应用概率统计 陈魁 清华大学出版社 统计部分 期末考点
应用概率统计 陈魁 清华大学出版社 统计部分 期末考点
- 一、参数估计
- 1.点估计
- 1.1矩法`(用样本矩作为相应的总体矩的估计量)`
- 1.2极大似然法`(使得样本落在观察值的领域里的概率(似然函数)最大) `
- 2.区间估计
- 二、假设检验
- 三、方差分析
- 四、回归分析
- 1.一元(正态)线性回归`(最小二乘估计)`
- 2.线性假设的显著性分析`(方差分析，F检验法)`
一、参数估计
1.点估计
1.1矩法(用样本矩作为相应的总体矩的估计量)
思路：解方程（组）
E(Xk)=1n∑i=1nXik.E(X^k)=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i^k.E(Xk)=n1i=1∑nXik.
1.2极大似然法(使得样本落在观察值的领域里的概率(似然函数)最大)
- 写出似然函数
离散型
L(x1,x2,⋯,xn;θ)=∏i=1np(X=xi;θ),L(x_1,x_2,\cdots,x_n;\theta)=\prod_{i=1}^{n}p(X=x_i;\theta), L(x1,x2,⋯,xn;θ)=i=1∏np(X=xi;θ),
连续型
L(x1,x2,⋯,xn;θ)=∏i=1nf(xi;θ)dxi,L(x_1,x_2,\cdots,x_n;\theta)=\prod_{i=1}^{n}f(x_i;\theta)\mathrm{d}x_i, L(x1,x2,⋯,xn;θ)=i=1∏nf(xi;θ)dxi, - 写出lnL;\ln L;lnL;
- 求出dlnLdθ\frac{\mathrm{d}\ln L}{\mathrm{d}\theta}dθdlnL，并令其为0，解出θ\thetaθ，即为θ^.\hat{\theta}.θ^.
2.区间估计
正态总体参数的区间估计(应用概率统计 陈魁 清华大学出版社)
二、假设检验
| 原假设H0H_0H0 | H0H_0H0下的检验统计量及分布 | 备择假设H1H_1H1 | H0H_0H0的拒绝域 | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | μ=μ0(σ2已知)\mu=\mu_0 \\ (\sigma^2已知)μ=μ0(σ2已知) | U=X‾−μ0σ/n∼N(0,1)U=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)U=σ/nX−μ0∼N(0,1) | μ≠μ0μ>μ0μ<μ0\mu \neq \mu_0\\ \mu >\mu_0\\ \mu < \mu_0μ=μ0μ>μ0μ<μ0 | ∣U∣>zα2U>zαU<−zα\lvert U \rvert >z_{\frac{\alpha}{2}}\\ U >z_\alpha\\ U<-z_\alpha∣U∣>z2αU>zαU<−zα |
| 2 | μ=μ0(σ2未知)\mu=\mu_0 \\ (\sigma^2未知)μ=μ0(σ2未知) | T=X‾−μ0S/n∼t(n−1)T=\frac{\overline{X}-\mu_0}{S /\sqrt{n}}\sim t(n-1)T=S/nX−μ0∼t(n−1) | μ≠μ0μ>μ0μ<μ0\mu \neq \mu_0\\ \mu >\mu_0\\ \mu < \mu_0μ=μ0μ>μ0μ<μ0 | ∣T∣>tα2(n−1)T>tα(n−1)T<−tα(n−1)\lvert T \rvert >t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\\ T >t_\alpha(n-1)\\ T<-t_\alpha(n-1)∣T∣>t2α(n−1)T>tα(n−1)T<−tα(n−1) |
| 3 | μ1−μ2=δ(σ12,σ22均已知)\mu_1-\mu_2=\delta \\ (\sigma_1^2,\sigma_2^2均已知)μ1−μ2=δ(σ12,σ22均已知) | U=X‾−Y‾−δσ12n1+σ22n2∼N(0,1)U=\frac{\overline{X}-\overline{Y}-\delta}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\sim N(0,1)U=n1σ12+n2σ22X−Y−δ∼N(0,1) | μ1−μ2≠δμ1−μ2>δμ1−μ2<δ\mu_1-\mu_2\neq\delta\\ \mu_1-\mu_2>\delta\\ \mu_1-\mu_2<\deltaμ1−μ2=δμ1−μ2>δμ1−μ2<δ | ∣U∣>zα2U>zαU<−zα\lvert U \rvert >z_{\frac{\alpha}{2}}\\ U >z_\alpha\\ U<-z_\alpha∣U∣>z2αU>zαU<−zα |
| 4 | μ1−μ2=δ(σ12,σ22均未知σ12=σ22=σ2)\mu_1-\mu_2=\delta \\ \left (\begin{matrix}\sigma_1^2,\sigma_2^2均未知\\ \sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2 \end{matrix}\right)μ1−μ2=δ(σ12,σ22均未知σ12=σ22=σ2) | T=X‾−Y‾−δSw1n1+1n2∼t(n1+n2−2),Sw2=(n1−1)S12+(n2−1)S22n1+n2−2)T=\frac{\overline{X}-\overline{Y}-\delta}{S_w{\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}}\sim t(n_1+n_2-2),\\ S_w^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2)}T=Swn11+n21X−Y−δ∼t(n1+n2−2),Sw2=n1+n2−2)(n1−1)S12+(n2−1)S22 | μ1−μ2≠δμ1−μ2>δμ1−μ2<δ\mu_1-\mu_2\neq\delta\\ \mu_1-\mu_2>\delta\\ \mu_1-\mu_2<\deltaμ1−μ2=δμ1−μ2>δμ1−μ2<δ | ∣T∣>tα2(n1+n2−2)T>tα(n1+n2−2)T<−tα(n1+n2−2\lvert T \rvert >t_{\frac{\alpha}{2}}(n_1+n_2-2)\\ T >t_\alpha(n_1+n_2-2)\\ T<-t_\alpha(n_1+n_2-2∣T∣>t2α(n1+n2−2)T>tα(n1+n2−2)T<−tα(n1+n2−2 |
| 5 | μ1−μ2=δ(σ12,σ22均未知n1,n2很大)\mu_1-\mu_2=\delta \\ \left (\begin{matrix}\sigma_1^2,\sigma_2^2均未知\\ n_1,n_2很大 \end{matrix}\right)μ1−μ2=δ(σ12,σ22均未知n1,n2很大) | U=X‾−Y‾−δS12n1+S22n2∼N(0,1)U=\frac{\overline{X}-\overline{Y}-\delta}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}}}\sim N(0,1)U=n1S12+n2S22X−Y−δ∼N(0,1) | μ1−μ2≠δμ1−μ2>δμ1−μ2<δ\mu_1-\mu_2\neq\delta\\ \mu_1-\mu_2>\delta\\ \mu_1-\mu_2<\deltaμ1−μ2=δμ1−μ2>δμ1−μ2<δ | ∣U∣>zα2U>zαU<−zα\lvert U \rvert >z_{\frac{\alpha}{2}}\\ U >z_\alpha\\ U<-z_\alpha∣U∣>z2αU>zαU<−zα |
| 6 | σ2=σ02(μ已知)\sigma^2=\sigma_0^2\\ (\mu已知)σ2=σ02(μ已知) | κ2=∑i=1n(Xi−μσ0)2∼χ2(n)\kappa^2=\sum\limits_{i=1}^n\Big(\frac{X_i-\mu}{\sigma_0}\Big)^2 \sim \chi^2(n)κ2=i=1∑n(σ0Xi−μ)2∼χ2(n) | σ2≠σ02σ2>σ02σ2<σ02\sigma^2\neq\sigma_0^2\\ \sigma^2>\sigma_0^2\\ \sigma^2<\sigma_0^2σ2=σ02σ2>σ02σ2<σ02 | κ2>χα22(n)或κ2<χ1−α22(n)κ2>χα2(n)κ2<χ1−α2(n)\kappa^2>\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n)或\kappa^2<\chi^2_{1-{\frac{\alpha}{2}}}(n)\\ \kappa^2>\chi^2_\alpha(n)\\ \kappa^2<\chi^2_{1-\alpha}(n)κ2>χ2α2(n)或κ2<χ1−2α2(n)κ2>χα2(n)κ2<χ1−α2(n) |
| 7 | σ2=σ02(μ未知)\sigma^2=\sigma_0^2\\ (\mu未知)σ2=σ02(μ未知) | κ2=(n−1)S2σ02∼χ2(n−1)\kappa^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n-1)κ2=σ02(n−1)S2∼χ2(n−1) | σ2≠σ02σ2>σ02σ2<σ02\sigma^2\neq\sigma_0^2\\ \sigma^2>\sigma_0^2\\ \sigma^2<\sigma_0^2σ2=σ02σ2>σ02σ2<σ02 | κ2>χα22(n−1)或κ2<χ1−α22(n−1)κ2>χα2(n−1)κ2<χ1−α2(n−1)\kappa^2>\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)或\kappa^2<\chi^2_{1-{\frac{\alpha}{2}}}(n-1)\\ \kappa^2>\chi^2_\alpha(n-1)\\ \kappa^2<\chi^2_{1-\alpha}(n-1)κ2>χ2α2(n−1)或κ2<χ1−2α2(n−1)κ2>χα2(n−1)κ2<χ1−α2(n−1) |
| 8 | σ12=σ22(μ1,μ2均已知)\sigma_1^2=\sigma_2^2\\ (\mu_1,\mu_2均已知)σ12=σ22(μ1,μ2均已知) | F=∑i=1n1(Xi−μ1σ1)2/n1∑i=1n2(Xi−μ2σ2)2/n2∼F(n1,n2)F=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n_1}\Big(\frac{X_i-\mu_1}{\sigma_1}\Big)^2\Big/n1}{\sum\limits_{i=1}^{n_2}\Big(\frac{X_i-\mu_2}{\sigma_2}\Big)^2\Big/n2}\sim F(n_1,n_2)F=i=1∑n2(σ2Xi−μ2)2/n2i=1∑n1(σ1Xi−μ1)2/n1∼F(n1,n2) | σ12≠σ22σ12>σ22σ12<σ22\sigma_1^2\neq\sigma_2^2\\ \sigma_1^2>\sigma_2^2\\ \sigma_1^2<\sigma_2^2σ12=σ22σ12>σ22σ12<σ22 | F>Fα2(n1,n2)或F<F1−α2(n1,n2)F>Fα(n1,n2)F<F1−α(n1,n2)F>F_{\frac{\alpha}{2}}(n_1,n_2)或F<F_{1-{\frac{\alpha}{2}}}(n_1,n_2)\\ F>F_\alpha(n_1,n_2)\\ F<F_{1-\alpha}(n_1,n_2)F>F2α(n1,n2)或F<F1−2α(n1,n2)F>Fα(n1,n2)F<F1−α(n1,n2) |
| 9 | σ12=σ22(μ1,μ2均未知)\sigma_1^2=\sigma_2^2\\ (\mu_1,\mu_2均未知)σ12=σ22(μ1,μ2均未知) | F=S12S22∼F(n1−1,n2−1)F=\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)F=S22S12∼F(n1−1,n2−1) | σ12≠σ22σ12>σ22σ12<σ22\sigma_1^2\neq\sigma_2^2\\ \sigma_1^2>\sigma_2^2\\ \sigma_1^2<\sigma_2^2σ12=σ22σ12>σ22σ12<σ22 | F>Fα2(n1−1,n2−1)或F<F1−α2(n1−1,n2−1)F>Fα(n1−1,n2−1)F<F1−α(n1−1,n2−1)F>F_{\frac{\alpha}{2}}(n_1-1,n_2-1)或F<F_{1-{\frac{\alpha}{2}}}(n_1-1,n_2-1)\\ F>F_\alpha(n_1-1,n_2-1)\\ F<F_{1-\alpha}(n_1-1,n_2-1)F>F2α(n1−1,n2−1)或F<F1−2α(n1−1,n2−1)F>Fα(n1−1,n2−1)F<F1−α(n1−1,n2−1) |
三、方差分析
方差分析(应用概率统计 陈魁 清华大学出版社)
四、回归分析
1.一元(正态)线性回归(最小二乘估计)
- 样本(x1,y1),(x2,y2),⋯,(xi,yi),⋯,(xn,yn);(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_i,y_i),\cdots,(x_n,y_n);(x1,y1),(x2,y2),⋯,(xi,yi),⋯,(xn,yn);
- 模型yi=a+bxi+εi,i=1,2,⋯,nεi∼N(0,σ2)各εi相互独立}.\left.\begin{array}{lr} y_i=a+bx_i+\varepsilon_i, & i=1,2,\cdots,n \\ \varepsilon_i \sim N(0,\sigma^2) & 各\varepsilon_i相互独立\end{array}\right\}.yi=a+bxi+εi,εi∼N(0,σ2)i=1,2,⋯,n各εi相互独立}.
- 考虑a,ba,ba,b的函数Q(a,b)=∑i=1n(yi−a−bxi)2.Q(a,b)=\sum\limits_{i=1}^n(y_i-a-bx_i)^2.Q(a,b)=i=1∑n(yi−a−bxi)2.
- 用最小二乘法估计a,ba,ba,b，使Q(a,b)Q(a,b)Q(a,b)最小，即a^,b^=argmina,bQ(a,b).\hat{a},\hat{b}=\underset{a,b} {\arg\min} Q(a,b).a^,b^=a,bargminQ(a,b).
- 求导，令偏导数为零，解方程组{∂Q∂a=−2∑i=1n(yi−a−bxi)=0,∂Q∂b=−2∑i=1n(yi−a−bxi)xi=0.\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial Q}{\partial a}=-2\sum\limits_{i=1}^n(y_i-a-bx_i)=0, \\ \frac{\partial Q}{\partial b}=-2\sum\limits_{i=1}^n(y_i-a-bx_i)x_i=0 .\end{array}\right.⎩⎪⎨⎪⎧∂a∂Q=−2i=1∑n(yi−a−bxi)=0,∂b∂Q=−2i=1∑n(yi−a−bxi)xi=0.
- 解出a,ba,ba,b，即a^,b^\hat{a},\hat{b}a^,b^ {b^=Sxy/Sxx,a^=y‾−x‾b^,\left\{\begin{array}{l}\hat{b}=S_{xy}/S_{xx},\\ \hat{a}=\overline{y}-\overline{x}\hat{b},\end{array}\right.{b^=Sxy/Sxx,a^=y−xb^,其中，{Sxy=∑i=1nxiyi−nx‾y‾=∑i=1n(xi−x‾)(yi−y‾),Sxx=∑i=1nxi2−nx‾2=∑i=1n(xi−x‾)2.\left\{\begin{array}{l}S_{xy}=\sum\limits_{i=1}^nx_iy_i-n\overline{x}\ \overline{y}=\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y}),\\ S_{xx}=\sum\limits_{i=1}^nx_i^2-n\overline{x}^2=\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2.\end{array}\right.⎩⎪⎨⎪⎧Sxy=i=1∑nxiyi−nx y=i=1∑n(xi−x)(yi−y),Sxx=i=1∑nxi2−nx2=i=1∑n(xi−x)2.
- 所求线性回归方程为y^=a^+b^x.\hat{y}=\hat{a}+\hat{b}x.y^=a^+b^x.
2.线性假设的显著性分析(方差分析，F检验法)
- 给出{原假设H0:b=0,备择假设H1:b≠0.\left\{\begin{array}{lcr}原假设 & H_0: & b=0,\\ 备择假设 & H_1: & b\neq0 .\end{array}\right.{原假设备择假设H0:H1:b=0,b=0.
- 对原假设H0:b=0H_0:b=0H0:b=0，备择假设H1:b≠0H_1: b\neq0H1:b=0，选统计量F=SregressionSerror/n−2∼F(1,n−2).F=\frac{S_{regression}}{S_{error}/n-2} \sim F(1,n-2).F=Serror/n−2Sregression∼F(1,n−2).
- 对于给出的α\alphaα，查表得Fα(1,n−2)F_{\alpha}(1,n-2)Fα(1,n−2)；由样本值计算出SregressionS_{regression}Sregression和SerrorS_{error}Serror，从而计算出FFF值。
方差分析表
| 方差来源 | 平方和 | 自由度 | 均方 | F比 |
|---|---|---|---|---|
| 回归 | SregressionS_{regression}Sregression | 111 | MSregression=Sregression1MS_{regression}=\frac{S_{regression}}{1}MSregression=1Sregression | F=SregressionSerror/n−2F=\frac{S_{regression}}{S_{error}/n-2}F=Serror/n−2Sregression |
| 残差 | SerrorS_{error}Serror | n−2n-2n−2 | MSerror=Serrorn−2MS_{error}=\frac{S_{error}}{n-2}MSerror=n−2Serror | |
| 总和 | SyyS_{yy}Syy | n−1n-1n−1 |
- 判断
（1）若F>Fα(1,n−2)F>F_{\alpha}(1,n-2)F>Fα(1,n−2)，则拒绝H0H_0H0，接受H1H_1H1，说明回归效果显著；
（2）若F<Fα(1,n−2)F<F_{\alpha}(1,n-2)F<Fα(1,n−2)，则接受H0H_0H0，说明回归效果不显著。
记号说明
Syy=∑i=1n(yi−y‾)2=∑i=1nyi2−ny‾2=∑i=1n(yi^−y‾)2+∑i=1n(yi−yi^)2+2∑i=1n(yi^−y‾)(yi−yi^)=Sregression+Serror+0,Sregression=(b^)2Sxx,Serror=Syy−Sregression=Syy−(b^)2Sxx,\begin{aligned} S_{yy} &=\sum\limits_{i=1}^n(y_i-\overline{y})^2=\sum\limits_{i=1}^ny_i^2-n\overline{y}^2\\ &=\sum\limits_{i=1}^n(\hat{y_i}-\overline{y})^2+\sum\limits_{i=1}^n(y_i-\hat{y_i})^2+2\sum\limits_{i=1}^n(\hat{y_i}-\overline{y})(y_i-\hat{y_i})\\ &=S_{regression}+S_{error}+0, \\ S_{regression} &=(\hat{b})^2S_{xx},S_{error}=S_{yy}-S_{regression}=S_{yy}-(\hat{b})^2S_{xx}, \end{aligned}SyySregression=i=1∑n(yi−y)2=i=1∑nyi2−ny2=i=1∑n(yi^−y)2+i=1∑n(yi−yi^)2+2i=1∑n(yi^−y)(yi−yi^)=Sregression+Serror+0,=(b^)2Sxx,Serror=Syy−Sregression=Syy−(b^)2Sxx,
F=SregressionSerror/n−2=Sregressionσ2/1Serrorσ2/n−2∼F(1,n−2),Sregressionσ2∼χ2(1)Serrorσ2∼χ2(n−2).F=\frac{S_{regression}}{S_{error}/n-2}=\frac{{\frac{S_{regression}}{\sigma^2}}/1}{{\frac{S_{error}}{\sigma^2}/n-2}} \sim F(1,n-2),\\ \frac{S_{regression}}{\sigma^2}\sim \chi^2(1)\ \ \ \ \ \ \ \frac{S_{error}}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-2).F=Serror/n−2Sregression=σ2Serror/n−2σ2Sregression/1∼F(1,n−2),σ2Sregression∼χ2(1) σ2Serror∼χ2(n−2).
注:线性假设的显著性分析还可用TTT检验法。
二者(TTT检验法和FFF检验法)区别：
- TTT检验法
对各个回归系数的检验，可以看出哪些回归系数对回归效果更显著，从而忽略那些对因变量贡献小的回归系数。 - FFF检验法
对所有回归系数的检验，代表进行回归的所有自变量的回归系数的一个总体检验。
PS：用EXCEL进行线性回归分析（数据来源：应用概率统计 陈魁 清华大学出版社 第11章 回归分析 例11.1.2）
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