Stietjes积分与Riemann-Stietjes积分的关系

我们仅将讨论局限于g(x)g(x)g(x)是准分布函数的情形，设其诱导的LS测度为μg\mu_gμg，测度空间(R,BR,μg)(R,\mathscr{B}_R,\mu_g)(R,BR,μg)上的积分称为LS积分。下面我们讨论RS积分和LS积分的关系。

当f(x)f(x)f(x)是有界可积函数时

如果f(x)f(x)f(x)关于g(x)g(x)g(x)在[a,b)[a,b)[a,b)上RS可积，设Δn{\Delta_n}Δn是[a,b)[a,b)[a,b)的一个不断加细分划列，并且lim⁡n→∞λ(Δn)=0\displaystyle \lim_{n\to\infty}\lambda(\Delta_n)=0n→∞limλ(Δn)=0，令Δn:x0(n)<x1(n)<⋯<xNn(n)\Delta_n:x_0^{(n)}<x_1^{(n)}<\cdots<x_{N_n}^{(n)}Δn:x0(n)<x1(n)<⋯<xNn(n)，再令Mk(n)=inf⁡{f(x):xk−1(n)≤x<xk(n)},mk(n)=sup⁡{f(x):xk−1(n)≤x<xk(n)},k=1,2,⋯,Nn,n=1,2,⋯M_k^{(n)}=\inf\{f(x):x_{k-1}^{(n)}\le x<x_k^{(n)}\},m_k^{(n)}=\sup\{f(x):x_{k-1}^{(n)}\le x<x_k^{(n)}\},k=1,2,\cdots,N_n,n=1,2,\cdotsMk(n)=inf{f(x):xk−1(n)≤x<xk(n)},mk(n)=sup{f(x):xk−1(n)≤x<xk(n)},k=1,2,⋯,Nn,n=1,2,⋯

令fn(x)=∑k=1NnmkI[xk−1(n),xk(n))gn(x)=∑k=1NnMkI[xk−1(n),xk(n))(n=1,2,3,⋯)f_n(x)=\sum_{k=1}^{N_n}m_kI_{[x_{k-1}^{(n)},x_k^{(n)})}\\ g_n(x)=\sum_{k=1}^{N_n}M_kI_{[x_{k-1}^{(n)},x_k^{(n)})}\\ (n=1,2,3,\cdots) fn(x)=k=1∑NnmkI[xk−1(n),xk(n))gn(x)=k=1∑NnMkI[xk−1(n),xk(n))(n=1,2,3,⋯)
则有fn(x)≤f(x)≤gn(x)n=1,2,⋯f_n(x)\le f(x)\le g_n(x)\quad n=1,2,\cdots fn(x)≤f(x)≤gn(x)n=1,2,⋯并且hn(x)=gn(x)−fn(x)=∑k=1Nnwk(n)I[xk−1(n),xk(n))n=1,2,⋯\displaystyle h_n(x)=g_n(x)-f_n(x)=\sum_{k=1}^{N_n}w_k^{(n)}I_{[x_{k-1}^{(n)},x_k^{(n)})}\quad n=1,2,\cdotshn(x)=gn(x)−fn(x)=k=1∑Nnwk(n)I[xk−1(n),xk(n))n=1,2,⋯，因此，fn(x){f_n(x)}fn(x)单调上升，gn(x){g_n(x)}gn(x)单调下降∫[a,b)hndμg=∑k=1Nnwkμg([xk−1(n),xk(n)))=∑k=1NnwkΔk(n)g(x)↓0fn↑m,gn↓Mm(X)≤f(x)≤M(x)\int_{[a,b)}h_nd\mu_g=\sum_{k=1}^{N_n}w_k\mu_g([x_{k-1}^{(n)},x_k^{(n)}))=\sum_{k=1}^{N_n}w_k\Delta^{(n)}_kg(x)\downarrow 0\\ f_n\uparrow m, g_n\downarrow M\\ m(X)\le f(x)\le M(x) ∫[a,b)hndμg=k=1∑Nnwkμg([xk−1(n),xk(n)))=k=1∑NnwkΔk(n)g(x)↓0fn↑m,gn↓Mm(X)≤f(x)≤M(x)由Levi定理及Lebesgue控制定理∫[a,b)mdμg=∫[a,b)Mdμg\int_{[a,b)}md\mu_g=\int_{[a,b)}Md\mu_g ∫[a,b)mdμg=∫[a,b)Mdμg从而M=ma.eM=m\quad a.eM=ma.e，因此，f(x)f(x)f(x)几乎处处等于一个可测函数，fff几乎处处可测。
至于可积性，假设f(x)f(x)f(x)是有界的，那么，f(x)f(x)f(x)必定是RS可积的，则上面一节的fn↑fa.ef_n\uparrow f\quad a.efn↑fa.e，并且{fn}\{f_n\}{fn}一致有界，则∫[a,b)fndμg↑∫abf(x)dg(x)(RS)∫[a,b)fndμg↑∫[a,b)fdμg(LS)\int_{[a,b)}f_nd\mu_g\uparrow\int_a^bf(x)dg(x)(RS)\\ \int_{[a,b)}f_nd\mu_g\uparrow\int_{[a,b)}fd\mu_g(LS) ∫[a,b)fndμg↑∫abf(x)dg(x)(RS)∫[a,b)fndμg↑∫[a,b)fdμg(LS)因此对fff而言，RS积分和LS积分是等价的

广义RS积分情形
同Riemann积分一样，RS积分也可以定义广义积分，同样分为瑕积分和无穷限积分，同广义R积分与L积分的关系一样，在绝对收敛的情况下，广义RS可积可以推出L可积，并且积分值是一样的，但是在条件收敛的情况下，广义RS可积并不能推出LS可积。

期望的统一定义

在初等概率论中，我们只能就连续型随机变量和离散型随机变量两种特殊情形给出期望的定义，实际上，有了概率空间和概率空间上的积分，我们可以直接给出随机变量期望的统一定义。

定义5.1 (X,F,P)(X,\mathscr{F},P)(X,F,P)是概率空间，fff是其上的随机变量，如果fff的积分有意义，则称fff的期望有意义，称EfEfEf为fff的期望，如果∣Ef∣<+∞|Ef|<+\infty∣Ef∣<+∞，称fff期望存在

这样，所有类型的随机变量可以定义一个期望。问题是：

定义5.1是一个非常抽象的定义，计算抽象测度空间上的积分不是一件容易的事情，因此，要计算定义5.1中的期望，还需要其他的手段
定义5.1和初等概率论中连续型随机变量的期望和离散型随机变量的期望定义会不会产生冲突？

为了解决这些疑问，我们引入另外两个定义，而这两个定义直接给我们计算部分类型随机变量的期望的方法。

定理5.5 (X,FX),(Y,FY)(X,\mathscr{F}_X),(Y,\mathscr{F}_Y)(X,FX),(Y,FY)是两个可测空间，f:X→Yf:X\to Yf:X→Y是可测映射，μ\muμ是FY\mathscr{F}_YFY上的测度，则对于YYY上的任意可测函数ggg，只要∫Xg∘fdμ,∫Ygd(μf−1)\displaystyle\int_Xg\circ fd\mu,\int_Ygd(\mu f^{-1})∫Xg∘fdμ,∫Ygd(μf−1)任意一个积分有意义，则另一个积分也有意义，并且等式∫Xg∘fdμ=∫Ygd(μf−1)\int_Xg\circ fd\mu=\int_Ygd(\mu f^{-1}) ∫Xg∘fdμ=∫Ygd(μf−1)成立

这一定理可以直接用典型方法证出，但更重要的是，我们可以由这个定理得到著名的佚名统计学家公式。

定理5.6（佚名统计学家公式） (X,F,P)(X,\mathscr{F},P)(X,F,P)是一概率空间，fff是其上的一随机变量，ggg是一Borel可测函数，如果E(g∘f)E(g\circ f)E(g∘f)有意义，f∼Ff\sim Ff∼F，则E(g∘f)=∫Rg(x)dF(x)(LS)E(g\circ f)=\int_Rg(x)dF(x)(LS) E(g∘f)=∫Rg(x)dF(x)(LS)

这是因为由测度扩张的唯一性定理，Pf−1Pf^{-1}Pf−1就是F(x)F(x)F(x)诱导的LS测度，这样，由定理5.5，就可以直接得到佚名统计学家公式。由于f=I∘ff=I\circ ff=I∘f，这里，III是RRR上的恒同变换，即I(x)=x∀x∈RI(x)=x\quad \forall x\in RI(x)=x∀x∈R，于是，fff期望有意义等价于积分∫RxdF(x)\displaystyle \int_RxdF(x)∫RxdF(x)有意义，等价于∫R∣x∣dF(x)<+∞\displaystyle\int_R|x|dF(x)<+\infty∫R∣x∣dF(x)<+∞，并且，Ef=∫RxdF(x)\displaystyle Ef=\int_RxdF(x)Ef=∫RxdF(x)。

如果期望存在，那么，此时，广义RS积分就等价于广义LS积分，此时，也可以把上面的积分理解成RS积分，由此，我们就得到了随机变量期望的三种等价定义：概率空间上的积分定义‾，LS积分定义‾，RS积分定义‾\underline{概率空间上的积分定义}，\underline{LS积分定义}，\underline{RS积分定义}概率空间上的积分定义，LS积分定义，RS积分定义

我们前面已经给出了RS积分的计算方法，由此不难看出，初等概率论中的期望计算公式，只是RS积分的特例，因此，初等概率论中的期望定义和这里的期望定义是不冲突的，相反，这里的期望定义，对初等概率论中的期望给出了一个统一的定义！