二次优化问题dfp_优化设计-fmincon函数介绍-序列二次的规划(SQP)-subspacetrustregion-activesett.pdf...

fmincon 函数

• 功能：求多变量有约束非线性函数的最小值。

• 数学模型：

• min F(X)

• subject to: A*X <= B, Aeq*X = Beq (线性约束)

C(X) <= 0, Ceq(X) = 0 (非线性约束)

LB <= X <= UB

其中，X, B, Beq, LB,和UB为向量，A 和Aeq 为矩阵，C(X)

和Ceq(X)为函数，返回标量。f(x), c(x), 和ceq(x)可以是非线性

函数。

• 调用格式：

[x,fval,exitflag,output]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,non

lcon,options)

Fval：目标函数在解X处的目标函数值

Exitflag：返回算法终止的状态指示结构变量

Output ：优化计算结束之时返回结构变量

由于本问题中需要优化的变量只有两个，属于中等规模

优化问题。fmincon命令使用序列二次规划算法(SQP )来求

解。序列二次规划方法是将一个带有等式和不等式约束(可

以是非线性)的非线性优化问题转化为二次规划问题求解。

对于中等规模优化问题，求解二次规划问题涉及到

Hessian矩阵。Hessian矩阵的近似计算是通过拟牛顿法得到的，

拟牛顿法提供了两个公式可用于Hessian矩阵(或其逆)的迭

代：BFGS公式和DFP公式，而初始的Hessian矩阵是任意给的，

如给一个单位阵I。

MATLAB中SQP法的实现分三步，即

• 拉格朗日函数Hessian矩阵的更新；

• 二次规划问题求解；

• 一维搜索和目标函数的计算

序列二次规划(SQP)算法

• 序列二次规划(Sequential Quadratic Programming,简称SQP)

是当前公认的处理中、小规模非线性规划问题最优秀的算

法之一, 该算法通过将原问题转化为一系列二次规划子问

题的求解来获得原问题的最优解,对拉格朗日函数取二次近

似,从而提高二次规划子问题的近似程度, 对非线性较强的

优化问题也能进行计算。

• SQP方法的基本思想如下:在某个近似解处将原非线性规划

问题简化为处理一个二次规划问题,求取最优解,如果有,则

认为是原非线性规划问题的最优解, 否则, 用近似解代替构

成一个新的二次规划问题, 继续迭代。

• Matlab 优化工具箱中SQP算法的实现主要由以下三部分组成。

(1)更新拉格朗日函数的Hessian矩阵

q q T H T H

Hk 1 Hk  k k  k k (5)

q T s s T H s

k k k k k

• 式中:

m m

q f (x )  g (x ) [ f (x )  g (x )]

k k 1  i i k 1 k  i i k

i 1 i 1

s x x

k k 1 k

• 在每一次的迭代中, 采用BFGS 方法计算拉格朗日函数的

Hessian 矩阵的正定拟牛顿近似值H。只要保证为正,并且H初始

化为正定矩阵,则Hessian矩阵一直保持正定。

1 T T

min q (d ) d Hd c d (6)

d Rn 2

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