算法心经.数学的应用.积分的应用

算法心经：
    前几天，一个好友告诉我，他要写一本书，叫《编程低手箴言》，我马上管他要地址去看看，出乎意料，写得比我想象得好。后来我就自己在想，是不是也应该把我平时的一些心得写出来呢？越越冲动，既然有了想法，那内容选什么呢？既然讲给别人听，就要拿自己拿手的，也就是最有把握的，要不一贴出来被人们拍死就麻烦了。所以，我把题材选为了讲算法，名字嘛，就姑且叫《算法心经》好了。
   写出点东西，勇气是必不可少的，像CSDN有个知名作者，写过一个什么关于矩阵的新见解，马上被无数潜水的高手们拍得半死，其实我一看很多的批评也没什么道理，即使有道理的也纠缠在名字这种taste differ的范围内，不过因为缺少勇气，他再也不出这个矩阵的续篇了。我就不同，也许差点水平，但绝不差勇气。写这个东东除了给别人看外，也是对自己平时遇到的一些很有意思的问题的总结，如果大家发现了什么不妥，请马上帮我指出来。
   讲算法的资料太多了，大多老一套，贪婪、分枝、限界等，如果想按这个套路学，那大家都去看MIT的算法导论好了，我再写出来也是copy。既然是原创，就要有点新意，下面的内容完全按我对各种算法的思路总结来整理，保证您看着一个与众不同。另外介于本人的水平有限，所有例子只对我碰上读过的感觉有用的问题举例，嫌不够深入的朋友抱歉。
    废话少说，开始...

一，数学的应用：
我在抱本数学书看时，经常有同学问我，“看这玩意干啥子？“我答曰：”有用“，又问：“有啥用”，我托腮沉思半天，只挤出“反正有用”这种教条结论。的确，地球人都知道数学和计算机关系暧昧，但具体到哪有交集，又说不清楚，我看可能有两个原因：1，还不到能理解到数学用处的水平。2，使数学后，没有归纳总结。我想大多数人属于后者，为了弥补这点，我把平时用到数学的地方总结出来，让大家看看数学的威力。

积分的应用
    微积分是高等数学的基础，但我们搞程序的平时使到微积分的时候实在少之又少，反正我大四以前根本没有用到微积分（编写什么插值求积分那种程序不算），果真如此吗？？？
    微积分的威力发挥在算法分析上，你会算法分析吗？会的话，肯定会体会到。看看积分的例子：
    “有一个无序数列，每次遍历整个数列查找一个数，然后删除之，重复这个步骤直到数列为空，问这个算法的效率？”
    这个你一眼就看出效率了，遍历的次数从1个增加到n个，那么平均是n/2个，一共执行n次，所以效率是n*n/2，也就是O(n*n)，呵呵，很简单，惬意的笑。但细想一想，为什么这里能把n除以2呢？是因为n是个线性函数，所以在计算时可以用它的中间值来计算。这种中间值概念的应用很普遍，很多算法效率的计算有需要，回忆在quick sort的效率分析里，因为整个数列里的每个数与第一个数（比较数）交换的概率相同，那就是绝对的线性关系（函数为常数），所以才可以用，2*T(k)代替T(k)+T(n-k)。

其实这题也可以用积分来算，效率实际上就是把n在1到n上取积分，也就是n*n/2，和先前的答案一样，注意这里，积分本身是一个连续的数学概念，这里扩展到离散求积分。
    我们把上面的例子改改：
    “有一个有序数列，每次用二分查找找到其中一个值，删除之，重复这个步骤直到数列为空，问这个算法的效率？“
    想啊想啊，二分效率是log(n)，从log(n)降到log(1)，那么和先前的一样，效率是中间值*n，就是log(n)/2*n，也就是O(n*log(n))，我赶紧握着你的手说，“恭喜你，蒙对了！”，最终的答案确实是O(n*log(n))，但绝不是这么出来的，因为log函数不是线性函数，你绝对不能用中间值代替来进行计算。
    哦！那该怎么计算呢？积分来了。上面的算法实际是对log操作从1增加到n，在数学上实际是离散的对log函数做1到n的积分，也就是对log(n)积分。那log(n)的积分怎么算呢？用Udi的《算法导引》的估计法，我们先估计其积分是n*n，我们对n*n求导
    D(n*n)=2*n>log(n)
    我们的估计大了，那么是不是n*log(n)呢？
    D(n*log(n)) = D(n)*log(n) + n*D(log(n)) = log(n)+ n*1/n=log(n) +1
    哇！我们对了，n*log(n)求导就是log(n)再和一个常数相加，于是可以判断log(n)的积分就是和n*log(n)一个等级的，于是，答案出来了，这个算法的效率是n*log(n)，这就是积分的威力。

下节我们来看微分的应用...

转自：http://hi.baidu.com/jrckkyy/blog/item/d1c1c00e0ed39ac07acbe16a.html

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