详细图文——AVL树

平衡二叉树

平衡二叉搜索树（Self-balancing binary search tree）又被称为AVL树（有别于AVL算法），且具有以下性质：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。

平衡因子

某结点的左子树与右子树的高度(深度)差即为该结点的平衡因子（BF,Balance Factor）。平衡二叉树上所有结点的平衡因子只可能是 -1，0 或 1。如果某一结点的平衡因子绝对值大于1则说明此树不是平衡二叉树。为了方便计算每一结点的平衡因子我们可以为每个节点赋予height这一属性，表示此节点的高度。

基础设计

首先我们可以设计出AVL树节点，并且实现一些简单通用的方法供后续操作。

/*** AVLTree是BST，所以节点值必须是可比较的*/
public class AvlTree<E extends Comparable<E>>{private class Node{public E e;public Node left;public Node right;public int height;public Node(E e){this.e = e;this.left = null;this.right = null;this.height = 1;}}private Node root;private int size;public AvlTree(){root=null;size=0;}//获取某一结点的高度private int getHeight(Node node){if(node==null){return 0;}return node.height;}public int getSize(){return size;}public boolean isEmpty(){return size == 0;}/*** 获取节点的平衡因子* @param node* @return*/private int getBalanceFactor(Node node){if(node==null){return 0;}return getHeight(node.left)-getHeight(node.right);}//判断树是否为平衡二叉树public boolean isBalanced(){return isBalanced(root);}private boolean isBalanced(Node node){if(node==null){return true;}int balanceFactory = Math.abs(getBalanceFactor(node));if(balanceFactory>1){return false;}return isBalanced(node.left)&&isBalanced(node.right);}
}

添加节点

往平衡二叉树中添加节点很可能会导致二叉树失去平衡，所以我们需要在每次插入节点后进行平衡的维护操作。插入节点破坏平衡性有如下四种情况：

LL（右旋）

LL的意思是向左子树（L）的左孩子（L）中插入新节点后导致不平衡，这种情况下需要右旋操作，而不是说LL的意思是右旋，后面的也是一样。

我们将这种情况抽象出来，得到下图：

我们需要对节点y进行平衡的维护。步骤如下图所示：

/*** 右旋转*/
private Node rightRotate(Node y){Node x = y.left;Node t3 = x.right;x.right = y;y.left = t3;//更新heighty.height = Math.max(getHeight(y.left),getHeight(y.right))+1;x.height = Math.max(getHeight(x.left),getHeight(x.right))+1;return x;
}

RR

我们将这种情况抽象出来，得到下图：

我们需要对节点y进行平衡的维护。步骤如下图所示：

/*** 左旋转*/
private Node leftRotate(Node y){Node x = y.right;Node t2 = x.left;x.left = y;y.right = t2;//更新heighty.height = Math.max(getHeight(y.left),getHeight(y.right))+1;x.height = Math.max(getHeight(x.left),getHeight(x.right))+1;return x;
}

LR

我们将这种情况抽象出来，得到下图：

我们需要对节点y进行平衡的维护。步骤如下图所示：

第三个图中x和z反了，失误

RL

我们将这种情况抽象出来，得到下图：

我们需要对节点y进行平衡的维护。步骤如下图所示：

第二个图中y的左孩子为T1，第三个图中x和z反了，孩子也错了，应该是从左至右T1，T2，T3，T4，失误。。。

添加节点代码

// 向二分搜索树中添加新的元素(key, value)
public void add(E e){root = add(root, e);
}// 向以node为根的二分搜索树中插入元素(key, value)，递归算法
// 返回插入新节点后二分搜索树的根
private Node add(Node node, E e){if(node == null){size ++;return new Node(e);}if(e.compareTo(node.e) < 0)node.left = add(node.left, e);else if(e.compareTo(node.e) > 0)node.right = add(node.right, e);//更新heightnode.height = 1+Math.max(getHeight(node.left),getHeight(node.right));//计算平衡因子int balanceFactor = getBalanceFactor(node);if(balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left)>0) {//右旋LLreturn rightRotate(node);}if(balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right)<0) {//左旋RRreturn leftRotate(node);}//LRif(balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) < 0){node.left = leftRotate(node.left);return rightRotate(node);}//RLif(balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) > 0){node.right = rightRotate(node.right);return leftRotate(node);}return node;
}

删除节点

在删除AVL树节点前需要知道二分搜索树的节点删除操作【点此学习吧！】，和二分搜索树删除节点不同的是我们删除AVL树的节点后需要进行平衡的维护操作。

public E remove(E e){Node node = getNode(root, e);if(node != null){root = remove(root, e);return node.e;}return null;
}private Node remove(Node node, E e){if( node == null )return null;Node retNode;if( e.compareTo(node.e) < 0 ){node.left = remove(node.left , e);retNode = node;}else if(e.compareTo(node.e) > 0 ){node.right = remove(node.right, e);retNode = node;}else{   // e.compareTo(node.e) == 0// 待删除节点左子树为空的情况if(node.left == null){Node rightNode = node.right;node.right = null;size --;retNode = rightNode;}// 待删除节点右子树为空的情况else if(node.right == null){Node leftNode = node.left;node.left = null;size --;retNode = leftNode;}else {// 待删除节点左右子树均不为空的情况// 找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点// 用这个节点顶替待删除节点的位置Node successor = minimum(node.right);successor.right = remove(node.right, successor.e);successor.left = node.left;node.left = node.right = null;retNode = successor;}}if(retNode==null)return null;//维护平衡//更新heightretNode.height = 1+Math.max(getHeight(retNode.left),getHeight(retNode.right));//计算平衡因子int balanceFactor = getBalanceFactor(retNode);if(balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left)>=0) {//右旋LLreturn rightRotate(retNode);}if(balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right)<=0) {//左旋RRreturn leftRotate(retNode);}//LRif(balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) < 0){node.left = leftRotate(retNode.left);return rightRotate(retNode);}//RLif(balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) > 0){node.right = rightRotate(retNode.right);return leftRotate(retNode);}return retNode;
}