转置矩阵，逆矩阵和倒转置矩阵

2024-06-04 21:39:04

单位矩阵：

转置矩阵(transpose matrix)

在线性代数中，矩阵A的转置是另一个矩阵A^T（也写做A^tr, ^tA或A′）由下列等价动作建立:

把A的横行写为A^T的纵列
把A的纵列写为A^T的横行

形式上说，m × n矩阵A的转置是n × m矩阵

for

。

性质

对于矩阵A, B和标量c转置有下列性质:

，

，

转置是从 m × n矩阵的向量空间到所有 n × m矩阵的向量空间的线性映射。

，

注意因子反转的次序。以此可推出方块矩阵 A是可逆矩阵，当且仅当 A ^T是可逆矩阵，在这种情况下有 ( A ^?1) ^T = ( A ^T) ^?1。相对容易的把这个结果扩展到矩阵相乘的一般情况，可得出 ( ABC...XYZ) ^T = Z ^T Y ^T X ^T... C ^T B ^T A ^T。

，

标量的转置是同样的标量。

，

矩阵的转置矩阵的行列式同于这个矩阵的行列式。

两个纵列向量a和b的点积可计算为

如果A只有实数元素，则A^TA是正半定矩阵。
如果A是在某个域上，则A 相似于A^T。

特殊转置矩阵

其转置等于自身的方块矩阵叫做对称矩阵；就是说A是对称的，如果

。

其转置也是它的逆矩阵的方块矩阵叫做正交矩阵；就是说G是正交的，如果

I是单位矩阵。

其转置等于它的负矩阵的方块矩阵叫做斜对称矩阵；就是A是斜对称的，如果

。

复数矩阵A的共轭转置，写为A^H，是A的转置加上取每个元素的共轭复数:

逆矩阵（inverse matrix）：

在线性代数中，给定一个 n 阶方阵 A，若存在一 n 阶方阵B，使得 AB=BA=In，其中In为 n阶单位矩阵，则称A是可逆的，且B 是A 的逆矩阵，记作。

倒转置矩阵 inverse transpose matrix，对矩阵先计算出逆矩阵，再对逆矩阵做转置矩阵的计算

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