约当标准型

北京科技大学自动化 北京科技大学 λ矩阵与Jordan标准型 2011年9月22日 本章的主要任务 如何解决此问题： Step1：找出相似矩阵的不变量，这些不变量不仅在相似关系下保持不变。而且足以判断两个矩阵是否相似——全系不变量。 Step2：找出一类比较简单的矩阵，利用相似关系的全系不变量就可以判断一个矩阵与这类矩阵中的某一个相似。 问题：给定一个线性变换，找出一组基，使线性变换在这组基下的矩阵表示具有比较简单的形状。 等价的问题：给矩阵的相似等价类一个形状简单的代表。 2.1 λ-矩阵 定义2.1.1 设K是一个数域，λ是一个文字，作多项式环K[λ]，一个矩阵，如果它的元素是λ的多项式，就称作λ矩阵。 注： ①数域K中的元素也在K[λ]中， λ矩阵中也包括以数为元素的矩阵； ②K[λ]上有加法、减法、乘法并且与数的运算有相同的运算规律，矩阵的加法、乘法只用到其元素的加法和乘法因此可以同样定义λ矩阵的加法与乘法； ③行列式定义中只用矩阵元素的加法和乘法，同样可以定义λ矩阵的行列式。 2.1 λ-矩阵 定义2.1.3：若A(λ),B(λ)都是λ矩阵。A(λ)经过初等变换后可变为B(λ)，则称为A(λ)与B(λ)相抵 注：相抵是一个等价关系。 定义2.1.2：对λ矩阵A(λ)施行的下列3种变换称为λ矩阵的初等变换： ①将A(λ)的两行(列)对换； ②将A(λ)的第i行(列)乘以常数c，c∈K ③将A(λ)的第i行(列)乘以K上的多项式f(λ)后加到第j行(列)上去。 2.1 λ-矩阵 定义下列3种矩阵称为初等λ矩阵 2.1 λ-矩阵 定义2.1.5：A(λ)，B(λ)都是n阶λ矩阵，且 A(λ)B(λ) = B(λ) A(λ) = I 则称B(λ)是A(λ)的逆λ矩阵，此时称A(λ)为可逆λ矩阵——单模阵 定理2.1.2：λ矩阵A(λ)可逆的充要条件是det A(λ)=c， c是非零常数 定理2.1.1：对λ矩阵施行行(列)初等变换等于用相应的初等λ矩阵左(右)乘以A(λ) 定义2.1.4：n阶λ矩阵A(λ)中有一个r(r≥1)阶子式不为零，而所有r+1阶子式全为零，则称λ矩阵的秩为r。 证明：detA(λ)B(λ)=det A(λ) detB(λ)=1 2.1 λ-矩阵 det A(λ)=c≠0 A(λ) A*(λ)= A* (λ) A (λ)=cI, 令B(λ)= A* (λ) /c A(λ)B(λ) =B(λ)A(λ)=I ,所以A(λ)是单模阵 引理：设M(λ)与N(λ)是两个n阶λ-矩阵且都不等于零，又设B为n阶数字矩阵，则必存在λ-矩阵Q(λ)及S(λ)和数字矩阵R及T使得下式成立： M(λ)=(λI-B)Q(λ)+R N(λ)=S(λ)(λI-B)+T det A(λ)是一个多项式但要满足上式 deg(det A(λ) )=0 → det A(λ)只能是常数必要条件成立 2.1 λ-矩阵 m=0命题成立 设对小于m次矩阵多项式成立 令Q1(λ)=Mmλm-1 M(λ)–(λI-B)Q1(λ)= (BMm +Mm-1)λm-1+ …+M0 上式是一个小于m次矩阵多项式，有归纳假设有Q2(λ)和数字矩阵R，使得 M(λ)–(λI-B)Q1(λ)= (λI-B)Q2(λ)+R 令Q(λ)=Q1(λ)+Q2(λ), 命题得证 证明： M(λ) =Mm λm+ Mm-1 λm-1+ … +M0，其中Mm ≠0对m使用归纳法 2.1 λ-矩阵 定理2.1.3：设A，B是数域K上的矩阵，则A与B相似的充要条件是λ-矩阵(λI-A)与(λI-B)相抵 证明：(必要性)若A，B相似则存在可逆矩阵P满足 P-1AP=B ? P-1(λI-A)P= (λI-P-1AP) = (λI-B) ∴ (λI-A)与(λI-B)相抵 (充分性) 若(λI-A)与(λI-B)相抵，则存在M(λ)和N(λ)使得: M(λ)(λI-A)N(λ)=(λI-B)?M(λ)(λI-A) = (λI-B) N-1(λ) 由引理： M(λ)=(λI-B)Q(λ)+R带入上式 R(λI-A)= (λI-B) [N-1(λ)- Q(λ) (λI -A)] P=N-1(λ)- Q(λ) (λI -A)是常数矩阵 2.1 λ-矩阵 R(λI-A)= (λI-B) P ? λ(R-P)=RA-BP ∵R,P,A,B均为数字矩阵， ∴(R-P)=0 ?R=P，RA=BP P=N-1(λ)- Q(λ) (λI -A) ? PN(λ)+ Q(λ) (λI -A)N(λ)=I ∵(λI-A) N (λ)= M-1 (λ) (λI-B) ∴