微分方程的意义
sympy求解微分方程的方式
- symbols()+Eq()
- Function()
- solveset()
求解实际问题
- 1. 降落伞问题
- - 假设变量
  - 建立模型
  - 求解微分方程模型
  - sympy求解
- 2. 放射性元素衰变问题
- - 假设变量
  - 构建与求解模型
  - sympy求解

微分方程的意义

函数是客观事物内部联系的量化，利用函数关系可以研究客观事物的内在规律，因此，如何寻找函数关系在实践中有着极其重要的意义！
但是在很多问题当中，往往是若干“因”导致若干“果”，想要通过观察直接找出变量之间的函数关系比较困难，那么我们该怎么办呢?
我们可以通过问题中反映的情况，列出含有要找的函数及其导数关系式，这样的关系式就是微分方程
微分方程建立之后，需要对其进行研究进而找到未知函数来，这一过程就是解微分方程

引自《高等数学第七版同济大学出版社》

sympy求解微分方程的方式

symbols()+Eq()

求解下面微分方程
y ′ ′ − 2 y ′ ′ + y = 0 y''-2y''+y=0 y′′−2y′′+y=0

import sympy as spx=sp.symbols('x')
y=sp.symbols('y',cls=sp.Function)eq1 = sp.Eq(y(x).diff(x, x) - 2*y(x).diff(x) + y(x), 0)
res1=sp.dsolve(eq1,y(x))
print(res1)
>>> Eq(y(x), (C1 + C2*x)*exp(x))

Function()

求解下面微分方程
y ′ ′ − 2 y ′ + y = 0 , 其中 y ( 0 ) = 0 ， y ′ ( 0 ) = 1 y''-2y'+y=0,其中y(0)=0，y'(0)=1 y′′−2y′+y=0,其中y(0)=0，y′(0)=1

from sympy.abc import x
import sympy as sp
y=sp.Function('y')
eq=sp.diff(y(x),x,2)-2*sp.diff(y(x),x)+y(x)con={y(0):0,sp.diff(y(x),x).subs(x,0):1}
res=sp.dsolve(eq,ics=con)
res
>>> Eq(y(x), x*exp(x))

solveset()

求解下面微分方程
y ′ + y + y 2 = 0 ，其中 y ( 0 ) = 1 y'+y+y^2=0，其中y(0)=1 y′+y+y2=0，其中y(0)=1

from sympy import *
f = symbols('f', cls=Function)
x = symbols('x')
eq = Eq(f(x).diff(x,1)+f(x)+f(x)**2, 0)
dsolve(eq, f(x))
>>>  Eq(f(x), -C1/(C1 – exp(x)))
C1 = symbols('C1')
eq1 = -C1/(C1 - exp(x))
eq2 = eq1.subs(x, 0)
solveset(eq2 - 1, C1)
>>> {1/2}

求解实际问题

知道了如何使用sympy库求解各种各样的微分方程，下面我们来解决一点现实中遇到的问题

1. 降落伞问题

某降落伞在下降过程中，受到的空气阻力与速度成正比，设降落伞的初始速度为0，求降落伞下降速度与时间的函数关系

假设变量

降落伞的速度：v(t)
重力：P，大小为mg，方向与v一致，
阻力：R，大小为kv，方向与v相反
降落伞所受到的合力为：F

建立模型

根据题目中给出的比那变量之间的函数关系可得
F = m g − k v F=mg-kv F=mg−kv
根据牛顿第二定律
F = m a ， t 时刻降落伞的加速度 a = d s 2 d 2 t = d v d t F=ma，\\t时刻降落伞的加速度a=\frac{ds^2}{d^2t}=\frac{dv}{dt} F=ma，t时刻降落伞的加速度a=d2tds2=dtdv

那么列出微分方程：
m d v d t = m g − k v ，其中 v t = 0 = 0 m\frac{dv}{dt}=mg-kv，其中v_{t=0}=0 mdtdv=mg−kv，其中vt=0=0

求解微分方程模型

d v m g − k v = d t m \frac{dv}{mg-kv}=\frac{dt}{m} mg−kvdv=mdt
两端积分得到
∫ 1 m g − k v d v = ∫ 1 m d t \int \frac{1}{mg-kv}dv=\int \frac{1}{m}dt ∫mg−kv1dv=∫m1dt

由于mg-kv>0，则
− 1 k l n ( m g − k v ) = t m + C 1 -\frac{1}{k}ln(mg-kv)=\frac{t}{m}+C_1 −k1ln(mg−kv)=mt+C1

即
m g − k v = e − k m t − k C 1 mg-kv=e^{-\frac{k}{m}t-kC_1} mg−kv=e−mkt−kC1

于是
v = m g k ( 1 − e − k m t ) v=\frac{mg}{k}(1-e^{-\frac{k}{m}t}) v=kmg(1−e−mkt)

sympy求解

from sympy import *m,g,k,t=symbols('m g k t')
v=Function('v')
eq=Eq(m*diff(v(t),t),m*g-k*v(t))
con={v(0):0}
res=dsolve(eq,ics=con)
res
>>> Eq(v(t), g*m/k - g*m*exp(-k*t/m)/k)

从上面我们可以看出，我们在求解微分方程时经过这么多步骤推导出的 v 与 t v与t v与t的函数关系式，被sympy的几行代码就解决了！不得不叹服sympy库的便利

2. 放射性元素衰变问题

镭元素的衰变规律如下，衰变速度与其现存量R成正比现在已知1600年后，镭的衰变变为原来质量的 1 2 \frac{1}{2} 21，求镭元素现存量R与时间t之间的函数关系

假设变量

现存量R
衰变常数 λ \lambda λ
衰变速度v

构建与求解模型

根据题目中的已知关系

v = d R d t = − λ R v=\frac{dR}{dt}=-\lambda R v=dtdR=−λR
那么
d R R = − λ d t \frac{dR}{R}=-\lambda dt RdR=−λdt
两边积分得到
∫ 1 R d R = ∫ − λ d t \int \frac{1}{R}dR=\int -\lambda dt ∫R1dR=∫−λdt
即
l n R = − λ t + l n C R = C e − λ t lnR=-\lambda t+lnC\\ \ R=Ce^{-\lambda t} lnR=−λt+lnC R=Ce−λt
由于
t = 0 时， R = R 0 t = 1600 , R = 1 2 R 0 t=0时，R=R_0 \\t=1600,R=\frac{1}{2}R_0 t=0时，R=R0t=1600,R=21R0
代入上式可得
λ = l n 2 1600 = 0.000433 \lambda=\frac{ln2}{1600}=0.000433 λ=1600ln2=0.000433

于是
R = R 0 e − 0.000433 t R=R_0e^{-0.000433t} R=R0e−0.000433t

sympy求解

from sympy import *
t, k ,R0= symbols('t,k,R0')
R = Function('R')
R_ = Derivative(R(t),t)
Eqn = Eq(R_,-k*R(t))
res = dsolve(Eqn,ics={R(0):R0})
print(res)
>>> Eq(R(t), R0*exp(-k*t))
kk=solve(res,k)
k0=kk[0].subs({t:1600,R(t):0.5*R0})# 求式子中的参数k（元素衰变系数）
print(kk,k0)
>>> [log(R0/R(t))/t] 0.000433216987849966
k1=res.args[1]
k11=k1.subs({t:99999,k:k0})
print(k11)
>>> 1.53395780934154e-19*R0   # 99999年之后元素的剩余量

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高等数学--微分方程的求解（sympy库）

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微分方程的意义

sympy求解微分方程的方式

symbols()+Eq()

Function()

solveset()

求解实际问题

1. 降落伞问题

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