【基础总结】——数学知识

最大公约数与最小公倍数
算数唯一分解定理
线性筛找素数（NNN）
扩展欧几里得
容斥原理
欧拉函数
- 定义：
- 性质：
逆元
欧拉定理
中国剩余定理
高斯消元（n3n^3n3）
线性基
卡特兰数（设为h(n)）
FWT
行列式
- 性质
- 求值
矩阵求逆

最大公约数与最小公倍数

理解起来挺简单的
重要等式：lcm[a,b]×gcd(a,b)=a×blcm[a,b]\times gcd(a,b)=a\times blcm[a,b]×gcd(a,b)=a×b
所以只要知道最大公约数就行。

int gcd(int a,int b)
{return b?gcd(b,a%b):a;
}

该代码运用了辗转相除法。因为(a,b)=(b,a模b)(a,b)=(b,a模b)(a,b)=(b,a模b),所以一直模模模模模模模模直到bbb为0，那么此时的最大公约数就是aaa，然后递归回去。

算数唯一分解定理

定义：任一大于1的整数n 能表示成质数的乘积，且其分解的结果是唯一的[不考虑次序].
直接上代码理解

void fenjie(int n)
{js=0;for(int i=2;i*i<=n;i++){if(n%i==0) {js++,p[js]=i,c[js]=0;while(n%i==0) n/=i,c[js]++;}}if(n>1) js++,p[js]=n,c[js]=1;
}

ppp是底数，ccc是指数
1.找n的因数，只要它能除下这个数，就一直除除除除除除除，直到除除不下，别忘了指数也要++。
2.这样一直循环，直到找完了n的所有因子，但是n可能是个质数，所以如果一直没有找到它的因子，那么他就只能分成n1n^1n1了

线性筛找素数（NNN）

用腻了之前简单的试除法，来看看这个线性筛吧

for(int i=2;i<=n;i++)
{if(f[i]==0) f[i]=i,ans[++cnt]=i; for(int j=1;j<=cnt;j++){if(ans[j]>f[i]||ans[j]>n/i) break;f[i*ans[j]]=ans[j];}
}

f[i]f[i]f[i]记录的是iii的最小质因子，而ans[i]ans[i]ans[i]记录的是目前找到的质数
1.线性筛其实是基于埃氏筛的，所以简单说一下。之前我们找素数是每个都判断，但是一个数的倍数一定不是质数，所以埃氏筛在找到一个质数的时候了，把这些质数的倍数都标记了。
2.但是聪明的某某发现，这样子会有大量重复标记，比如30会被2,3,5,标记，所以他想到用一个数的最小质因子来标记，这样每个数就只被标记了一次。
3.可以来简单证明一下，如果不用最小质因子标记，那么30可能会被3×103\times 103×10标记，但是10能分成2×52\times 52×5，所以此时30一定被标记了两次。
4.对应代码倒数第二行，当质数表里的数大于了这个数的最小质因子，那么就breakbreakbreak，并且，如果这个数标记的数超过nnn了，也不用管了.

扩展欧几里得

裴蜀定理：
ax+by=cax+by=cax+by=c方程有解时当且仅当ccc时gcd(a,b)gcd(a,b)gcd(a,b)的倍数（若a,ba,ba,b互素，则ax+by=1ax+by=1ax+by=1有解）

欧几里得算法的核心是把(a,b)(a,b)(a,b)辗转为(b,a%b)(b,a \%b)(b,a%b),假设(b,a%b)(b,a\%b)(b,a%b)存在对应的(x1,y1)(x1,y1)(x1,y1)使得b×x1+(a%b)×y1=cb\times x1+(a\%b)\times y1=cb×x1+(a%b)×y1=c
根据:ax+by=b×x1+(a%b)×y1=b×x1+(a−[a/b]×b)×y1=a×y1+b×(x1−[a/b]×y1)ax+by=b\times x1+(a\%b)\times y1=b\times x1+(a-[a/b]\times b)\times y1=a\times y1+b\times (x1-[a/b]\times y1)ax+by=b×x1+(a%b)×y1=b×x1+(a−[a/b]×b)×y1=a×y1+b×(x1−[a/b]×y1)
得x=y1,y=x1−[a/b]×y1x=y1,y=x1-[a/b]\times y1x=y1,y=x1−[a/b]×y1
所以，基于这样的操作，我们的递归代码就产生了~

int work(int a,int b,int &x,int &y)
{if(b==0) {x=1,y=0;return a;}int d=work(b,a%b,x,y);int z=x;x=y,y=z-a/b*y;return d;
}

此时的x,yx,yx,y就是该方程的一组特解了。
有了特解，我们就可以求通解了。
该公式为：x=x0×(c/d)+k×(b/d),y=y0×(c/d)−k×(a/d)x=x_0\times (c/d)+k\times (b/d),y=y_0\times (c/d)-k\times (a/d)x=x0×(c/d)+k×(b/d),y=y0×(c/d)−k×(a/d)
注意这里符号是一加一减，具体证明…你不需要知道【滑稽】其实是我不会
经典例题：
天平称重

容斥原理

这个和数学鲍姐讲的一样，不多说了，感觉这道题的思想很像容斥 codeforces,C题

欧拉函数

定义：

对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的数中与n互质的数的数目。

性质：

（1）φ(1)=1φ(1)=1φ(1)=1
（2）φ(p)=p−1φ(p)=p-1φ(p)=p−1
（3）φ(pk)=pk−pk−1=(p−1)pk−1φ(p^k)=p^k-p^{k-1}=(p-1)p^{k-1}φ(pk)=pk−pk−1=(p−1)pk−1
（4）欧拉函数是积性函数——若m,n互质，则φ(mn)=φ(m)φ(n)φ(mn)=φ(m)φ(n)φ(mn)=φ(m)φ(n)。（若函数是完全积性函数，则不需要互质条件）
（5）对于任意 n=p1k1×p2k2×...×prkrn=p_1^{k_1}\times p_2^{k_2}\times ...\times p_r^{k_r}n=p1k1×p2k2×...×prkr （其中 p1,p2,...,pkp_1,p_2,...,p_kp1,p2,...,pk 为 nnn 的互不相同的质因子） 则有 φ(n)=∏i=1rφ(piki)=∏i=1r(pi−1)piki−1=∏i=1r(1−1pi)×piki=n×∏i=1r(1−1pi)\varphi(n)=\prod_{i=1}^{r}\varphi(p_i^{k_i})=\prod_{i=1}^{r}(p_i-1)p_i^{k_i-1}=\prod_{i=1}^{r}(1-\frac 1{p_i})\times p_i^{k_i}=n\times \prod_{i=1}^{r}(1-\frac 1{p_i})φ(n)=∏i=1rφ(piki)=∏i=1r(pi−1)piki−1=∏i=1r(1−pi1)×piki=n×∏i=1r(1−pi1)

这第五条性质简直太妙了，于是我们就可以用这个去求欧拉函数了（N\sqrt NN）

long long oula(int x)
{ans=x;for(int i=2;i<=sqrt(x);i++){if(x%i==0) {ans=ans/i*(i-1);//这里用到了while(x%i==0) x/=i;}}if(x>1) ans=ans/x*(x-1);//防止n为质数return ans;
}

这个模板有没有很眼熟？没错，和埃氏筛很像，也就是说可以边筛素数边求欧拉函数，双倍的快乐【滑稽】
当然，更快的还是线性筛(NNN)

void oula(int x)
{for(int i=2;i<=x;i++){if(!f[i]) p[++cnt]=i,F[i]=i-1;for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=x;j++){  f[i*p[j]]=1;if(i%p[j]==0) {F[i*p[j]]=F[i]*(p[j]);break;}else F[i*p[j]]=F[i]*(p[j]-1);}}
}

这样就成功起飞了【芜湖】

逆元

定义什么的只可意会不可言传，主要用法就是在除一个数的时候，要求取模，那么就可以用$\times $他的逆元来代替。

对于逆元的求解方法才是我们应该掌握的
1.拓展欧几里得（适用于a,b互质的情况下，代码太麻烦，不常用）
依然是上面给出的代码，xxx即为所求的逆元
2.费马小定理（好写，不出错，logNlogNlogN）ap−1≡1(%p)a^{p-1}\equiv 1(\%p)ap−1≡1(%p)
同时/a/a/a就能得到ap−2≡a−1(%p)a^{p-2}\equiv a^{-1}(\%p)ap−2≡a−1(%p)
这样通过快速幂就能求出逆元了（大爱这种方法，但是多次询问时可能超时）

欧拉定理

若n,a为正整数，且n,a互质，即gcd(n,a)=1，则aφ(n)≡1(%p)a^{φ(n)}\equiv 1(\%p)aφ(n)≡1(%p)
可以看出，费马小定理是欧拉函数的一种特殊情况
一些比较恶心的推论：

ab≡ab%φ(n)%na^b\equiv a^{b\%φ(n)} \%nab≡ab%φ(n)%n
a,na,na,n不一定互质时，ab≡ab%φ(n)(%n)a^b\equiv a^{b\%φ(n)} (\%n)ab≡ab%φ(n)(%n)

中国剩余定理

韩信点兵大家都知道，这个就是解决类似的问题，只不过更快【滑稽】，但是也更麻烦。

【例题】存在一个数x，除以3余2，除以5余3，除以7余2，然后求这个数
首先假如我们求出这样三个数k1,k2,k3，满足k1与3互质且是5和7的倍数，k2与5互质且是3和7的倍数，k3与7互质且是3和5的倍数，那么容易意会得到，k1×2+k2×3+k3×2k1\times 2+k2\times 3+k3\times 2k1×2+k2×3+k3×2一定会是一个满足题
目条件的数。而题目的通解可表示为这个数每次都加上3,5,7的最小公倍数
首先我们求出3，5，7的lcm=105

然后我们令：

x1=105/3=35x1=105/3=35x1=105/3=35, x2=105/5=21x2=105/5=21x2=105/5=21, x3=105/7=15x3=105/7=15x3=105/7=15

然后我们求解以下方程：（(a×x1)(a\times x_1)(a×x1)就是k1k_1k1）

a×x1%3=1a\times x1\%3=1a×x1%3=1, b×x2%5=1b\times x2\%5=1b×x2%5=1, c×x3%7=1c\times x3\%7=1c×x3%7=1

这个格式的式子好眼熟，用扩展欧几里德求a=2,b=1,c=1。

答案就是：

ans=(a×x1×2+b×x2×3+c×x3×2)%lcm=23ans=(a\times x1\times 2+b\times x2\times 3+c\times x3\times 2)\%lcm=23ans=(a×x1×2+b×x2×3+c×x3×2)%lcm=23

通过以上例题，我们可以总结出求解的基本步骤

1.求出除数的乘积（不是最小公倍数没关系，这样方便）
2.循环，每次用公倍数除以除数，把得到的数当做aaa，将除数当做bbb
3.运用扩展欧几里得求解出x,ansansans加上a×x×余数a\times x\times 余数a×x×余数，然后再模公倍数

那么来看看代码吧

for(int i=1;i<=n;i++)
{long long x,y;long long aa=sum/a[i];ojld(aa,a[i],x,y);ans=(x*aa%sum*b[i]%sum+ans)%sum;
}

高斯消元（n3n^3n3）

上三角五步走：

int t=r;
for(int i=r;i<=n;i++) if(fabs(a[i][c])>fabs(a[t][c])) t=i;//找当前这一列绝对值最大的数
if(fabs(a[t][c])<py) continue;//如果这列全是零了，就不管
for(int i=c;i<=n+1;i++) swap(a[t][i],a[r][i]);//把他换到没被锁定的第一行
for(int i=n+1;i>=c;i--) a[r][i]/=a[r][c];//把这个数变成1，为了维护等式这一行都要除这个数
for(int i=r+1;i<=n;i++) if(fabs(a[i][c])>py) for(int j=n+1;j>=c;j--) a[i][j]-=a[r][j]*a[i][c];
//把每行的第c个数都消为0
//第二层循环倒着写，因为如果先把第一个变成0了，那后面的运算都要依靠第一个值，会出错
r++;

线性基

简单来说是一些数的集合，而这些数通过异或可以构成的数都不在这个集合中。毕竟是“基”，基础嘛，肯定是最最最最最下面的东西，没有更小的了，也就是没有数通过变换能构成他们
有关更详细的介绍和一些经典代码的写法，参见
点我点我（作者：Hypoc_）

卡特兰数（设为h(n)）

通项公式：h(n)=1/(n+1)×C2nnh(n)=1/(n+1)\times C^n_{2n}h(n)=1/(n+1)×C2nn
递推式子：h(n+1)=(4n+2)/(n+2)×h(n)h(n+1)=(4n+2)/(n+2)\times h(n)h(n+1)=(4n+2)/(n+2)×h(n)

FWT

简单来说看下图

行列式

性质

交换对应矩阵的 2 行（列），行列式取反
交换 1 行与 1 列（进行一次矩阵转置），行列式不变
行列式的行（列）所有元素等比例变化，则行列式也等比例变化
如果行列式对应矩阵 A 中有一行（列），是对应 2 个矩阵 B,C 中分别的 2 行（列）所有元素之和。那么有 A=B+C
如果一个矩阵存在两行（列）成比例则 A的值=0
把一个矩阵的一行（列）的值全部乘一个常数加到另一行（列）上，行列式值不变

求值

初始为∣25∣|\frac{2}{5}|∣52∣
使第二行除以（5/2）∣21∣|\frac{2}{1}|∣12∣
交换这两行 ∣12∣|\frac{1}{2}|∣21∣
第二行减第一行的两倍∣10∣|\frac{1}{0}|∣01∣
交换 ∣01∣|\frac{0}{1}|∣10∣
一直做下去就好啦

int work()
{int w=1;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=i+1;j<=n;j++){while(a[i][i]){int tmp=a[j][i]/a[i][i];for(int k=i;k<=n;k++) a[j][k]=((a[j][k]-1ll*tmp*a[i][k])%p+p)%p;swap(a[i],a[j]),w=-w;}swap(a[i],a[j]),w=-w;} }for(int i=1;i<=n;i++) w=1ll*w*a[i][i]%p;return (w%p+p)%p;
}

矩阵求逆

我们现在要求AAA的逆矩阵A−1A^{-1}A−1
设EEE为单位矩阵，也就是对角线上的数都是1，其他是0
那么根据定义A×A−1=E,E×A−1=A−1A\times A^{-1}=E,E\times A^{-1}=A^{-1}A×A−1=E,E×A−1=A−1
所以我们将AAA变成EEE的过程中，对另一个EEE也做同样的操作（这两个EEE肯定不同呀），于是后面的那个EEE就被我们变成A−1A^{-1}A−1了

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