定义

给定一个矩阵 A，将矩阵的行列互换得到的新矩阵称为转置矩阵，记为 $A^T, A^{tr}, A^'$ ，。转置矩阵的行列式不变，即 $\left \| A \right \|=det|A|=det|A^T|$ 。转置矩阵由下列动作建立：

将 A 的横行写为 $A^T$ 的纵列；
将 A 的纵列写成 $A^T$ 的横行。

形式来说，m*n 矩阵 A 的转置矩阵是 n*m 矩阵，即 $A^{T}_{ij}=A_{ji} \quad for 1\leq i\leq n, 1\leq j\leq m.$

例子

$\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}^{T}=\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\\ 5 & 6 \end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 5\\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}$

性质

$(A^T)^T\equiv A$ 。转置是自身的逆运算。

$(A+B)^T=A^T+B^T$ 。转置是从 m*n 矩阵的向量空间到所有 n*m 矩阵的向量空间的线性映射。

$(AB)^T=B^TA^T$ 。

$(cA)^T=cA^T$ 。标量的转置是同样的标量。

$det(A^T)=det(A)$ 。矩阵的转置矩阵的行列式等于矩阵的行列式。

特殊转置矩阵

其转置等于自身的方阵称为对称矩阵。也就是说 A 是对称的，如果 $A^T=A$ 。

其转置也是它的逆矩阵的方块矩阵称为正交矩阵。也就是说 G 是正交的，如果 $GG^T=G^TG=I_{n}$ 。

其转置等于它的负矩阵的方块矩阵称为斜对称矩阵。也就是说 A 是斜对称的，如果 $A^T=-A$ 。

复数矩阵 A 的共轭转置，写为 $A^H$ ，是 A 的转置后再取每个元素的共轭复数。也就是说 $A^H=(\overline{A})^T=\overline{(A)^T}$ 。

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转置矩阵（Transpose of a matrix）

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