向量代数：向量加法、共线与共面

一. 向量加法

注：csdn的文本编辑器不能表示向量的组合箭头表示，所以，这里用下划线代替，比如向量OA，表示为OA，在以后其他文章中的表示也是如此。

定义：如上图所示，设OA=a，AB=b，则向量OB称为向量a与b的和，记作a+b。

因为图中的a，b与a+b构成一个三角形，所以向量加法的规定也叫做三角形法则。我们也可以用所谓平行四边形法则来定义向量的加法。

性质：根据加法的三角形法则可得关于向量长度的三角不等式：|a+b| ≤ |a| + |b|。

二. 共线与共面

如果一组向量，用同一起点的有向线段来表示时，它们是共线的（或共面的），则成这组向量共线（或共面）。共线的两个向量a与b也叫做平行的向量，记做a∥b。

共线的向量必共面，任意两个向量必共面。

性质1：设A, B为不同两点，则点X在直线AB上的充要条件：存在实数λ, μ，使：x = λa+μb, λ+μ=1，并且AX/XB = μ/λ。

特别地，点X落在线段AB上的充要条件是：存在实数λ, μ，使：x = λa+μb, λ+μ=1, 0≤λ, μ≤1，并且AX/XB = μ/λ。λ, μ成为线段AB上的点的重心坐标。如下图所示：

性质2：设A, B, C为不在同一直线的三点，则点X在A, B, C所决定的平面π上的充要条件是：存在唯一的一组实数λ, μ, ν，使：x = λa+μb+νc，λ+μ+ν = 1。

特别地，点X落在△ABC内的充要条件是：存在唯一的一组实数λ, μ, ν，使：x = λa+μb+νc，λ+μ+ν = 1，0≤λ, μ, ν≤1。

性质3：设向量a与b不共线。向量c与a,b共面。此时，必存在实数λ, μ使：c = λa+μb。

性质4：设向量a, b, c不共面，d是空间的任意向量，则必存在实数λ, μ, ν，使：d = λa+μb+νc。

三. 实践总结

共线与共面的性质3：在描述很多线相关问题时，大多数资料都只是将问题局限在二维空间中，就比如求三角形的外心和内心，很多资料都是得出外心和内心的二维坐标的公式出来。但是在实际应用当中，大部分的问题还是呈现在三维空间当中的，那么在三维空间中求解任意平面上的问题，除了通过复杂的矩阵变换或投影外，一个非常简洁的办法就是应用共线与共面的性质3来解决问题。可见应用实践：

三维空间中的圆与三角形（一）：圆与内接三角形，
三维空间中的圆与三角形（二）：圆与外切三角形。

共线与共面的性质4：此性质可用于不同坐标系之间的坐标转换问题，已知向量a, b,c, d，可通过混合积来解出实数λ, μ, ν，或者可通过克莱姆法则求解，此问题也可用矩阵变换进行表示，以后再讨论。

四. 参考

[1] 苏步青. 空间解析几何. 上海：上海科技出版社，1984