1. 夹逼准则

准则III 如果数列{xn},{yn}\{x_n\},\{y_n\}{xn},{yn}及{zn}\{z_n\}{zn}满足下列条件
(1)(1)(1)从某项起，即∃n0∈N+,\exist n_0\in N_+,∃n0∈N+,当n>n0n>n_0n>n0时，有yn≤xn≤zny_n\le x_n\le z_nyn≤xn≤zn
(2)(2)(2) lim⁡n→∞yn=a,lim⁡n→∞zn=a\lim_{n\rightarrow \infin}y_n=a,\lim_{n\rightarrow \infin}z_n=an→∞limyn=a,n→∞limzn=a那么数列{xn}\{x_n\}{xn}的极限存在且为aaa
准则I′I'I′ 如果
(1)(1)(1)当x∈U∘(x0,r)x\in U^{\circ}(x_0,r)x∈U∘(x0,r)（或∣x∣>M|x|>M∣x∣>M）时，g(x)≤f(x)≤h(x)g(x)\le f(x)\le h(x)g(x)≤f(x)≤h(x)
(2)(2)(2) lim⁡g(x)=A,lim⁡h(x)=A,\lim g(x)=A,\lim h(x)=A,limg(x)=A,limh(x)=A,
那么lim⁡f(x)\lim f(x)limf(x)存在且等于AAA
准则III和准则I′I'I′称为夹逼准则
lim⁡x→0sin⁡(x)x=1\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin(x)}{x}=1x→0limxsin(x)=1

2. 单调有界数列必有极限

准则IIIIII 单调有界数列必有极限
lim⁡x→∞(1+1x)x=e\lim_{x\rightarrow\infin}(1+\frac{1}{x})^x=ex→∞lim(1+x1)x=e
准则II′II'II′设函数f(x)f(x)f(x)在点x0x_0x0的某个左邻域内单调并且有界，则f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0的左极限f(x0−)f(x_0^-)f(x0−)必定存在

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1. 夹逼准则

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