一、高等数学——微分方程

微分方程：含有未知函数或其微分的方程，求未知函数
微分方程的阶：未知函数导数的最高阶数，100阶导就是100阶微分方程
积分曲线：微分方程的解对应的曲线

微分方程的解：使等式成立
通解：独立任意常数个数等于微分方程阶数
特解：通过初始条件（定解条件）求出特解

齐次微分方程：方程右边为0
齐次微分方程的通解：公式、特征根，含常数变量故无穷多
齐次微分方程的特解：通解中的变量取了某个常数

非齐次微分方程：方程右边不为0
非齐次微分方程的通解=齐次微分方程的通解+非齐次微分方程的找个特解
非齐次微分方程的特解=通解中的变量取了某个常数（当变量为0就是你找的那个特解）

常微分方程分类：

一阶方程
1.可分离变量的微分方程
2.齐次微分方程
3.一阶线性微分方程(非齐次与齐次)
4.伯努利方程
5.全微分方程

高阶方程
6.可降阶的高阶方程
7.高阶线性微分方程
8.差分方程

（1）一阶常系数方程

1.1可分离变量的微分方程

形如：f(x)dx=g(y)dy形如：{f(x)dx=g(y)dy}形如：f(x)dx=g(y)dy
对等式左右两边进行积分

1.2.齐次微分方程

形如:dydx=φ(yx)形如:\frac{dy}{dx}=\varphi(\frac{y}{x})形如:dxdy​=φ(xy​)
解法：换元之后进行变量分离
yx=u,dydx=u+xdudx\frac{y}{x}=u,\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}xy​=u,dxdy​=u+xdxdu​

1.3.一阶线性微分方程

非齐次形如:y′+p(x)y=Q(x)非齐次形如:y'+p(x)y=Q(x)非齐次形如:y′+p(x)y=Q(x)
解法：公式法

齐次形如:y′+p(x)y=0齐次形如:y'+p(x)y=0齐次形如:y′+p(x)y=0
解法：公式法或者变量分离的解法

1.4.伯努利方程

一阶线性微分方程右边有个y的高阶导数
形如:y′+p(x)y=Q(x)yn形如:y'+p(x)y=Q(x)y^n形如:y′+p(x)y=Q(x)yn
解法：换元、转化为一阶线性微分方程
y1−n=u,(1−n)y−ny′=dudxy^{1-n}=u,(1-n)y^{-n}y'=\frac{du}{dx}y1−n=u,(1−n)y−ny′=dxdu​

1.5.全微分方程

形如:P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0形如:P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0形如:P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
判定是全微分方程：积分与路径无关的那个等式
解法：偏积分、凑微分、线积分

（2）高阶常系数方程

2.1 可降阶微分方程:

只有y的导数与x的式子

——不断积分即可
形如：y′′=f(x)形如：y''=f(x)形如：y′′=f(x)

不显含y类型

含y’与y’‘与x，但是不含y——令y’(x)为p(x)，则y’‘(x)不是为得到p’(x)而是dp/dx。
形如：y′′=f(x，y′)形如：y''=f(x，y')形如：y′′=f(x，y′)
解法：y′=p,y′′=dpdx解法：y'=p,y''=\frac{dp}{dx}解法：y′=p,y′′=dxdp​

不显含x类型

有y(x)与y’(x)与y’‘(x)，但是不含x的(x之后更不能出现)——令y’为p，y’‘为dp/dy×p，其实就是有三个量但只能留两个想办法把y’'用y’与y表达出来而已。
形如：y′′=f(y，y′)形如：y''=f(y，y')形如：y′′=f(y，y′)
解法：y′=p,y′′=dpdx=pdpdy解法：y'=p,y''=\frac{dp}{dx}=p\frac{dp}{dy}解法：y′=p,y′′=dxdp​=pdydp​

2.2 二阶线性微分方程:

包含y与y’与y’'与x
非齐次通解=齐次通解+非齐次特解

齐次微分方程

非齐次微分方程

（3）全微分方程

二、高等数学——差分方程

差分方程的阶：最高阶减去最低阶
差分方程就是数列吧

一阶常系数方程

三、线性代数

齐次解
非齐次解
齐次线性方程组：微分方程通解就是齐次通解
非齐次线性方程组：微分方程通解=齐次通解+非齐次特解

四、专业课：电路、信号处理

方程的解

经典法 完全响应=自由响应 (齐)+强迫响应 (特)

自由响应yh：就是齐次解，仅与系统特性有关
强迫响应yp：就是特解，由激励函数确定
即线常完全解=齐次微分方程的通解+非齐次微分方程的找个特解

双零法 完全响应=零输入响应+零状态响应

零输入响应：信号发生器
0负时刻有储能，没有外加激励，在系统固有特性作用下产生的响应
——仍然是用经典法解齐次方程，用初始条件求系数

零状态响应：没有储能的系统
0负时刻输出为0，系统没有储能，得到0正时刻的初始条件
在外加激励信号的作用下，系统的特性和激励的特性都要考虑
——经典法 or 卷积积分法求解

完全响应=暂态响应+稳态响应

暂态响应：随时间消失
稳态响应：全响应-暂态响应

解微分方程——连续系统的具体应用

冲激响应：系统在输入为单位冲激函数时输出的零状态响应
阶跃响应：系统在单位阶跃信号u(t)的激励下产生的零状态响应

经典法

1.经典法设特解y*并带入求特解
激励为冲激函数，右边只有冲激，用经典法，特解为0
激励为阶跃信号，右边只有阶跃，用经典法，特解是常数
2.设经典法齐次解y’
3.可能需要 冲击函数匹配法来确定0正时刻的值来求齐次解的系数

经典双零法

1.经典法求特解、齐次解形式
2.设零输入、零状态解的形式
零输入=部分的齐次解，故设为齐次解形式
零状态=部分的齐次解+特解，故设为齐次解+特解
3.分别使用冲击函数匹配法求解

卷积双零法

拉普拉斯双零法

解差分方程——离散系统的具体应用

经典法

z变换双零法

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