有趣的隐式图模型——USACO CONTEST FEB07 白银莲花池

【问题描述】

　　FJ建造了一个美丽的池塘，用于让奶牛们锻炼。这个长方形的池子被分割成了 M 行和 N 列(正方形格子的。某些格子上有莲花，还有一些岩石，其余的只是美丽，纯净，湛蓝的水。
　　贝茜正在练习芭蕾舞，她从一个莲花跳跃到另一个莲花，当前位于一个莲花。她希望在莲花上一个一个的跳，目标是另一个给定莲花。她不能跳入水中，也不能跳到岩石上。贝茜的每次的跳跃像国际象棋中的骑士一样：横向移动1，纵向移动2，或纵向移动1，横向移动2。所以贝茜有时可能会有多达8个选择的跳跃。
　　FJ在观察贝茜的芭蕾舞，他意识到有时候贝茜有可能跳不到她想去的目的地，因为路上有些地方没有莲花。于是他想要添加几个莲花使贝茜能够完成任务。一贯节俭的FJ想添加最少数量的莲花。当然，莲花不能放在石头上。
　　请帮助FJ确定必须要添加的莲花的最少数量。在添加的莲花最少基础上，算出贝茜从起始点跳到目标点需要的最少的步数。最后，还要算出满足添加的莲花的最少数量时，跳跃最少步数的跳跃路径的条数。

【输入格式】

　　第1行: 两个整数M,N。
　　第2..M+1 行:第i+1行，第i+1行有N个整数，表示该位置的状态: 0为水; 1为莲花; 2为岩石; 3为贝茜开始的位置; 4为贝茜要去的目标位置.

【输出格式】

　　第1行: 一个整数: 需要添加的最少的莲花数. 如果无论如何贝茜也无法跳到，输出-1。
　　第2行: 一个整数:在添加的莲花最少基础上，贝茜从起始点跳到目标点需要的最少的步数。如果第1行输出-1，这行不输出。
　　第3行: 一个整数: 添加的莲花的最少数量时，跳跃步数为第2行输出的值的跳跃路径的条数如果第1行输出-1，这行不输出。

【输入样例】

4 8
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 2 0 1
0 0 0 0 0 4 0 0
3 0 0 0 0 0 1 0

【输出样例】

2
6
2

【样例解释】

至少要添加2朵莲花，放在了’x’的位置。
0 0 0 1 0 0 0 0　　　 0 0 0 1 0 0 0 0
0 x 0 0 0 2 0 1 　　　0 0 0 0 0 2 0 1
0 0 0 0 x 4 0 0 　　　0 0 x 0 x 4 0 0
3 0 0 0 0 0 1 0 　　　3 0 0 0 0 0 1 0
贝茜至少要跳6步，有以下两种方案
0 0 0 C 0 0 0 0　　　 0 0 0 C 0 0 0 0
0 B 0 0 0 2 0 F 　　　0 0 0 0 0 2 0 F
0 0 0 0 D G 0 0 　　　0 0 B 0 D G 0 0
A 0 0 0 0 0 E 0 　　　A 0 0 0 0 0 E 0

【数据范围】

1 ≤ M ≤ 30
1 ≤ N ≤ 30

分析：乍一看就是棋盘上的最短路问题，但是可以给他“铺路”就加大了难度，加上问题要求输出最小的铺路代价，最小代价下的最小的步数，最小步数下的路径条数，这道题还是有一定难度的。

1.先把最优情况下的方案数搁在一边，看看怎么求最小距离（步数）。
既然是隐式图的模型，那么肯定要用Dijkstra/SPFA求解啦。那么写着写着问题就来了，如何让最小的铺路代价优先于步数呢？一开始想设置状态数组dist[i][j][g]表示从起点走到(i,j)，铺路代价为g的最少步数，但是发现无法保证代价优先，而且思路很混乱。
因为每个格子有两个需要求的最优值，明智的选择就是开两个数组dist[i][j]->最少步数，cost[i][j]->最小代价，每从节点(x,y)搜索到一个新的点(tx,ty)的时候松弛操作的思路如下：

if(cost[x][y]+cost((x,y)->(tx,ty)) 小于 cost[tx][ty]）那么不论步数如何，都应该从(x,y)走到(tx,ty)。
if(cost[x][y]+cost((x,y)->(tx,ty))==cost[tx][ty]) 那么还要判断步数是否更少 if(dist[x][y]+1 小于 dist[tx][ty]) 才从(x,y)走到(tx,ty)

那么算完之后的dist[ex][ey],cost[ex][ey]就是最小步数和最小代价了

2.如何计算最优路径条数呢？
第一种想法是把在最优路径上的边连成一张DAG图，再在图上进行BFS+动态规划，但是这里已经写了这么长一段代码了能不能好好利用一下呢？
我们发现算最优路的松弛操作时，不就可以顺带把方案数求出来了吗。我们设f[i][j]表示从起点到(i,j)的最优路径条数，思路如下：

如果从(x,y)->(tx,ty)更优，那么f[tx][ty]=f[x][y];
如果从(x,y)->(tx,ty)一样优秀，那么f[tx][ty]+=f[x][y];

这两个步骤可以合在一段最短路的代码里面，然后输出就可以了。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=35;
const int inf=16843009;
int w[maxn][maxn],dist[maxn][maxn],inq[maxn][maxn],cost[maxn][maxn],n,m,sx,sy,ex,ey;
LL f[maxn][maxn];
int dx[]={-1,-2,-2,-1,1,2,2,1},dy[]={2,1,-1,-2,-2,-1,1,2};
struct data
{int x,y;
};
void SPFA()
{queue<data>q;q.push((data){sx,sy});memset(dist,1,sizeof(dist));memset(cost,1,sizeof(cost));dist[sx][sy]=0;cost[sx][sy]=0;inq[sx][sy]=1;f[sx][sy]=1;data t,tt;int ww;while(!q.empty()){t=q.front();q.pop();if(t.x==ex && t.y==ey){continue;} inq[t.x][t.y]=0;for(int x=0;x<8;x++){ww=0;tt=(data){t.x+dx[x],t.y+dy[x]};if(tt.x<1 || tt.x>n || tt.y<1 || tt.y>m) continue;if(w[tt.x][tt.y]==2) continue;if(w[tt.x][tt.y]==0) ww=1;//松弛操作： if(cost[t.x][t.y]+ww<cost[tt.x][tt.y])//代价较小则必选(不考虑步数大小) {cost[tt.x][tt.y]=cost[t.x][t.y]+ww;dist[tt.x][tt.y]=dist[t.x][t.y]+1;f[tt.x][tt.y]=f[t.x][t.y];if(inq[tt.x][tt.y]) continue;inq[tt.x][tt.y]=1;q.push(tt); }else if(cost[t.x][t.y]+ww==cost[tt.x][tt.y])//代价相等{if(dist[t.x][t.y]+1<dist[tt.x][tt.y])//步数较小 {dist[tt.x][tt.y]=dist[t.x][t.y];f[tt.x][tt.y]=f[t.x][t.y];if(inq[tt.x][tt.y]) continue;inq[tt.x][tt.y]=1;q.push(tt);}else if(dist[t.x][t.y]+1==dist[tt.x][tt.y])//步数也相等则方案数相加{f[tt.x][tt.y]+=f[t.x][t.y];}}}}if(dist[ex][ey]==inf) {printf("-1\n");return;}printf("%d\n%d\n",cost[ex][ey],dist[ex][ey]);cout<<f[ex][ey];
}
int main()
{scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++){scanf("%d",&w[i][j]);if(w[i][j]==3) sx=i,sy=j;else if(w[i][j]==4) ex=i,ey=j;}SPFA();return 0;
}

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