交互式计算机图形学总结：第三章几何对象和变换

第三章几何对象和变换

基本概念
–零向量：长度为零，方向没有定义

–向量空间：包含向量和标量

–仿射空间：包含向量、标量、点

–计算机科学的观点：把向量、标量、点看作抽象数据类型（ADT）

–凸性：如果对于一个对象中的任意两个点，连接它们的线段上所有的点仍然位于这个对象中，那么这个对象就是凸的
直线
–直线的参数形式：P(α)=P0+αdP(\alpha ) = P_{0} + \alpha dP(α)=P0+αd
仿射加法
点积和叉积
–点积
(a1,a2,a3)⋅(b1,b2,b3)=a1b1+a2b2+a3b3(a_{1}, a_{2}, a_{3})\cdot (b_{1}, b_{2}, b_{3}) = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3} (a1,a2,a3)⋅(b1,b2,b3)=a1b1+a2b2+a3b3
一般有：
a⋅b=∣a∣∣b∣cos⁡θa\cdot b = \left |a \right |\left |b \right |\cos \theta a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ
–叉积
(a1,a2,a3)×(b1,b2,b3)=(a2b3−a3b2,a3b1−a1b3,a1b2−a2b1)(a_{1}, a_{2}, a_{3})\times (b_{1}, b_{2}, b_{3}) = (a_{2}b_{3} -a_{3}b_{2} , a_{3}b_{1} -a_{1}b_{3} , a_{1}b_{2} -a_{2}b_{1} ) (a1,a2,a3)×(b1,b2,b3)=(a2b3−a3b2,a3b1−a1b3,a1b2−a2b1)
平面

–线段的参数形式：
S(α)=αP+(1−α)Q，0≤α≤1S(\alpha ) = \alpha P + (1 - \alpha) Q， 0\leq \alpha \leq 1S(α)=αP+(1−α)Q，0≤α≤1

–平面的参数形式
变换（Transformation）

–平移（translation）：P’ = P+T, where T is translation vector

–缩放（scaling）：P’ = S*P, where S is a scaling matrix

–旋转（rotation）：P’ = R*P, where R is a rotation matrix
A）沿X轴旋转的旋转矩阵（不动点为原点）

B）沿Y轴旋转的旋转矩阵（不动点为原点）

C）沿Z轴旋转的旋转矩阵（不动点为原点）

–变换矩阵的逆矩阵
OpenGL的变换顺序

–当前变换矩阵（Current Transformation
Matrix，CTM）：CTM是绘制流水线的一部分，因此，如果p是应用程序中定义的一个顶点，那么绘制流水线就会生成Cp

–例子（固定点的旋转）

–OpenGL里的CTM

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