用微分和差分方程描述的因果LIT系统

注：本博客是基于奥本海姆的《信号与系统》第二版编写，主要是为了自己考研，准备专业课。

(转载：https://blog.csdn.net/Explorer_day/article/details/80060174)

一、用微分和差分方程描述的因果线性时不变系统

1、一类极为重要的连续时间系统是其输入输出关系用线性常系数微分方程描述的系统。这种形式的方程可以用来描述范围广泛的系统和物理现象。

2、一类极为重要的离散时间系统是其输入输出关系用线性常系数差分方程描述的系统。这种形式的方程可以用来描述许多不同过程的程序行为。

一）线性常系数微分方程

1、考虑一阶微分方程：

其中y(t)为系统的输出，x(t)为系统的输入。这类方程所给出的是该系统的一种隐含的特性，也就是说，它们所描述的输入和输出关系并不是将系统输出作为输入函数的一种明确的表达式。

2、一般来说，为了求解一个微分方程，必须给定一个或多个附加条件；一旦这些条件给定，原则上就能得到一个用输入表示输出的明确的表达式。

3、一个N阶线性常系数微分方程由如下方程给出：

阶次指的是出现在这个方程输出y(t)的最高阶导数。当N=O时，上式就变为

此时y(t)就是输入x(t)及其导数的一个明确的函数。

4、N阶线性常系数微分方程的阶由两部分组成：特解加上如下齐次微分方程的解

此齐次线性微分方程的解称为该系统的自然响应。

二）线性常系数差分方程

1、离散时间N阶线性常系数差分方程

上式可以用求解微分方程那样来求解。具体而言，y[n]的解可以写成特解和一个齐次方程

2、N阶线性常系数差分方程另一种表达式为

上式可把n时刻的输出直接用以前输入输出值来表示；据此可立即看出需要附加条件。为了计算y[n]，就需要知道y[n-1],…,y[n-N],因此如果给出了所有n时的输入和一组附加条件，如y[-N],y[-N+1],…,y[-1]，就可以连续求得个y[n]的值。

以上两种N阶线性常系数差分方程称之为递归方程。因为它表明利用输入和以前的输出来求输出的过程是一个递归过程。

3、在N=0的特殊情况下，上式就变成

此方程称为非递归方程。描述了一个线性时不变系统，这个系统的单位脉冲响应为

此系统往往称为有限脉冲响应(FIR)系统。

三）用微分和差分方程描述的一阶系统的方框图表示

1、由线性常系数差分方程和微分方程描述的系统的一个重要特点是：能以很简单而且很自然的方式用若干基本运算的方框图互联来表示。这样做很有意义的：

1）给出一种形象化的表示，这有助于加深对这些系统的特性和性质的理解。

2）对于系统的仿真和实现有很大的价值。

2、离散时间三种基本的网络单元：

3、离散时间一阶差分方程方框图

方框图表示：

4、连续时间三种基本网络单元：

5、连续时间一阶微分方程

1）不常用微分器

2）常用微分器

3）微分器方框图表示：

4）不常用微分器方框图表示

5）常用微分器方框图表示

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