1.1向量及其线性运算

1.1.1向量的概念

既有大小又有方向的量称为向量
向量 a ⃗ \vec{a} a 的大小称之为向量的长度（或者模），记作|a|
长度为零的向量称之为零向量，记为0
长度为1的向量称之为单位向量
同向或反向的两向量 a ⃗ \vec{a} a , b ⃗ \vec{b} b 称为平行向量，记作a//b
与非零向量 a ⃗ \vec{a} a 同向的单位向量记为 a ⃗ 0 \vec{a}^{0} a 0
与 a ⃗ \vec{a} a 长度相等但相反的向量称为 a ⃗ \vec{a} a 的反向量或负向量，记为- a ⃗ \vec{a} a
平面（空间）中具有同一起点的所有单位向量的中终点构成的几何轨迹是圆（球）

1.1.2向量的加法

定义1.1.1: 三角形法则和平行四边形法则
定义1.1.2：向量的减法

满足规律：
(1) a ⃗ \vec{a} a + b ⃗ \vec{b} b = b ⃗ \vec{b} b + a ⃗ \vec{a} a
(2)( a ⃗ \vec{a} a + b ⃗ \vec{b} b )+ c ⃗ \vec{c} c = a ⃗ \vec{a} a +( b ⃗ \vec{b} b + c ⃗ \vec{c} c )
(3) a ⃗ \vec{a } a +0= a ⃗ \vec{a} a
(4) a ⃗ \vec{a} a +(- a ⃗ \vec{a} a )=0
三角不等式：
∣ a ⃗ |\vec{a} ∣a + b ⃗ ∣ ≤ ∣ a ⃗ ∣ + ∣ b ⃗ ∣ \vec{b}|\leq|\vec{a}|+|\vec{b}| b ∣≤∣a ∣+∣b ∣
几何意义：三角形两边之和大于第三边
推广的三角不等式：
∣ a ⃗ + b ⃗ … … l ⃗ ∣ ≤ ∣ a ⃗ + b ⃗ … … + l ⃗ ∣ |\vec{a }+\vec{b }……\vec{l}|\leq|\vec{a }+\vec{b}……+\vec{l}| ∣a +b ……l ∣≤∣a +b ……+l ∣

思考：

三角不等式等号成立的条件是 a ⃗ \vec{a } a , b ⃗ \vec{b} b 同向
∣ a ⃗ + b ⃗ ∣ |\vec{a }+\vec{b}| ∣a +b ∣= ∣ a ⃗ ∣ |\vec{a }| ∣a ∣- ∣ a ⃗ ∣ |\vec{a }| ∣a ∣成立的条件是 a ⃗ \vec{a } a , b ⃗ \vec{b} b 反向

1.1.3数量与向量的乘法

定义1.1.3
单位化： a ⃗ 0 = ∣ a ⃗ ∣ − 1 a ⃗ \vec{a}^0=|\vec{a}|^{-1}\vec{a} a 0=∣a ∣−1a

规律：
(1) λ ( μ a ⃗ ) = ( λ μ ) a ⃗ \lambda(\mu\vec{a})=(\lambda\mu)\vec{a} λ(μa )=(λμ)a
(2) ( λ + μ ) a ⃗ = λ a ⃗ + μ a ⃗ (\lambda+\mu)\vec{a}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{a} (λ+μ)a =λa +μa
(3) λ ( a ⃗ + b ⃗ ) = λ a ⃗ + λ b ⃗ \lambda(\vec{a}+\vec{b})=\lambda\vec{a}+\lambda\vec{b} λ(a +b )=λa +λb

1.1.4共线、共面的向量组

定义1.1.4 平行于同一直线(平面)的向量组称为共线的(共面的)向量组

定义1.1.5 若对于向量组 a ⃗ i ( i = 1 , 2 , … , n ) \vec{a}_i(i=1,2,…,n) a i(i=1,2,…,n),存在不全为0的实数 k i ( i = 1 , 2 , … , n ) k_i(i=1,2,…,n) ki(i=1,2,…,n),使 ∑ i = 1 k k i a i = 0 \sum_{i=1}^{k}{k_ia_i}=0 i=1∑kkiai=0则称向量组 a ⃗ i ( i = 1 , 2 , … , n ) \vec{a}_i(i=1,2,…,n) a i(i=1,2,…,n)线性相关，否则称向量组线性无关

命题1.1.1
两个向量 a ⃗ , b ⃗ \vec{a},\vec{b} a ,b 共线的充要条件是 a ⃗ , b ⃗ \vec{a},\vec{b} a ,b 线性相关

推论1.1.1 若 a ⃗ , b ⃗ \vec{a},\vec{b} a ,b 共线且 a ⃗ ≠ 0 \vec{a}\neq0 a =0,则存在唯一的实数 λ \lambda λ使得 b ⃗ = λ a ⃗ \vec{b}=\lambda\vec{a} b =λa .

命题1.1.2
三向量 a ⃗ , b ⃗ , c ⃗ \vec{a},\vec{b},\vec{c} a ,b ,c 共面的充要条件是 a ⃗ , b ⃗ , c ⃗ \vec{a},\vec{b},\vec{c} a ,b ,c 线性相关

定理1.1.1设 a ⃗ , b ⃗ \vec{a},\vec{b} a ,b 不共线，则 c ⃗ \vec{c} c 与 a ⃗ , b ⃗ \vec{a},\vec{b} a ,b 共面的充要条件是存在唯一的一对实数 λ , μ \lambda,\mu λ,μ使得 c ⃗ = λ a ⃗ + μ b ⃗ \vec{c}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{b} c =λa +μb

定理1.1.2设 a ⃗ , b ⃗ , c ⃗ \vec{a},\vec{b},\vec{c} a ,b ,c 不共面，则对空间中任一向量 d ⃗ \vec{d} d 均存在唯一的数组 ( λ , μ , γ ) (\lambda,\mu,\gamma) (λ,μ,γ),使得 d ⃗ = λ a ⃗ + μ b ⃗ + γ c ⃗ \vec{d}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{b}+\gamma\vec{c} d =λa +μb +γc

1.2 坐标与标价

1.2.1标价，向量，点和坐标

定义1.2.1

【解析几何】第一章向量代数相关推荐

DirectX12 3D游戏开发实践（龙书）第一章向量代数
向量第一章向量代数向量与坐标系定义坐标系向量的基本运算利用DirectXMath库对向量运算 DirectXMath使用环境向量类型加载方法和存储方法参数传递常向量运算符重载 ...
高等数学笔记-乐经良老师-第七章-向量代数与空间解析几何（Ⅱ）
高等数学笔记-乐经良老师第七章向量代数与空间解析几何(Ⅱ) 第四节平面与直线一.平面 01 确定平面方程的条件一个平面上的点 + 一个法向量一个平面上的点 + 两个平行于平面的不共线向量 ...
DirectX 12 3D游戏开发实战（第一章向量）
目录第1章向量代数 1.1 向量 1.2 长度和单位向量 1.3 点积 1.4 叉积 1.5 点 1.6 利用DirectXMath库进行向量运算 1.7 小结 1.8 练习第1章向量代数向 ...
王道考研计算机网络笔记第一章：概述计算机网络体系结构
本文基于2019 王道考研计算机网络: 2019 王道考研计算机网络个人笔记总结后续章节将陆续更新- 目录一.概念.功能.组成.分类 1. 计算机网络的概念 2. 计算机网络功能 3. 计算 ...
计算机组成原理-第一章
计算机组成原理第一章概述一.计算机系统概述 1. 定义 2.分类 3.计算机系统的抽象层次二.计算机系统的组成 1.计算机系统的硬件组成 1.1冯.诺依曼计算机(重点) 1.2现代计算机结构 1. ...
山西农业大学c语言答案,第一章C语言及程序设计概述-东北农业大学教务处.doc...
全国高等农林院校"十一五"规划教材 C语言程序设计孙力主编中国农业出版社内容简介本书是全国高等农林院校"十一五"规划教材之一. 全书共11章,分别介绍 ...
Python3-Cookbook总结 - 第一章：数据结构和算法
第一章:数据结构和算法 Python 提供了大量的内置数据结构,包括列表,集合以及字典.大多数情况下使用这些数据结构是很简单的. 但是,我们也会经常碰到到诸如查询,排序和过滤等等这些普遍存在的问题. ...
《零成本实现Web自动化测试--基于Selenium》第一章自动化测试基础
第一篇 Selenium 和WebDriver工具篇第一章自动化测试基础 1.1 初识自动化测试自动化测试有两种常见方式 1.1.1 代码驱动测试,又叫测试驱动开发(TDD) 1.1.2 ...
华南理工网络计算机基础知识,2019年华南理工大学网络教育计算机基础随堂练习第一章...
2019年华南理工大学网络教育计算机基础随堂练习第一章 (9页) 本资源提供全文预览,点击全文预览即可全文预览,如果喜欢文档就下载吧,查找使用更方便哦! 11.90 积分第一章计算机基础知识·第 ...

【解析几何】第一章向量代数

向量代数

1.1向量及其线性运算

1.1.1向量的概念

1.1.2向量的加法

1.1.3数量与向量的乘法

1.1.4共线、共面的向量组

1.2 坐标与标价

1.2.1标价，向量，点和坐标

【解析几何】第一章向量代数相关推荐

最新文章

热门文章

【解析几何】第一章 向量代数

向量代数

1.1向量及其线性运算

1.1.1向量的概念

1.1.2向量的加法

1.1.3数量与向量的乘法

1.1.4共线、共面的向量组

1.2 坐标与标价

1.2.1标价，向量，点和坐标

【解析几何】第一章 向量代数相关推荐

最新文章

热门文章

【解析几何】第一章向量代数

【解析几何】第一章向量代数相关推荐