一、说明

对于方程 $AX=b$ ,首先将方程组中的系数矩阵A分解成三部分，即： $A=L + D + U$ ，其中D为对角阵，L为下三角矩阵，U为上三角矩阵。

因 $AX=b$ 所以 $(L+U+D)X = b$ ,进一步：

$(D)X = b - ( L+U)X$

$X = D^{-1}b -D^{-1} ( L+U)X$

因此雅可比迭代公式：

$X ^{k+1} =B_JX^k+f_J$

$B_J=D^{-1}( L + U )$ (称为雅可比迭代矩阵）

$f_J=D^{-1}b$

二、雅可比迭代的前提

对于线性方程 $AX=b$ ,用雅可比迭代求解是需要条件有三：

方阵A必须是非奇异的，即A的行列式必须非0
对角线元素必须非0
矩阵A对角占优

对角优势矩阵是指一矩阵的每一横行，对角线上元素的大小大于或等于同一横行其他元素大小的和，一矩阵A为对角优势矩阵若

$|a_{ii}|\geq \sum _{j\neq i}|a_{ij}|\quad {\text{for all }}i,\,$

其中aij为第i行第j列的元素。

三、程序实现

#!/usr/bin/python
# _*_ coding: UTF-8 _*_import numpy as np#雅可比迭代法
def Jacobi(A,B,x0,x,eps,k):"""雅可比迭代法Args:A:为方程组的系数矩阵B:为方程组右端的列向量x:为迭代初值构成的列向量x:迭代向量eps :精度误差k:最大迭代次数Returns:times:迭代次数x：Array数组,方程的解Raises:"""n,m = A.shapeif n!=m:print("invalid data!")return Nonetimes = 0while times<k:for i in range(n):temp = 0for j in range(n):if i != j:temp += x0[j] * A[i][j]x[i] = ((B[i] - temp) / A[i][i])error = max(abs(x - x0))times += 1if error < eps:print("精确度等于", eps, "时，雅可比迭代法需要迭代", times, "次收敛")return (x, times)else:x0 = x.copy()print("在最大迭代次数内不收敛","最大迭代次数后的结果为",x)return Noneif __name__ == '__main__':      #当模块被直接运行时，以下代码块将被运行，当模块是被导入时，代码块不被运行。a = np.array([[8, -3, 2], [4, 11, -1], [6, 3, 12]])b = np.array([20, 33, 36])x = np.array([0, 0, 0])     #迭代初始值x0=x.copy()g = 1e-6Jacobi(  a, b, x0, x, g, 100)print(x)

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关于雅可比迭代的Python实现

一、说明

二、雅可比迭代的前提

三、程序实现

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