1.答题模板

微分方程。各位是不是学的很酸爽呢？其实本章内容逻辑非常简单，主要是微分方程的形式和种类太多，难以记忆。
【微分方程赋】

                         离齐线，二阶常欧拉差分全伯降！巧变形，化标准，套路求解莫慌张！

【释义】这首破诗的前两句是我们在本科范围内常见的微分方程的类型——可分离变量方程，齐次方程，一阶线性微分方程，二阶常系数线性方程，欧拉方程，差分方程，全微分方程，伯努利方程，可降阶方程，当然应付期末考试最主要是第一句的类型。这首破诗的后两句是说求解微分方程的步骤是固定的。首先要要通过巧变形（初等变形，变量互换，变量代换，叠加原理）把所给方程化成标准形式，然后按照固定步骤求解即可（参见表格1~表格3）。

    至于考试题型，无非就是已知方程求解，或者已知解求方程。至于大家头疼的应用问题，虽然具有很强的实际意义，但是考试中反而出现的不多。

2. 一阶线性微分方程

y′+P(x)y=Q(x)y^{'}+P(x)y=Q(x)y′+P(x)y=Q(x)
通解：y=e−∫P(x)dx[C+∫Q(x)e∫p(x)dxdx]y=e^{-\int P(x)dx }[C+\int Q(x)e^{\int p(x)dx}dx]y=e−∫P(x)dx[C+∫Q(x)e∫p(x)dxdx]
注意通解可以写以下形式：
y=Ce−∫P(x)dx+e−∫P(x)dx∫Q(x)e∫p(x)dxdx)=Y+y∗可以看出非齐次线性方程组的通解等于它所对应的齐次线性方程的通解Y加原方程（非齐次线性方程）的一个特解\color{red} {y=C e^{-\int P(x)dx }+e^{-\int P(x)dx }\int Q(x)e^{\int p(x)dx}dx)}=Y+y^* 可以看出非齐次线性方程组的通解等于它所对应的齐次线性方程的通解Y加原方程（非齐次线性方程）的一个特解y=Ce−∫P(x)dx+e−∫P(x)dx∫Q(x)e∫p(x)dxdx)=Y+y∗可以看出非齐次线性方程组的通解等于它所对应的齐次线性方程的通解Y加原方程（非齐次线性方程）的一个特解

3.常系数非齐次线性微分方程

f(x)=P(m)eλx型f(x)=P(m)e^{λx}型f(x)=P(m)eλx型

可设特解：y∗=xkQm(x)eλx可设特解：y^*=x^kQ_m(x)e^{\lambda x} 可设特解：y∗=xkQm(x)eλx

f(x)=eλx[Pm(x)cosωx+Pn(x)sinωx]型f(x)=e^{\lambda x}[P_m(x)cos{\omega}x+P_n(x)sin{\omega}x]型f(x)=eλx[Pm(x)cosωx+Pn(x)sinωx]型

可设特解y∗=xkeλx[Ql(x)cosωx+Rl(x)sinωx可设特解 y*=x^ke^{\lambda x}[Q_l(x)cos{\omega}x+R_l(x)sin{\omega}x 可设特解y∗=xkeλx[Ql(x)cosωx+Rl(x)sinωx

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高等数学——微分方程

文章目录

1.答题模板

2. 一阶线性微分方程

3.常系数非齐次线性微分方程

f(x)=P(m)eλx型f(x)=P(m)e^{λx}型f(x)=P(m)eλx型

f(x)=eλx[Pm(x)cosωx+Pn(x)sinωx]型f(x)=e^{\lambda x}[P_m(x)cos{\omega}x+P_n(x)sin{\omega}x]型f(x)=eλx[Pm(x)cosωx+Pn(x)sinωx]型

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