应用概率统计(陈魁)第十一章(回归分析)部分课后答案
文章目录
- 前言
- 一、11. 1
- 二、11. 2
- 三、11. 3
- 四、11. 4
- ▌总结
前言
\qquad只要精度稍有不同,结果就五花八门
仅供参考
一、11. 1
一种物质吸附另一种物质的能力与温度有关。在不同温度下吸附的重量Y,测得结果列于下表中设对于给定的x,Y为正态变量,方差与x无关.一种物质吸附另一种物质的能力与温度有关。在不同温度下吸附的重量 Y,测得结果列于下表中\\ 设对于给定的 x ,Y 为正态变量,方差与 x 无关.一种物质吸附另一种物质的能力与温度有关。在不同温度下吸附的重量Y,测得结果列于下表中设对于给定的x,Y为正态变量,方差与x无关.
xi/℃x_i / ℃xi/℃ | 1.5 | 1.8 | 2.4 | 3.0 | 3.5 | 3.9 | 4.4 | 4.8 | 5.0 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
yi/mgy_i / mgyi/mg | 4.8 | 5.7 | 7.0 | 8.3 | 10.9 | 12.4 | 13.1 | 13.6 | 15.3 |
试求吸附量Y关于温度x的一元回归方程.试求吸附量 Y 关于温度 x 的一元回归方程.试求吸附量Y关于温度x的一元回归方程.
代入公式:
Sxx=∑i=1nxi2−nxˉ2Sxy=∑i=1nxiyi−nxˉyˉb^=SxxSxya^=yˉ−xˉb^S_{xx} = \sum_{i=1}^nx_i^2-n \bar x^2\\ S_{xy} = \sum_{i=1}^nx_iy_i - n\bar x \bar y\\ \hat b=\frac{S_{xx}}{S_{xy}} \\ \hat a = \bar y - \bar x\hat bSxx=i=1∑nxi2−nxˉ2Sxy=i=1∑nxiyi−nxˉyˉb^=SxySxxa^=yˉ−xˉb^
解:
n=9∑i=19xi=30.3∑i=19yi=91.1xˉ=19×30.3=3.3667yˉ=19×91.1=10.1222∑i=19xi2=115.11∑i=19xiyi=345.09Sxx=∑i=1nxi2−nxˉ2=115.11−9×3.36672=12.988Sxy=∑i=1nxiyi−nxˉyˉ=345.09−9×3.3667×10.1222=38.3843b^=SxxSxy=2.95a^=yˉ−xˉb^=0.19吸附量Y关于温度x的一元回归方程为:y^=0.19+2.95xn = 9 \qquad \sum_{i=1}^9x_i = 30.3\qquad \sum_{i=1}^9y_i = 91.1\\ \bar x = \frac19\times30.3 = 3.3667\qquad \bar y = \frac19\times91.1 = 10.1222\\ \sum_{i=1}^9x_i^2 = 115.11\qquad \sum_{i=1}^9x_iy_i = 345.09\\ S_{xx} = \sum_{i=1}^nx_i^2-n \bar x^2 = 115.11-9\times3.3667^2=12.988\\ S_{xy} = \sum_{i=1}^nx_iy_i - n\bar x \bar y = 345.09-9\times3.3667\times10.1222 = 38.3843\\ \hat b=\frac{S_{xx}}{S_{xy}} = 2.95\\ \hat a = \bar y - \bar x\hat b = 0.19\\ 吸附量 Y 关于温度 x 的一元回归方程为:\\ \hat y = 0.19 + 2.95xn=9i=1∑9xi=30.3i=1∑9yi=91.1xˉ=91×30.3=3.3667yˉ=91×91.1=10.1222i=1∑9xi2=115.11i=1∑9xiyi=345.09Sxx=i=1∑nxi2−nxˉ2=115.11−9×3.36672=12.988Sxy=i=1∑nxiyi−nxˉyˉ=345.09−9×3.3667×10.1222=38.3843b^=SxySxx=2.95a^=yˉ−xˉb^=0.19吸附量Y关于温度x的一元回归方程为:y^=0.19+2.95x
二、11. 2
合成纤维抽丝工段第一导丝盘的速度是影响丝的质量的重要参数今发现它和电流的周波有密切关系,生产中测量数据如下表:合成纤维抽丝工段第一导丝盘的速度是影响丝的质量的重要参数\\ 今发现它和电流的周波有密切关系,生产中测量数据如下表:合成纤维抽丝工段第一导丝盘的速度是影响丝的质量的重要参数今发现它和电流的周波有密切关系,生产中测量数据如下表:
设对周波x,速度Y是正态变量,方差与x无关,求速度Y关于周波x的一元回归方程并对回归方程进行显著性检验,求出x0=50.5处y的预报值y0和预报区间(α=0.05)设对周波 x,速度 Y 是正态变量,方差与 x 无关,求速度 Y 关于周波 x 的一元回归方程\\ 并对回归方程进行显著性检验,求出 x_0= 50. 5 处 y 的预报值 y_0 和预报区间(\alpha= 0. 05)设对周波x,速度Y是正态变量,方差与x无关,求速度Y关于周波x的一元回归方程并对回归方程进行显著性检验,求出x0=50.5处y的预报值y0和预报区间(α=0.05)
代入公式:
Sxx=∑i=1nxi2−nxˉ2Sxy=∑i=1nxiyi−nxˉyˉSyy=∑j=1nyj2−nyˉ2b^=SxxSxya^=yˉ−xˉb^Qe=Syy−(b^2)Sxxσ2^=Qen−2δ(x0)=tα2(n−2)σ^1+1n+(x0−xˉ)2SxxS_{xx} = \sum_{i=1}^nx_i^2-n \bar x^2\\ S_{xy} = \sum_{i=1}^nx_iy_i - n\bar x \bar y\\ S_{yy} = \sum_{j=1}^ny_j^2-n \bar y^2\\ \hat b=\frac{S_{xx}}{S_{xy}} \\ \hat a = \bar y - \bar x\hat b\\ Q_e = S_{yy} - (\hat b^2)S_{xx}\\ \hat {\sigma^2} = \frac{Q_e}{n-2}\\ \delta(x_0) = t_{\frac\alpha2}(n-2)\hat\sigma\sqrt{1+\frac1n+\frac{(x_0-\bar x)^2}{S_{xx}}}Sxx=i=1∑nxi2−nxˉ2Sxy=i=1∑nxiyi−nxˉyˉSyy=j=1∑nyj2−nyˉ2b^=SxySxxa^=yˉ−xˉb^Qe=Syy−(b^2)Sxxσ2^=n−2Qeδ(x0)=t2α(n−2)σ^1+n1+Sxx(x0−xˉ)2
解:
n=10∑i=110xi=496.1∑i=110yi=168.6xˉ=49.61yˉ=16.86∑i=110xi2=24613.51∑i=110xiyi=8364.92Sxx=∑i=1nxi2−nxˉ2=24613.51−10×49.612=1.989Sxy=∑i=1nxiyi−nxˉyˉ=8364.92−10×49.61×16.86=0.674Syy=∑j=1nyj2−nyˉ2=2842.84−10×16.862=0.244b^=SxxSxy≈0.339≈0.34a^=yˉ−xˉb^≈0.04速度Y关于周波x的一元回归方程为:y^=0.04+0.34xQe=Syy−(b^2)Sxx=0.0156σ2^=Qen−2=0.00195∣t∣=b^Sxx/σ^=10.82查表:t0.025(8)=2.306∵10.82>2.306,即∣t∣值在H0的拒绝域内∴回归效果是显著的在x0=50.5处的预报值:y0^=0.04+0.34×50.5=17.21∵tα2(n−2)=2.306xˉ=49.61x0−xˉ=0.89σ^=0.044∴δ(50.5)=tα2(n−2)σ^1+1n+(x0−xˉ)2Sxx=0.124预报区间为:(17.21−0.124,17.21+0.124)=(17.086,17.334)n = 10 \qquad \sum_{i=1}^{10}x_i = 496.1\qquad \sum_{i=1}^{10}y_i = 168.6\\ \bar x = 49.61\qquad \bar y = 16.86\\ \sum_{i=1}^{10}x_i^2 = 24613.51\qquad \sum_{i=1}^{10}x_iy_i = 8364.92\\ S_{xx} = \sum_{i=1}^nx_i^2-n \bar x^2 = 24613.51-10\times49.61^2=1.989\\ S_{xy} = \sum_{i=1}^nx_iy_i - n\bar x \bar y = 8364.92-10\times 49.61\times16.86= 0.674\\ S_{yy} = \sum_{j=1}^ny_j^2-n \bar y^2 = 2842.84-10\times16.86^2=0.244\\ \hat b=\frac{S_{xx}}{S_{xy}} \approx 0.339\approx0.34\\ \hat a = \bar y - \bar x\hat b \approx 0.04\\ 速度 Y 关于周波 x 的一元回归方程为:\\ \hat y = 0.04+0.34x\\ \\ \quad\\ Q_e = S_{yy} - (\hat b^2)S_{xx} = 0.0156\\ \hat {\sigma^2} = \frac{Q_e}{n-2} = 0.00195\\ |t| = \hat b \sqrt {S_{xx}}/\hat \sigma = 10.82\qquad 查表:t_{0.025}(8) = 2.306\\ \because10.82 > 2.306,\ \ 即|t|值在H_0的拒绝域内\ \ \therefore回归效果是显著的\\ \\ \quad\\ 在x_0= 50. 5 处的预报值: \hat {y_0} = 0.04+0.34\times50.5 = 17.21\\ \because t_{\frac\alpha2}(n-2) = 2.306\ \ \ \ \bar x = 49.61\ \ \ \ x_0-\bar x=0.89\ \ \ \ \hat\sigma = 0.044\\ \therefore \delta(50.5) = t_{\frac\alpha2}(n-2)\hat\sigma\sqrt{1+\frac1n+\frac{(x_0-\bar x)^2}{S_{xx}}} = 0.124\\ 预报区间为: \quad(17.21-0.124,17.21+0.124) = (17.086,17.334)n=10i=1∑10xi=496.1i=1∑10yi=168.6xˉ=49.61yˉ=16.86i=1∑10xi2=24613.51i=1∑10xiyi=8364.92Sxx=i=1∑nxi2−nxˉ2=24613.51−10×49.612=1.989Sxy=i=1∑nxiyi−nxˉyˉ=8364.92−10×49.61×16.86=0.674Syy=j=1∑nyj2−nyˉ2=2842.84−10×16.862=0.244b^=SxySxx≈0.339≈0.34a^=yˉ−xˉb^≈0.04速度Y关于周波x的一元回归方程为:y^=0.04+0.34xQe=Syy−(b^2)Sxx=0.0156σ2^=n−2Qe=0.00195∣t∣=b^Sxx/σ^=10.82查表:t0.025(8)=2.306∵10.82>2.306, 即∣t∣值在H0的拒绝域内 ∴回归效果是显著的在x0=50.5处的预报值:y0^=0.04+0.34×50.5=17.21∵t2α(n−2)=2.306 xˉ=49.61 x0−xˉ=0.89 σ^=0.044∴δ(50.5)=t2α(n−2)σ^1+n1+Sxx(x0−xˉ)2=0.124预报区间为:(17.21−0.124,17.21+0.124)=(17.086,17.334)
三、11. 3
流经某地区的一条河的径流量Y与该地区降雨量r之间有关,多次测得数据列于下表:流经某地区的一条河的径流量Y与该地区降雨量r之间有关,多次测得数据列于下表:流经某地区的一条河的径流量Y与该地区降雨量r之间有关,多次测得数据列于下表:
设径流量Y是正态变量,方差与x无关,求Y关于x的一元回归方程,并求σ2的估计值求x0=155时Y的预报值y^0及预报区间(α=0.05).设径流量Y是正态变量,方差与x无关,求Y关于 x 的一元回归方程,并求σ^2的估计值\\ 求x_0 = 155时Y的预报值\hat y_0及预报区间(\alpha = 0. 05).设径流量Y是正态变量,方差与x无关,求Y关于x的一元回归方程,并求σ2的估计值求x0=155时Y的预报值y^0及预报区间(α=0.05).
公式同上
Sxx=∑i=1nxi2−nxˉ2Sxy=∑i=1nxiyi−nxˉyˉSyy=∑j=1nyj2−nyˉ2b^=SxxSxya^=yˉ−xˉb^Qe=Syy−(b^2)Sxxσ2^=Qen−2δ(x0)=tα2(n−2)σ^1+1n+(x0−xˉ)2SxxS_{xx} = \sum_{i=1}^nx_i^2-n \bar x^2\\ S_{xy} = \sum_{i=1}^nx_iy_i - n\bar x \bar y\\ S_{yy} = \sum_{j=1}^ny_j^2-n \bar y^2\\ \hat b=\frac{S_{xx}}{S_{xy}} \\ \hat a = \bar y - \bar x\hat b\\ Q_e = S_{yy} - (\hat b^2)S_{xx}\\ \hat {\sigma^2} = \frac{Q_e}{n-2}\\ \delta(x_0) = t_{\frac\alpha2}(n-2)\hat\sigma\sqrt{1+\frac1n+\frac{(x_0-\bar x)^2}{S_{xx}}}Sxx=i=1∑nxi2−nxˉ2Sxy=i=1∑nxiyi−nxˉyˉSyy=j=1∑nyj2−nyˉ2b^=SxySxxa^=yˉ−xˉb^Qe=Syy−(b^2)Sxxσ2^=n−2Qeδ(x0)=t2α(n−2)σ^1+n1+Sxx(x0−xˉ)2
解:
n=11xˉ=143611=130.545yˉ=480.411=43.673∑i=1nxi2=201232∑i=1nxiyi=71424.8∑i=1nyi2=27030.96Sxx=∑i=1nxi2−nxˉ2=13770.03Sxy=∑i=1nxiyi−nxˉyˉ=8710.59Syy=∑j=1nyj2−nyˉ2=6050.582b^=SxxSxy=0.63a^=yˉ−xˉb^=−38.91Y关于x的一元回归方程:y^=−38.91+0.63xQe=Syy−(b^2)Sxx=585.257σ2^=Qen−2=65.03在x0=155,预报值为:y0^=−38.91+0.63×155=58.74∵tα2(n−2)=2.2622x0−xˉ=24.455σ^=8.064∴δ(155)=tα2(n−2)σ^1+1n+(x0−xˉ)2Sxx=19.43预报区间为:(58.74−19.43,58.74+19.43)=(39.31,78.17)n = 11 \qquad \bar x = \frac{1436}{11} = 130.545\qquad \bar y = \frac{480.4}{11} = 43.673\\ \sum_{i=1}^{n}x_i^2 = 201232\qquad \sum_{i=1}^{n}x_iy_i = 71424.8\quad \sum_{i=1}^{n}y_i^2 = 27030.96\\ S_{xx} = \sum_{i=1}^nx_i^2-n \bar x^2 = 13770.03\\ S_{xy} = \sum_{i=1}^nx_iy_i - n\bar x \bar y = 8710.59\\ S_{yy} = \sum_{j=1}^ny_j^2-n \bar y^2 = 6050.582\\ \hat b=\frac{S_{xx}}{S_{xy}} = 0.63 \qquad \hat a = \bar y - \bar x\hat b = -38.91\\ Y关于 x 的一元回归方程: \hat y = -38.91+0.63x\\ \\ \quad\\ Q_e = S_{yy} - (\hat b^2)S_{xx} = 585.257\\ \hat {\sigma^2} = \frac{Q_e}{n-2} = 65.03\\ 在x_0=155,预报值为: \hat {y_0} = -38.91+0.63\times155 = 58.74\\ \because t_{\frac\alpha2}(n-2) = 2.2622\ \ \ \ x_0-\bar x=24.455\ \ \ \ \hat\sigma = 8.064\\ \therefore \delta(155) = t_{\frac\alpha2}(n-2)\hat\sigma\sqrt{1+\frac1n+\frac{(x_0-\bar x)^2}{S_{xx}}} = 19.43\\ 预报区间为: \quad(58.74-19.43,58.74+19.43) = (39.31,78.17)n=11xˉ=111436=130.545yˉ=11480.4=43.673i=1∑nxi2=201232i=1∑nxiyi=71424.8i=1∑nyi2=27030.96Sxx=i=1∑nxi2−nxˉ2=13770.03Sxy=i=1∑nxiyi−nxˉyˉ=8710.59Syy=j=1∑nyj2−nyˉ2=6050.582b^=SxySxx=0.63a^=yˉ−xˉb^=−38.91Y关于x的一元回归方程:y^=−38.91+0.63xQe=Syy−(b^2)Sxx=585.257σ2^=n−2Qe=65.03在x0=155,预报值为:y0^=−38.91+0.63×155=58.74∵t2α(n−2)=2.2622 x0−xˉ=24.455 σ^=8.064∴δ(155)=t2α(n−2)σ^1+n1+Sxx(x0−xˉ)2=19.43预报区间为:(58.74−19.43,58.74+19.43)=(39.31,78.17)
四、11. 4
某种化工产品的得率Y与反应温度x1,反应时间x2及某反应物的浓度x3有关,设对于给定的x1,x2,x3得率Y服从正态分布,且方差与x1,x2,x3无关,今得测试结果如下表所示,其中x1,x2,x3均为2水平且均以编码形式表达某种化工产品的得率Y与反应温度x_1,反应时间x_2及某反应物的浓度x_3有关,\\ 设对于给定的x_1,x_2,x_3得率Y服从正态分布,且方差与x_1,x_2,x_3无关,\\ 今得测试结果如下表所示,其中x_1,x_2,x_3均为2水平且均以编码形式表达某种化工产品的得率Y与反应温度x1,反应时间x2及某反应物的浓度x3有关,设对于给定的x1,x2,x3得率Y服从正态分布,且方差与x1,x2,x3无关,今得测试结果如下表所示,其中x1,x2,x3均为2水平且均以编码形式表达
(1)设μ(x1,x2,x3)=b0+b1x1+b2x2+b3x3,求Y的多元线性回归方程;(2)若认为反应时间不影响得率,即认为μ(x1,x2,x3)=β0+β1x1+β3x3,求Y的多元线性回归方程.(1)设\mu(x_1,x_2,x_3) = b_0+ b_1x_1 +b_2x_2+b_3x_3,求Y的多元线性回归方程;\\ (2)若认为反应时间不影响得率,即认为\mu(x_1,x_2,x_3)=β_0+ β_1x_1 +β_3x_3,求Y的多 元线性回归方程.(1)设μ(x1,x2,x3)=b0+b1x1+b2x2+b3x3,求Y的多元线性回归方程;(2)若认为反应时间不影响得率,即认为μ(x1,x2,x3)=β0+β1x1+β3x3,求Y的多元线性回归方程.
代入公式:
X=[1x11x21⋯xk11x12x23⋯xk3⋮⋱⋱⋮1x1nx2n⋯xkn]Y=[y1y2⋮yn]B=[b0b1⋮bk]B=(XTX)−1XTYX = \begin{bmatrix} 1 & x_{11}& x_{21}\cdots & x_{k1} \\ 1 & x_{12}& x_{23}\cdots & x_{k3}\\\vdots & \ddots& \ddots & \vdots \\ 1 & x_{1n}& x_{2n}\cdots & x_{kn} \end{bmatrix}\\ \\\quad\\ Y = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\\vdots \\ y_n \end{bmatrix}\\ \\\quad\\ B = \begin{bmatrix} b_0 \\ b_1 \\\vdots \\ b_k \end{bmatrix}\\ \\\quad\\ B = (X^TX)^{-1}X^TYX=⎣⎢⎢⎢⎡11⋮1x11x12⋱x1nx21⋯x23⋯⋱x2n⋯xk1xk3⋮xkn⎦⎥⎥⎥⎤Y=⎣⎢⎢⎢⎡y1y2⋮yn⎦⎥⎥⎥⎤B=⎣⎢⎢⎢⎡b0b1⋮bk⎦⎥⎥⎥⎤B=(XTX)−1XTY
解:
(1).X=[1−1−1−11−1−111−11−11−11111−1−111−11111−11111]Y=[7.610.39.210.28.411.19.812.6]B=[b0b1b2b3]XTX=[8888]XTY=[79.24.64.49.2]B=(XTX)−1XTY=[9.90.5750.551.15]∴Y的多元线性回归方程为:y^=9.9+0.575x1+0.55x2+1.15x3X = \begin{bmatrix} 1 & -1& -1& -1\\ 1& -1& -1& 1 \\1& -1& 1& -1 \\ 1& -1& 1& 1\\ 1& 1& -1& -1\\ 1& 1& -1& 1\\ 1& 1& 1& -1\\ 1& 1& 1& 1\end{bmatrix}\\ Y = \begin{bmatrix} 7.6\\10.3\\9.2\\10.2\\8.4\\11.1\\9.8\\12.6 \end{bmatrix}\\ B = \begin{bmatrix} b_0 \\ b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}\\ X^TX = \begin{bmatrix} 8 & & & \\ & 8& & \\& & 8& \\ & & & 8\end{bmatrix}\\ X^TY = \begin{bmatrix} 79.2\\4.6\\4.4\\9.2 \end{bmatrix}\\ B = (X^TX)^{-1}X^TY = \begin{bmatrix} 9.9\\0.575\\0.55\\1.15 \end{bmatrix}\\ \therefore Y的多元线性回归方程为:\qquad \hat y = 9.9+0.575x_1+0.55x_2+1.15x_3X=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡11111111−1−1−1−11111−1−111−1−111−11−11−11−11⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤Y=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡7.610.39.210.28.411.19.812.6⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤B=⎣⎢⎢⎡b0b1b2b3⎦⎥⎥⎤XTX=⎣⎢⎢⎡8888⎦⎥⎥⎤XTY=⎣⎢⎢⎡79.24.64.49.2⎦⎥⎥⎤B=(XTX)−1XTY=⎣⎢⎢⎡9.90.5750.551.15⎦⎥⎥⎤∴Y的多元线性回归方程为:y^=9.9+0.575x1+0.55x2+1.15x3
(2).若反应时间不影响得率,即认为:b2=0∴Y的多元线性回归方程为:y^=9.9+0.575x1+1.15x3若反应时间不影响得率,即认为:\ b_2 = 0\\ \therefore Y的多元线性回归方程为:\qquad \hat y = 9.9+0.575x_1+1.15x_3若反应时间不影响得率,即认为: b2=0∴Y的多元线性回归方程为:y^=9.9+0.575x1+1.15x3
▌总结
全剧终
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考研数学有两大重点,基础要打好,练习要多做,错题要巩固.下面来看下有关概率论与数理统计相关复习内容,一起来学习吧! 一.概率与数理统计学科的特点 (1)研究对象是随机现象 高数是研究确定的现象,而概率 ...
- 应用概率统计(陈魁)第九章(假设检验)部分课后答案
文章目录 前言 一.9. 2 二.9. 3 三.9. 5 四.9. 8 五.9. 10 六.9. 12 ▌总结 前言 \qquad和参数估计比较,假设检验是另一类重要的统计推断问题.为了解总体的某些性 ...
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从今天开始老师逐步给大家总结现阶段高中数学的知识点,如在学习中遇到问题或咨询解题技巧,查看视频教程等相关问题,欢迎同学们私老师或给肖老师留言! 目录结构如下: 引言 1.课程内容: 必修课程由5个模块 ...
- 2020年余丙森概率统计强化笔记-第五章 大数定律和中心极限定理 第六章 数理统计
文章目录 第五章 大数定律和中心极限定理 第六章 数理统计 第五章 大数定律和中心极限定理 第六章 数理统计
- 2020年余丙森概率统计强化笔记-第三章 二维随机变量及其分布- 第四章 数字特征
写在前面:余丙森老师的风格,笔者个人还是比较欣赏的,跟下来,是有收获的. 文章目录 第三章 二维随机变量及其分布 第四章 数字特征 第三章 二维随机变量及其分布 第四章 数字特征
- 尚学堂 高琪JAVA300集第十一章作业 编程题答案
本人 JAVA初学者 在寻找这一方面的答案时没有看见 ,本着分享的精神 自己做了出来 也就传上来了 水平有限 存在有错的地方或者改进的方法 ,望大佬们可以提出 万分感谢. 1.1. 设计一个多线程的程 ...
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