概率统计Python计算：双正态总体未知总体方差总体均值差双侧假设的T检验

对两个独立正态总体 X X X~ N ( μ 1 , σ 2 ) N(\mu_1,\sigma^2) N(μ1,σ2)及 Y Y Y~ N ( μ 2 , σ 2 ) N(\mu_2,\sigma^2) N(μ2,σ2)，其中 σ 2 \sigma^2 σ2未知而要对双侧假设 H 0 : μ 1 − μ 2 = δ , H 1 : μ 1 − μ 2 ≠ δ H_0:\mu_1-\mu_2=\delta,H_1:\mu_1-\mu_2\not=\delta H0:μ1−μ2=δ,H1:μ1−μ2=δ进行检验，由于检验统计量为 X ‾ − Y ‾ − δ S w 1 / n 1 + 1 / n 2 \frac{\overline{X}-\overline{Y}-\delta}{S_w\sqrt{1/n_1+1/n2}} Sw1/n1+1/n2 X−Y−δ~ t ( n 1 + n 2 − 2 ) t(n_1+n_2-2) t(n1+n2−2)（其中 S w = ( n 1 − 1 ) S 1 2 + ( n 2 − 1 ) S 2 n 1 + n 2 − 2 S_w=\sqrt{\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S^2}{n_1+n_2-2}} Sw=n1+n2−2(n1−1)S12+(n2−1)S2 ， S 1 2 S_1^2 S12和 S 2 2 S_2^2 S22分别为来自 X X X、 Y Y Y的样本方差， n 1 n_1 n1， n 2 n_2 n2为样本容量），故可用T方法检验假设，这只需要调用ttest2函数即可完成计算。
例1 设有种植玉米的甲、乙两个农业试验区，各分为10个小试验区，各小区的面积相同。除甲区内的各小区增施磷肥外，其他试验条件均相同。两个试验区的玉米产量（单位：kg）如下（假设玉米产量服从正态分布，且有相同方差）：
甲区： 65 , 60 , 62 , 57 , 58 , 63 , 60 , 57 , 60 , 58 乙区： 59 , 56 , 56 , 58 , 57 , 57 , 55 , 60 , 57 , 55 \text{甲区：}65,60,62,57,58,63,60,57,60,58\\ \text{乙区：}59,56,56,58,57,57,55,60,57,55 甲区：65,60,62,57,58,63,60,57,60,58乙区：59,56,56,58,57,57,55,60,57,55
试统计推断，增施磷肥对玉米产量是否有显著影响（取显著水平 α = 0.05 \alpha=0.05 α=0.05）?
解：按题意，设甲区产量 X X X~ N ( μ 1 , σ 2 ) N(\mu_1, \sigma^2) N(μ1,σ2)，乙区产量 Y Y Y~ N ( μ 2 , σ 2 ) N(\mu_2,\sigma^2) N(μ2,σ2)。需检验假设
H 0 : μ 1 − μ 2 = 0 , H 1 : μ 1 − μ 2 ≠ 0. H_0:\mu_1-\mu_2=0, H_1:\mu_1-\mu_2\not=0. H0:μ1−μ2=0,H1:μ1−μ2=0.
由于未知相同的总体方差 σ 2 \sigma^2 σ2，故运用t检验法。下列代码完成本例的计算。

import numpy as np                                  #导入numpy
x=np.array([65, 60, 62, 57, 58, 63, 60, 57, 60, 58])#样本数据
y=np.array([59, 56, 56, 58, 57, 57, 55, 60, 57, 55])#样本数据
xmean=x.mean()                                      #样本均值
ymean=y.mean()                                      #样本均值
s12=x.var(ddof=1)                                   #样本方差
s22=y.var(ddof=1)                                   #样本方差
n1=x.size                                           #样本容量
n2=y.size                                           #样本容量
alpha=0.05                                          #显著水平
sw=np.sqrt(((n1-1)*s12+(n2-1)*s22)/(n1+n2-2))       #计算sw
T=(xmean-ymean)/(sw*np.sqrt(1/n1+1/n2))             #检验统计量值
accept=ttest2(T, n1+n2-2)                           #计算双测假设的检测
print('mu1-mu2=0 is %s.'%accept)

第2~10行按题面设置各项数据。第11行计算 s w = ( n 1 − 1 ) S 1 2 + ( n 2 − 1 ) S 2 n 1 + n 2 − 2 s_w=\sqrt{\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S^2}{n_1+n_2-2}} sw=n1+n2−2(n1−1)S12+(n2−1)S2 ，第12行计算检验统计量值 x ‾ − y ‾ − δ s w 1 / n 1 + 1 / n 2 \frac{\overline{x}-\overline{y}-\delta}{s_w\sqrt{1/n_1+1/n2}} sw1/n1+1/n2 x−y−δ为T（注意，本例中 δ = 0 \delta=0 δ=0）。第13行调用函数ttest2计算双侧假设 H 0 : μ 1 − μ 2 = δ H_0:\mu_1-\mu_2=\delta H0:μ1−μ2=δ的检验。运行程序，输出

mu1-mu2=0 is False.

表示拒绝假设 H 0 : μ 1 − μ 2 = 0 H_0:\mu_1-\mu_2=0 H0:μ1−μ2=0，即增施磷肥对玉米产量有显著影响。
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