2018年江苏高考数学填空题14的一般思路

2018江苏高考数学在一片简单、计算量大的喧闹声中落下帷幕。历年来，“数学帝”、“难”、“创新”、“数列”早已给江苏高考数学打上了固有标签，考前考后都受到无数江苏非江苏考生的关注，成为了难易评判的一个衡量标准.

已知集合A={x|x=2n−1,n∈N∗},A={x|x=2n−1,n∈N∗},A=\{x|x=2n-1,n\in N^\ast\}, B={x|x=2n,B={x|x=2n,B=\{x|x=2^n,n∈N∗}.n∈N∗}.n\in N^\ast\}. 将A∪BA∪BA\cup B的所有元素从小到大排列构成一个数列{an}.{an}.\{a_n\}. 记SnSnS_n为数列{an}{an}\{a_n\}的前nnn项和,则使得Sn>12an+1" role="presentation" style="position: relative;">Sn>12an+1Sn>12an+1S_n>12a_{n+1} 成立的nnn的最小值为__.

此题作为小题来讲，最优解法是列举法：
S26=21(1+41)2+2(1−25)1−2=503," role="presentation" style="position: relative;">S26=21(1+41)2+2(1−25)1−2=503,S26=21(1+41)2+2(1−25)1−2=503,S_{26}=\dfrac{21(1+41)}{2}+\dfrac{2(1-2^5)}{1-2}=503,
a27=43,12a27=516,a27=43,12a27=516,a_{27}=43,12a_{27}=516, 不符
S27=S26+a27=503+43=546,S27=S26+a27=503+43=546,S_{27}=S_{26}+a_{27}=503+43=546,
a28=45,12a28=540,a28=45,12a28=540,a_{28}=45,12a_{28}=540, 符合.∴minn=27.∴minn=27. \therefore\min n=27.

那么问题来了，怎么知道要检查26和27呢，或者说你是从第一项开始检查，检查到26和27才得到答案？这样的过程在高考中是不是浪费时间呢？现在，咱们抛开高考因素来看看正常情况下怎么来解答这题.

首先按照下面的列表形式排列 A∪BA∪BA\cup B中的元素：

i=1i=2i=3i=4i=5i=6248163213591733711193513213715233925412743294531⋯i=11i=223i=3457i=489111315i=5161719212325272931i=63233353739414345⋯

\begin{matrix} i=1&&1&&&&&&& \\ i=2&2&3&&&&&&&\\ i=3&4&5&7&&&&&&\\ i=4&8&9&11&13&15&&&&\\ i=5&16&17&19&21&23&25&27&29&31\\ i=6&32&33&35&37&39&41&43&45&\cdots \end{matrix}

其中iii 表示行数，每行的第一列数是集合B" role="presentation" style="position: relative;">BBB 中的数，
用S(i)S(i)S(i) 表示前iii 行元素的总和.
先说说具体思路：根据Sn>12an+1⟺Sn+1>13an+1" role="presentation" style="position: relative;">Sn>12an+1⟺Sn+1>13an+1Sn>12an+1⟺Sn+1>13an+1S_n>12a_{n+1}\iff S_{n+1}>13a_{n+1}

计算每一行尾数作为an+1an+1a_{n+1} 是不是合乎要求.
如果不满足要求，转入下一行类似计算，如果满足要求，再计算当前行至少哪个位置上的数满足要求.依次计算结果就是

i=1i=2i=3i=4i=5i=6S(i)1622682861086a137153163S(i)−13a−−−−−+S(i)aS(i)−13ai=111−i=263−i=3227−i=46815−i=528631−i=6108663+

\begin{matrix}&S(i)&a&S(i)-13a\\ i=1&1&1&-\\ i=2&6&3&-\\ i=3&22&7&-\\ i=4&68&15&-\\ i=5&286&31&-\\ i=6&1086&63&+\end{matrix}
所以要求的 an+1an+1a_{n+1} 在第6行.
下面再确定是哪个数,计算所在整个数列的项数就可以了.

由于集合BBB中元素用的比较少，可以先只考虑A" role="presentation" style="position: relative;">AAA集合
Sn=n2>12(2n+1),n>24.5,Sn=n2>12(2n+1),n>24.5,S_n=n^2>12(2n+1),n>24.5,
于是在集合A∪BA∪BA\cup B 中 a25=39a25=39a_{25}=39附近来求解.
这样也可以降低计算量.

如果题目中的12数字改大点，计算量会增加不少，下面我们按照计算题的模式来求解，以便于推广.

不难看出
S(i)=2+⋯+2i−1+1+3+⋯+(2i−1)S(i)=2+⋯+2i−1+1+3+⋯+(2i−1)S(i)=2+\cdots+2^{i-1}+1+3+\cdots+(2^i-1) =2−2i1−2+(2i−1)2=2i−2+22i−2=2−2i1−2+(2i−1)2=2i−2+22i−2=\dfrac{2-2^i}{1-2}+(2^{i-1})^2=2^i-2+2^{2i-2}
算一下an+1an+1a_{n+1} 至少在哪一行，S(i)S(i)S(i) 与 iii行尾数即2i−1" role="presentation" style="position: relative;">2i−12i−12^i-1 比较，
即使得 2i−2+22i−2>13(2i−1)2i−2+22i−2>13(2i−1)2^i-2+2^{2i-2}>13(2^i-1)，
解出2i>47,2i>47,2^i>47, 因此an+1an+1a_{n+1} 必定在第 i=6i=6i=6行.
下面再算an+1an+1a_{n+1} 在第6行的第几个位置.
前5行的和为S(5)=25−2+22×5−2=286,S(5)=25−2+22×5−2=286,S(5)=2^5-2+2^{2\times5-2}=286,
假设an+1an+1a_{n+1} 是第6行第jjj 个数,
{32+(2j−3),j≠132,j=1" role="presentation" style="position: relative;">{32+(2j−3),32,j≠1j=1{32+(2j−3),j≠132,j=1\begin{cases} 32+(2j-3),&j\neq1\\ 32,&j=1\end{cases}
当j=1j=1j=1 时286+32−13×32=−98<0286+32−13×32=−98<0286+32-13\times32=-98
当 j≠1j≠1j\neq1 时，286+32j+1+3+⋯+2j−3286+32j+1+3+⋯+2j−3286+32 j+1+3+\cdots+2j-3
=286+32j+(j−1)2>13(32+(2j−3))=286+32j+(j−1)2>13(32+(2j−3))=286+32j+(j-1)^2>13(32+(2j-3))
解出j>7.69j>7.69j>7.69 ，从而 j=8.j=8.j=8.即 an+1=45.an+1=45.a_{n+1}=45.
再算出45位于整个数列的项数，前5行共
有(5−1)+25−1=20(5−1)+25−1=20(5-1)+2^{5-1}=20 个数，
所以 a28=45,n=27.a28=45,n=27.a_{28}=45, n=27.

如果将题目要求改成Sn>26an+1Sn>26an+1S_n>26a_{n+1} ,
按照上述方法,可以解出要求的 n=57.n=57.n=57.

Sn>26an+1⟺Sn+1>27an+1Sn>26an+1⟺Sn+1>27an+1S_{n}>26a_{n+1}\iff S_{n+1}>27a_{n+1} ,
根据2i−2+22i−2>27(2i−1)2i−2+22i−2>27(2i−1)2^i-2+2^{2i-2}>27(2^i-1)
求出2i>105,i=72i>105,i=72^i>105,i=7 所以an+1an+1a_{n+1}位于第7行,
前6行的和为S(6)=26−2+22×6−2=1086,S(6)=26−2+22×6−2=1086,S(6)=2^6-2+2^{2\times6-2}=1086,
假设an+1an+1a_{n+1}位于第7行第jjj个位置,
1086+64j+(j−1)2>27(64+(2j−3)," role="presentation" style="position: relative;">1086+64j+(j−1)2>27(64+(2j−3),1086+64j+(j−1)2>27(64+(2j−3),1086+64j+(j-1)^2>27(64+(2j-3),
解出 j>20j>20j>20,取j=21,j=21,j=21,
前6行共有(6−1)+26−1=37(6−1)+26−1=37(6-1)+2^{6-1}=37个数，
所以S58>27a58,n=57S58>27a58,n=57S_{58}>27a_{58},n=57 验证:
S56<27a56,S57=27a57,S58>27a58.S56<27a56,S57=27a57,S58>27a58.S_{56}27a_{58}.

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